180°的合情演繹

楊勇

人教版《數學》七年級上冊《三角形內角和定理的證明》旨在引導學生應用運動變化的觀點認識數學，通過一題多解、一題多變，體會思維的多向性，經歷從特殊到一般再到特殊的過程，感受思維實驗和符號化的理性作用。難點是讓學生學會用添加輔助線的方法證明三角形內角和為180°。筆者在教學中做了如下嘗試：

一、聯系先前經驗，初步感知定理

學生的認知活動是建立在先前學習經驗的基礎之上的，教師在教學之初要準確把握學生的認知發展水平，找準學生思維的最近發展區，創設問題情境，為其提供支架，實現思維現有發展水平向可能發展水平的平穩過渡。

教學伊始，筆者讓學生回憶小學階段已經知道的“三角形內角和等于180°”這一結論的得出過程。有的說是用量角器量出來的，有的說是將三個角剪下來圍繞一個頂點拼出來的。筆者肯定了學生的回答后，引導學生再次動手操作：（如圖1）把一個三角形的兩個角剪下，拼在第三個角的頂點處，用量角器量出∠BCD的度數，可得到∠A+∠B+∠ACB=180°。當學生對三角形內角和定理有了初步的感知后，筆者引導學生思考：除此之外，還有什么方法可以證明該定理。學生在動手操作中，開動腦筋積極思考。

二、引導觀察比較，形成證明思路

教學中，教師將部分相近或相對的教學內容、教學環節用類比的方法有意識地進行調整、組合，使知識、技能和方法更系統化和概括化，讓學生在類比中提高分析和歸納能力。

有學生觀察圖1后發現了另一種證明思路：（如圖2）將∠A剪下，拼在∠C的頂點處，得出∠MCA=∠A，再用量角器量出∠MCB+∠B=∠MCA+∠ACB+∠B =∠A+∠B+∠ACB=180°。還有學生指出：（如圖3）把[∠B]和[∠C]剪下，以點A為頂點拼在一起，同樣可以得出∠B+∠C+∠CAB=180°。筆者引導學生觀察比較這三種證明方法，想一想如果不用拼角的方法，還有更加簡便的思路嗎？

三、通過操作實驗，完善證明過程

通過多種方法添加輔助線溝通條件與問題之間的聯系，建立起清晰的思維脈絡，在操作實驗的基礎上簡化思維步驟，充分利用先前知識經驗完善證明過程。

課中，筆者讓學生通過畫輔助線的方法再次證明。如圖4，延長BC至點D，過點C作CE∥AB，結合平角180°和平行線性質定理（兩平行線間同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補），可知：∠A=∠ACE，∠B=∠ECD， ∠A+∠B+∠ACB=∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°。接著，筆者引導學生類比直角的形象添加輔助線，如圖5所示，學生過點B作BD⊥BC，過點A作AE⊥BC，交BC于點E，過點C作CF⊥BC，并作如下證明：∵∠DBC=∠AEC=∠FCB=90°，∴DB∥AE∥FC，∴∠EAB=∠DBA，∠EAC=∠FCA，∴∠CAB+∠ABC+∠BCA=∠EAB+∠CAE+∠ABC+∠BCA=∠DBA+∠FCA+∠ABC+∠BCA=∠DBC+∠FCB=180°。至此，學生通過添加輔助線的方式再次證明了三角形內角和定理。

（作者單位：紅安縣太平橋鎮馬井中學）