基于分形理論的圓弧齒輪法向接觸剛度模型

陳 建，侯 力，魏永峭，馬登秋

(四川大學 制造科學與工程學院，成都 610065)

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基于分形理論的圓弧齒輪法向接觸剛度模型

陳 建，侯 力，魏永峭，馬登秋

(四川大學 制造科學與工程學院，成都 610065)

剛度是影響圓弧齒線圓柱齒輪接觸動力學的重要參數之一。文章基于分形理論，提出表面修正系數修正了微凸體分布函數，建立了圓弧齒線圓柱齒輪法向接觸剛度的分形模型。通過MATLAB進行數值模擬分析，論證了表面修正系數構造的合理性，揭示了結合面各個參數對法向接觸剛度的影響。結果表明，圓弧齒線圓柱齒輪法向接觸剛度隨著載荷、材料特性參數、表面接觸系數的增大而增大；隨著分形維數的增大先增大后減小;隨著特征尺度系數的增大而減小。該模型的建立為研究圓弧齒線圓柱齒輪法向接觸剛度提供了理論依據。

分形理論；法向剛度；圓弧齒輪；接觸模型

0 引言

目前，有關接觸的問題均采用經典的Hertz理論模型[1]。Hertz模型從接觸體的幾何參數、材料參數和邊界條件等宏觀特性出發求解兩接觸體間的接觸強度。然而該模型不能很好的反映接觸體的微觀特性，如微觀形貌及表面粗糙度等對接觸強度的影響。

現在，研究接觸體微觀特性的分形模型逐漸發展起來，主要以M-B分形模型[2-4]為代表。該模型從微觀角度出發，建立了法向接觸剛度關于結合面載荷的分形模型。但是，M-B模型沒有考慮到接觸體的某些宏觀特性，如接觸體的幾何形狀和接觸方式[5]。因此，黃康等提出表面接觸系數建立了圓柱面接觸的分形模型[6]。目前，還沒有系統的理論研究方法來分析圓弧齒輪接觸剛度。因此，為研究圓弧齒線半徑對齒輪嚙合時法向剛度的影響，建立研究圓弧齒輪接觸狀態的分形模型就顯得尤為重要。

本文基于Hertz接觸理論和修正后的M-B接觸模型，從宏觀和微觀相結合的角度，建立了適用于圓弧齒輪的分形模型，并通過數值仿真探討有關參數對結合面法向剛度的影響，為后續分析圓弧齒輪接觸問題奠定了理論基礎。

1 圓弧齒輪剛度分形模型建立

分形理論表面微凸體的分布函數為[7]：

(1)

式中：D為分形維數；ψ為分形區域擴展系數；A為微凸體接觸面積；Al為最大微凸體接觸面積，Ar為真實接觸面積。

該分形理論是基于兩個接觸體在無限大平面的接觸模型。顯然，當兩個接觸體的接觸面是曲面時，接觸面上微凸體的個數n將有所不同。理論上隨著曲面半徑的增大，接觸面積將增大，兩接觸面之間的接觸點增多，但其值始終是小于并接近無限平面接觸點n(A)。因此，接觸表面的形式對微凸體的個數n是有影響。

1.1 分布函數的修正

設兩接觸體質地均勻且各向同性，當其中一個平面以無限大的半徑慢慢縮小時，兩接觸體的實際接觸面積也會慢慢減小，這時微凸體的數量也會減小。因此必須修正分布函數，設分布函數滿足下式：

(2)

式中：λ是反映兩個接觸體接觸點的影響因子，可稱為表面接觸系數，由于接觸面上微凸體的個數n是一個指數函數，本文也假設表面接觸系數λ為指數形式[6]。

圖1 圓弧齒線圓柱齒輪

本文以采用平行連桿式旋轉大刀盤切削加工的圓弧齒線圓柱齒輪為研究對象，該方法加工出來的圓弧齒輪具有的特點是：齒線圓弧的一部分，齒廓為漸開線，且平行于齒輪中截面的不同平面上的周向槽寬和齒厚均相等，如圖1所示[8]。

本文設表面接觸系數λ的形式如下：

(3)

式中[9]：

——端面重合度，z為齒數，αa為端面齒頂壓力角；

綜上，λ的具體式子如下：

(4)

圖2 表面系數λ與d2、F、RT的關系

通過數值模擬得到λ與相關參數的關系。其中當F=1000N，B=40 mm，RT=55 mm，d1=130 mm，E=2×1011Pa時，得到λ-d2的關系曲線如圖2a所示，隨著d2的增大，λ趨近且小于1，與本文前面所做的分析相吻合，接觸微凸體的個數是小于n的。圖2b為其他條件不變，d2=180 mm時，λ-F的關系曲線?？芍穗S著載荷F的增大而增大，但始終小于1，原因是接觸面上始終存在微凸體，兩個接觸體不可能完全無間隙的貼合。圖2c為其他條件不變時λ-RT關系曲線，可知λ隨著齒線半徑RT的增大而增大，當RT→∞時，齒面接觸系數始終還是小于1，與本文關于λ的極限取值一致。綜上所述，λ的選擇是合理的。

基于上述λ的合理性分析，本文將式(4)代入式(2)，提出修正后的微凸體分布函數為：

(5)

1.2 圓弧齒輪法向接觸剛度

根據文獻[10]得，機械結合面微凸體的法向剛度為：

(6)

因此圓弧齒輪接觸面的法向接觸剛度Kn為：

(7)

將式(1)、(2)、(6)代入(7)得：

(8)

將式(8)量綱一化，得到法向接觸剛度為：

(9)

合谷穴：位于手背虎口部位，第二掌骨中點，向食指骨側按壓酸脹處。三陰交穴：位于足內踝尖上3寸，在脛骨后凹陷處。血海穴：屈膝，在大腿內側，髕底內側端上2寸，當股四頭肌內側頭的隆起處。陰陵泉穴：位于小腿內側，脛骨內側髁后下方的凹陷處。魚際穴：手掌面，在第一掌指關節后，掌骨中點的赤白肉際處。尺澤穴：微屈肘，肘部橫紋偏外側上，肱二頭肌腱的橈側緣。曲池穴：在肘橫紋外側端，屈肘，當尺澤與肱骨外上髁連線中點。

由文獻[3,11]知，結合面的法向載荷與接觸面積之間有如下關系：

(1)當Al>Ac，接觸點發生彈塑性變形，則總載荷為

(10)

其中第一項為彈性接觸載荷；第二項為塑性接觸載荷；

(2)當Al

(11)

引入修正后，結合面的法向載荷與接觸面積之間的關系如下：

(1)當Al>Ac，接觸點發生彈塑性變形，此時分為[12-13]：

①D≠1.5

(12)

②D=1.5

(13)

(2)當Al

(14)

2 圓弧齒輪接觸剛度分形模型預測

2.1 載荷與剛度的關系

圖3 法向接觸剛度隨載荷P*關系曲線

2.2 分形維數與剛度的關系

圖4 法向接觸剛度隨分形維數D關系曲線

2.3 特征尺度系數與剛度的關系

圖5 法向接觸剛度隨特征尺度系數G*關系曲線

2.4 材料特性參數與剛度之間的關系

圖6 法向接觸剛度隨材料特性系數φ關系曲線

2.5k與剛度之間的關系

圖7 法向接觸剛度隨剛度系數k關系曲線

2.6 表面接觸系數與剛度的關系

圖8 法向接觸剛度隨表面接觸系數λ關系曲線

3 與其他模型的比較

圖9 本文分形模型與其他模型的對比

基于文獻[5]和文獻[16]，取D=1.55，k=0.1，φ=0.1和G*=10-10，得到圖9所示的分形模型對比圖。從圖中可知，在其他參數相等的情況下，本文分形模型的剛度比文獻[5]和文獻[16]中分形模型的剛度均要大。這是由于相同參數下圓弧齒線圓柱齒輪接觸線比漸開線直齒圓柱齒輪長，接觸的微凸體多，真實接觸面積大，故其剛度較大。

4 結論

(1)基于分形理論，提出了圓弧齒線圓柱齒輪的表面接觸系數λ，建立了圓弧齒輪接觸剛度的分形模型。該模型用于計算圓弧齒輪法向接觸剛度，同時具有尺度的獨立性，在微觀上與測量取樣長度無關。

(2)在所建立的模型中，通過MATLAB進行理論計算，結果表明：表面形貌一定時，增加齒輪法向載荷，可以提高接觸面的法向接觸剛度；載荷一定時，接觸剛度隨著特征尺度系數的增大而減小，隨著表面接觸系數、k值、材料特性參數的增大而增大，但表面接觸系數的變化對結合面法向接觸剛度的影響不大；而剛度隨著分形維數的增大，其變化情況較為復雜，具體表現為：隨著分形維數D的增大，剛度先增大后減小。

(3)通過對比分析，可知圓弧齒輪的分形模型與相關文獻[5,10,16]的模型具有高度的一致性和合理性。同時驗證了圓弧齒輪接觸強度優于直齒輪，為圓弧齒輪的接觸剛度計算奠定了基礎，也為圓弧齒輪接觸動力學的研究提供了新方法。

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(編輯 李秀敏)

Contact Stiffness Mechanics Model of the Involute Arc Cylindrical Gear Based on Fractal Theory

CHEN Jian,HOU Li, WEI Yong-qiao,MA Deng-qiu

(School of Manufacturing Science and Engineering, Sichuan University, Chengdu 610065, China)

Normal contact stiffness is one of the most important parameters affecting the contact dynamics performances of involute arc cylindrical gear. Based on the fractal theory, the surface modification coefficient was put forward to correct the micro-convex body distribution function and establish the fractal model of the involute arc cylindrical gear’s normal contact stiffness. Numerical simulations demonstrated the reasonability of surface modification coefficient and revealed the influence of the joint surface parameters on the normal contact stiffness by MATLAB. The results showed that the involute arc cylindrical gear’s normal contact stiffness increased with the increase of the load, the material properties parameters and surface contact coefficient; the normal contact stiffness increased at first and then decreases with the increase of fractal dimension and decreased with the increase of characteristic length scale. The establishment of the model provides a theoretical basis to study the involute arc cylindrical gear’s normal contact stiffness.

fractal theory;normal contact stiffness;involute arc; contact mode

1001-2265(2016)10-0008-04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.10.003

2015-12-16；

2016-01-17

國家自然科學基金：新型圓弧曲線圓柱齒輪傳動應用基礎研究(51375320)

陳建(1992—)，男，重慶綦江人，四川大學碩士研究生，研究方向為機械傳動，(E-mail)chenjianmail@163.com;通訊作者：侯力(1956—)，男，四川雅安人，四川大學教授，博士生導師，研究方向為機械傳動，(E-mail)houli@163.com

TH506;TG659

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