一個新的具有非單調零齊次核的Hilbert型不等式

鐘建華，陳　強

(1．廣東第二師范學院 數學系， 廣東 廣州 510303；2．廣東第二師范學院 計算機科學系， 廣東 廣州 510303)

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一個新的具有非單調零齊次核的Hilbert型不等式

鐘建華1，陳強2

(1．廣東第二師范學院 數學系， 廣東 廣州 510303；2．廣東第二師范學院 計算機科學系， 廣東 廣州 510303)

引入一個新的非單調且零齊次的核,利用含參數σ的權函數及配方方法,得到了相應的具有最佳常數因子的Hilbert型積分不等式及其等價形式,并給出了特殊情形.

Hilbert型不等式；權函數；參數；等價式

0　引言

(1)

研究核為負齊次的Hilbert型不等式是近年來該研究領域中對經典不等式進行推廣的一個主要突破點,在Hilbert型不等式參量化研究體系中至關重要.關于核為負齊次的Hilbert型不等式的一般性理論可參見文[2].

(2)

文[4]得到一個特殊的核為實數齊次的Hilbert型積分不等式,引入參數λ≥0,在右邊積分為正數的條件下,有

(3)

(4)

(5)

應用權函數及實分析方法,建立一個具有最佳常數因子的零齊次核的Hilbert型積分不等式和等價式,并考慮了一些特殊結果.

1　一些引理

(6)

(7)

則有

(8)

證明對式(6)作變換u=y/x,則有

(9)

將其代入式(9)中,并令t=(2k+3)u,得

(10)

這里,k(σ)為式(8)所定義.

證明配方并由H?lder不等式[8]及式(7),有

(11)

由式(11),Fubini定理[9]及式(6),式(7),有

即式(10)成立.證畢.

2　主要定理

(12)

(13)

這里,k(σ)為式(11)所定義,且k(σ)及kp(σ)均為最佳值.

不妨設E≠0(否則,F=E=0),故有

配方并由H?lder不等式[8],有

(14)

(15)

即

(16)

對式(16)兩邊p次方,可得式(13),且它與式(12)等價.

則可算得

由Fubini定理[9],并對下式中的內積分作變換u=y/x,可得

(17)

由Fatou引理[9],及式(17),易得

這與假設矛盾,故k=k(σ)必為式(12)的最佳值.式(13)的常數因子kp(σ)必為最佳值,不然,由式(14),必導出式(12)的常數因子也不為最佳值的矛盾結論.證畢.

(18)

(19)

(20)

(21)

致謝：作者衷心感謝楊必成教授的細心指導.

[1] 楊必成. 關于一個推廣的Hardy-Hilbert不等式[J].數學年刊(A),2002,23(2):247-252.

[2] 楊必成.算子范數與Hilbert型不等式[M].北京:科學出版社,2009:148-299.

[3] 楊必成.關于正數齊次核的Hilbert型不等式[J].廣東教育學院學報,2009,29(3):1-8.

[4] 楊必成.一個Hilbert型積分不等式[J].浙江大學學報(理學版),2007,34(2):121-124.

[5] 楊必成.一個新的零齊次核的Hilbert型積分不等式[J].浙江大學學報(理學版),2012,39(4):390-392.

[6] 王竹溪,郭敦仁.特殊函數概論[M].北京:北京大學出版社,2000:40-81.

[7] 鐘玉泉.復變函數論[M].北京:高等教育出版社,2003.

[8] 匡繼昌. 常用不等式[M].濟南:山東科學技術出版社,2004:4-5.

[9] 匡繼昌. 實分析引論[M].長沙:湖南教育出版社,1996:45-46.

A New Hilbert-Type Inequality with the Non-monotone Homogeneous Kernel of Degree 0

ZHONG Jian-hua1, CHEN Qiang2

(1． Department of Mathematics, Guangdong University of Education, Guangzhou,Guangdong, 510303, P.R.China; 2． Department of Computer Science, Guangdong University of Education, Guangzhou, Guangdong, 510303, P.R.China)

A new Hilbert-type inequality with the non-monotone homogeneous kernel of degree 0 is provided in this paper. By utilizing the weight coefficients with the parameter σ and the method of completing the square, the corresponding Hilbert-type integral inequality with the best constant factor and the equivalent form are obtained. Some particular cases are considered.

Hilbert-type inequality; weight function; parameter; equivalent form

2015-09-28

國家自然科學基金資助項目(61370186)；2014年廣州市科技計劃應用基礎研究項目(2014J4100032)

鐘建華,男, 廣東廉江人, 廣東第二師范學院數學系副教授.

O178

A

2095-3798(2016)05-0038-05