均勻帶電圓盤(pán)電場(chǎng)的數(shù)值研究

沈華嘉

(廣東第二師范學(xué)院 物理與信息工程系， 廣東 廣州 510303)

?

均勻帶電圓盤(pán)電場(chǎng)的數(shù)值研究

沈華嘉

(廣東第二師范學(xué)院 物理與信息工程系， 廣東 廣州 510303)

用通用軟件Mathematica對(duì)均勻帶電圓盤(pán)電場(chǎng)的空間分布進(jìn)行數(shù)值研究，對(duì)比了勒讓德級(jí)數(shù)解與疊加原理-直接積分兩種方法的數(shù)字化結(jié)果. 結(jié)果顯示：由勒讓德級(jí)數(shù)解很難繪制出正確的電場(chǎng)強(qiáng)度的空間分布圖，而使用積分表達(dá)式則可快速獲得正確的結(jié)果.

均勻帶電圓盤(pán)；電場(chǎng)；數(shù)字化；勒讓德級(jí)數(shù)；積分表達(dá)式

1　均勻帶電圓盤(pán)電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度的勒讓德級(jí)數(shù)表達(dá)式和積分表達(dá)式

根據(jù)文獻(xiàn)[2]，均勻帶電圓盤(pán)的電勢(shì)可表達(dá)為以勒讓德多項(xiàng)式為基的級(jí)數(shù)

(1)

式中q為圓盤(pán)的帶電量，a為圓盤(pán)的半徑，θ為球坐標(biāo)系的極角．

圖1　薄圓盤(pán)與坐標(biāo)系

實(shí)際上，本問(wèn)題的電勢(shì)可以使用疊加原理-積分法來(lái)計(jì)算. 薄圓盤(pán)可以看成由無(wú)窮多個(gè)同心圓環(huán)組成，如圖1所示.

由于具有軸對(duì)稱(chēng)性，只需考慮xoz平面內(nèi)觀測(cè)點(diǎn)P(x,0,z)的電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度．圓盤(pán)上源點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(ρcos φ,ρsin φ,0)，觀測(cè)點(diǎn)P到源點(diǎn)P′的距離為

(2)

把式(2)代入點(diǎn)電荷的電勢(shì)公式，由疊加原理得均勻帶電圓盤(pán)的電勢(shì)積分表達(dá)式

(3)

2　兩種表達(dá)式的數(shù)字化

先給出電勢(shì)積分表達(dá)式的數(shù)字化.

設(shè)圓盤(pán)帶正電，為了計(jì)算的方便，取長(zhǎng)度單位為a，電勢(shì)單位為U0=q/(4π2ε0a), 電場(chǎng)強(qiáng)度單位為E0=q/(4π2ε0a2). 式(3)是一個(gè)復(fù)雜的積分, 不能用初等函數(shù)表示，可進(jìn)行數(shù)值積分. 為了方便，記

(4)

則電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度分別為

(5)

和

(6)

根據(jù)式(4)～式(6)，由通用軟件Mathematica可快速得到電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度數(shù)字化結(jié)果，圖2～圖4分別是電勢(shì)的空間分布、電場(chǎng)強(qiáng)度大小的空間分布、等勢(shì)線和電場(chǎng)強(qiáng)度方向的分布，它們形象美觀地描述了均勻帶電圓盤(pán)電場(chǎng)的空間分布.

現(xiàn)在開(kāi)始研究勒讓德級(jí)數(shù)解的數(shù)字化.

式(1)是兩個(gè)以勒讓德多項(xiàng)式為基的級(jí)數(shù)，數(shù)值計(jì)算的首要問(wèn)題就是如何快速給出任意階勒讓德多項(xiàng)式. 幸運(yùn)的是，在Mathematica里勒讓德多項(xiàng)式的產(chǎn)生并非難事，無(wú)論是直接調(diào)用系統(tǒng)內(nèi)設(shè)函數(shù)Legendre[2n,x], 還是使用著名的羅德里格斯(Rodrigues)公式

(7)

都可以快速獲得2n階勒讓德多項(xiàng)式，例如0、2、4、6階勒讓德多項(xiàng)式分別如下

它們看上去整齊簡(jiǎn)單，然而，隨著階數(shù)的增加，它變得越來(lái)越復(fù)雜. 當(dāng)階數(shù)高到一定程度(例如100階)時(shí)，它的復(fù)雜程度將超出了我們的想象.

為了獲得xoz平面內(nèi)直觀分布圖，必須把極坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換成直角坐標(biāo)系

(8)

將式(7)和式(8)代入式(1)，利用Mathematica快速產(chǎn)生勒讓德多項(xiàng)式、求和運(yùn)算以及數(shù)字繪圖功能，可把式(1)所示的電勢(shì)表達(dá)式數(shù)字化. 我們無(wú)法求出級(jí)數(shù)U1和U2的所有項(xiàng)，可以先取級(jí)數(shù)前21項(xiàng)(截?cái)嗟絥=M=20)，即計(jì)算到40階勒讓德多項(xiàng)式，此時(shí)由級(jí)數(shù)表達(dá)式(1)得到的電勢(shì)空間分布與使用電勢(shì)積分表達(dá)式(3)所得到的結(jié)果(圖2)是一致的.

從理論上講，使用式(6)計(jì)算電勢(shì)的梯度就可得到電場(chǎng)強(qiáng)度. 然而, 當(dāng)截?cái)嗟?0階勒讓德多項(xiàng)式時(shí)，在r

提高計(jì)算量至100階勒讓德多項(xiàng)式，結(jié)果如圖6所示，電場(chǎng)強(qiáng)度大小的分布圖有所改善(斑塊減少)，但不十分明顯；繼續(xù)提高計(jì)算量，當(dāng)截?cái)嗟?00階勒讓德多項(xiàng)式，數(shù)值結(jié)果如圖7所示，電場(chǎng)強(qiáng)度大小的分布圖有了較大改善，但是在圓盤(pán)面附近，波動(dòng)起伏仍十分明顯；繼續(xù)提高截?cái)嚯A數(shù)，結(jié)果進(jìn)一步改善，勒讓德級(jí)數(shù)的結(jié)果更進(jìn)一步接近積分表達(dá)式的結(jié)果(圖3)，當(dāng)計(jì)算到600階時(shí)結(jié)果如圖8所示，整體已經(jīng)比較接近圖3，但在圓盤(pán)面附近仍有比較明顯的波動(dòng)起伏.

3　結(jié)論與討論

本文應(yīng)用通用軟件Mathematica，對(duì)均勻帶電圓盤(pán)電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度的勒讓德級(jí)數(shù)解進(jìn)行數(shù)字化研究，并與疊加原理-積分法(積分表達(dá)式)的結(jié)果進(jìn)行了比較. 結(jié)果表明：使用積分表達(dá)式可以快速把電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度數(shù)字化(計(jì)算并繪制出圖2～圖4三幅精美分布圖只需幾秒鐘時(shí)間). 但使用勒讓德級(jí)數(shù)解則很難把電場(chǎng)強(qiáng)度數(shù)字化，現(xiàn)總結(jié)如下，以便對(duì)勒讓德級(jí)數(shù)有更清晰的認(rèn)識(shí).

1)對(duì)于電勢(shì)空間分布，使用勒讓德級(jí)數(shù)解，比較容易獲得正確的數(shù)字化結(jié)果，只需截?cái)嗟降?0階勒讓德多項(xiàng)式就可獲得正確結(jié)果.

2) 對(duì)于電場(chǎng)強(qiáng)度的空間分布，使用勒讓德級(jí)數(shù)解，很難獲得正確的數(shù)字化結(jié)果. 就均勻帶電圓盤(pán)的電場(chǎng)強(qiáng)度而言，在r

[1] 吳崇試．均勻帶電薄圓盤(pán)的電勢(shì)問(wèn)題[J]．大學(xué)物理, 2000, 19(11)：1-4.

[2] 林璇英，張之翔．電動(dòng)力學(xué)題解[M]. 2版．北京：科學(xué)出版社，2007:152-157.

[3] 賈秀敏．均勻帶電圓環(huán)片的空間靜電場(chǎng)[J]．大學(xué)物理, 2010, 29(8)：29-30.

Numerical Study of Electric Field from a Uniform Charged Disc

SHEN Hua-jia

(Department of Physics and Information Engineering, Guangdong University of Education, Guangzhou, Guangdong, 510303, P.R.China)

The spatial distribution of the electric field from a uniform charged disc is numerically studied. The numerical results of Legendre series are compared with ones of the direct integral method. Our results show that it is difficult to draw the correct spatial distribution map of the electric field intensity by using the Legendre series, while using the integral expression the correct results can be quickly obtained.

uniform charged disc; electric field; digitization; Legendre series; integral expression

2016-06-25

廣東省高等學(xué)校物理專(zhuān)業(yè)綜合改革試點(diǎn)項(xiàng)目(9010-14246)

沈華嘉，女，浙江紹興人，廣東第二師范學(xué)院物理與信息工程系副教授.

O441.3

A

2095-3798(2016)05-0067-04