矩陣相似在微分方程組中的應用

張海濤

（山西大同大學數學與計算機科學學院，山西大同037009）

矩陣相似在微分方程組中的應用

張海濤

（山西大同大學數學與計算機科學學院，山西大同037009）

在高等代數的研究范圍內，計算矩陣的特征值與特征向量是一個基本問題。矩陣的相似性會關系到特征值與特征向量的計算,同時也會關系到矩陣對角化問題。主要探討了矩陣的相似在微分方程組中的應用。

矩陣相似；特征向量；特征多項式；微分方程組

1 矩陣相似的定義及有關性質

1.1 矩陣相似的定義

定義1設B，D為數域P上兩個m級矩陣，假如能找到數域P上的m級可逆矩陣X，使得D=X-1BX，就說B相似于D，記作B～D[1-4]。

1.2 矩陣相似的性質

矩陣相似的基本性質：

自反性：A～A。這是因為A=E-1AE;

對稱性：A～B則B～A。如果A～B，從而有可逆矩陣X，使B=X-1AX。令Y=X-1,那么有A=XBX-1=Y-1BY，所以B～A;

傳遞性：A～B及B～C,那么可以得到A～C。已知有X，Y使得B=X-1AX，C=Y-1BY。令Z=XY，就有C=Z-1AZ，因此A～C。

2 矩陣相似在微分方程組中的應用

的方程組為常系數線性齊次微分方程組，簡稱微分方程組，其中ξi=ξi(t)(i=1,2,…,n)是自變量t的函數，aij(i,j=1,2,…,n)是復數。

若矩陣A相似于一個對角矩陣

那么（1）可簡化為下列形式：

從而簡化了問題的求解。

例1解微分方程組

矩陣A的特征多項式,矩陣A的特征值為λ1=5,λ2=λ3=-1，對應于λ1=5的特征向量為,而對應于二重特征根λ2=λ3=-1，有兩個線性無關的特征向量，故A可對角化。則存在可逆矩陣,使得=Λ。

其中y=(y1,y2,y3)T，則，代入式（1）得，即，寫成分量形式有，，解出

故由（3）得原方程組的解x1=k1e5t-k2e-t-k3e-t，

式中ki(i=1,2,3)為任意常數。

例2解線性微分方程組

解方程組右邊的系數矩陣為

A的特征多項式

由此必然存在一個非奇異矩陣C和若當矩陣J，使得

現在求非奇異矩陣C，設C=(x1,x2,x3)。由于λ1=2，λ2=1分別為單特征值和二重特征值，所以有

因此可知x1和x2為對應于兩個相異特征值2和1的特征向量，且，而x3是廣義特征向量，故非奇異矩陣C為：可得到故可以做變換y=Cz，，則由可以得到，即，那么上面的方程的坐標寫法為:，。

顯然可以直接解得z1=k1e2t，z3=k3et,那么也就可以得到z2=et(k3t+k2)，再由y=Cz，即得y1=et(k3t+k2)，y2=et(2k3t+2k2+k3)，y3=k1e2t-et(k3t+k2+k3),式中ki(i=1,2,3)為任意常數。

文中探討了矩陣的相似在微分方程組中的應用，矩陣相似的特性使其應用范圍十分廣泛，文中主要將矩陣相似與可對角化矩陣、若當標準型矩陣緊密聯系起來，簡化了很多問題的求解。

[1]劉嘉.矩陣相似及其應用[J].中國西部科技,2010,9（26):46-48.

[2]王萼芳,石生明.高等代數（第三版）[M].北京：高等教育出版社,2003:288-325.

[3]崔文君.矩陣相似的相關研究[J].科技致富向導,2013(15）:32.

[4]謝啟鴻.秩在矩陣相似中的應用[J].高等數學教育,2012,15(1):30-32.

The Application of Similar Matrix in System of Differential Equations

ZHANG Hai-tao
(School of Mathematics and Computer Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)

Within the scope of the study of Higher Algebra,computing matrix’s eigenvalue and eigenvector is a basic problem.The similarity of matrix is related to the calculation about eigenvalues and eigenvectors,and it is also closely linked to the diagonaliza?tion of matrix.This paper mainly discusses the similarity of matrices and its applications in system of differential equations.

similar;eigenvector;characteristic polynomial;system of differential equations

175.14

A

1674-0874(2016)05-0005-02

2016-07-08

張海濤（1974-），女，山西陽高人，碩士，副教授，研究方向：常微分方程。

〔責任編輯 高海〕