一個三角函數(shù)無窮乘積表達式的應(yīng)用

沈志軍

(1.咸陽寶石鋼管鋼繩有限公司， 陜西 咸陽 712000； 2.全國不等式研究會， 浙江 海寧 314400)

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一個三角函數(shù)無窮乘積表達式的應(yīng)用

沈志軍1,2

(1.咸陽寶石鋼管鋼繩有限公司， 陜西 咸陽 712000； 2.全國不等式研究會， 浙江 海寧 314400)

在已知無窮乘積知識的基礎(chǔ)上，證明了一個關(guān)于三角函數(shù)的無窮級數(shù)定理.根據(jù)定理，推廣了一些無窮乘積和無窮級數(shù)的著名結(jié)論.

無窮乘積；三角函數(shù)；無窮級數(shù)

本文將利用無窮乘積的知識給出一個有關(guān)三角函數(shù)的結(jié)論，并根據(jù)該結(jié)論對一些經(jīng)典結(jié)果進行了推廣.為了便于討論，先給出相關(guān)引理和定理.

證明設(shè)

根據(jù)引理1和文獻[1]可知f(z)滿足引理條件，又f(z)的一階零點為±(2n-a)π或者±(2n-2+a)π，其中a∈[-1,0)∪(0,1]，n∈N+.

根據(jù)引理1、引理2可知：

即

(1)

證明根據(jù)Taylor公式改寫式(1)

(2)

根據(jù)文獻[2-3]，比較式(1)和式(2)中z2的系數(shù)可得

(3)

證畢.

定理1、定理2非常有趣，可以得到很多特殊無窮乘積、無窮級數(shù)的和.

1　定理1的應(yīng)用

等式右側(cè)滿足引理2的收斂性判定，即此處為嚴格證明(下文各例類似).例1的結(jié)果稱為Euler公式，據(jù)此可見定理1其實是Euler公式的推廣.

證明改寫式(1)有

則

由L’Hospital法則

又

例2的結(jié)果也稱為Euler公式.歷史上，Euler根據(jù)該公式解決了不少復(fù)雜而困難的問題.此外，筆者注意到和Euler相關(guān)的公式及定理數(shù)量過千，如果均以Euler公式(或定理)命名，則不明確，是否可采用類似“Euler關(guān)于正弦函數(shù)的無窮乘積公式”的方法命名.筆者提出此問題，請各位先生批評指正.

證明由初等數(shù)學可知：

則

即

此外，最重要的是傳統(tǒng)授課方式留給專業(yè)科研訓練的空間十分狹窄，科研實踐形式單一，與專業(yè)課程教學不能很好地銜接，使得學生科研意識淡薄，主動性及參與性不夠。如此培養(yǎng)出來的學生處理科研問題缺乏靈活性，對醫(yī)學科研缺乏熱情和敏感性，勢必導致醫(yī)學人才質(zhì)量下降，醫(yī)學水平停頓不前。

(4)

特別是a=0時，

(5)

解對定理1兩邊取對數(shù)同時對z求導數(shù)：

整理：

(6)

(7)

這是正切函數(shù)的著名展開式.

解根據(jù)Euler關(guān)于三角函數(shù)和雙曲函數(shù)的公式，

sin ix=isinh x，cos ix=cosh x，其中i2=-1.

即

(8)

特別令z→0可得

即

這是前述定理2.

根據(jù)倍元公式：sinh 2z=2sinh zcosh z，cosh 2z=2sinh2z+1.

2　定理2的應(yīng)用

解在定理2中，對等式兩邊同時求導并化簡:

(9)

此外，式(9)還可以給出一些其他結(jié)果.

例11的結(jié)果比較有趣，如果根據(jù)高等數(shù)學初次容易斷定結(jié)果為非0，但此處可以直接“讀出”結(jié)果，當然利用高等數(shù)學會計算得到同樣結(jié)果. 對式(9)繼續(xù)求導，還可以給出類似結(jié)果.

證明定理2中等式滿足逐項求導條件，則等式兩邊求導可得

因sin x不為零，則

為便于敘述，約定

定理3可改寫為x∈D，f1(x)cos x=g1(x)sin x.

又可得如下結(jié)論x∈D，m∈N+：

(10)

其中f1(m)(x)表示f1(x)的m階導數(shù)，為便于敘述，再約定f1(m)(x)=f1(m)，下同.

(11)

而由(10)、(11)可得

f1(m)=-2g1(m-1).

(12)

設(shè)

可見定理3與Riemann定義的zeta 函數(shù)有關(guān)聯(lián),而且是zeta 函數(shù)中自變量取值不同時的聯(lián)系，因此給出如下定理.

定理4若x∈D，m∈N+，則

證明由乘積函數(shù)高階求導的Leibniz公式對定理3兩邊同時取m階導數(shù)可得

即

結(jié)合式(12)整理可得定理4.

下邊給出幾個有趣的特例.

解當m=1，根據(jù)定理3可得

f1(2)sin x+3f1(1)cos x-2f1(0)sin x=0，

(13)

將例10和定理3的結(jié)果代入可得

設(shè)

(14)

式(14)的結(jié)果包含了無理數(shù)，筆者據(jù)此并結(jié)合定理2傾向于認為著名假設(shè)ζ(2m+1)=Cmπ2m+1,Cm∈Q

不成立，猜測Cm包含了無理數(shù). 盡管在1978年，法國數(shù)學家Apery.R.證明了ζ(3)不是有理數(shù)，但仍然未說明Cm∈Q成立.筆者這樣認為：歷史上，“化圓為方”、“第一類永動機”分別是數(shù)學和物理上的著名問題.學者在經(jīng)歷長期失敗后，從反面立論解決了問題.正是受到此類實例的啟發(fā)，筆者認為如果上述著名假設(shè)不成立或許能打開新局面.

以及本文定理4，筆者猜想這是素數(shù)分布的情況差異很大(有序中無序、無序中有序)，即文獻[7]中談及素數(shù)分布規(guī)律奇異的真正原因.限于筆者的認識遠遠不足，文中定有諸多不當之處，請各位學者專家指正.

致謝：本文得到浙江工商大學朱靈教授的指導，在此特別感謝.

[1] 王竹溪,郭敦仁.特殊函數(shù)概論[M].北京:北京大學出版社,2006:21-30.

[2]POLYAG.數(shù)學與猜想—數(shù)學中的歸納和類比(第一卷)[M].李心燦,等譯.北京:科學出版社, 2008:17-35.

[3] 威廉·鄧納姆.天才引導的歷程[M].北京:中國對外翻譯出版社,2001:172-181.

[5] 潘承洞,潘承彪.初等數(shù)論[M].2版.北京:北京大學出版社,1992:386,413.

[6] 胡中傳.無窮乘積表示的一類新函數(shù)[D].三峽大學,2007:2.

[7] 里本伯姆P.博大精深的素數(shù)[M].孫淑玲,馮克勤,譯.北京:科學出版社,2007:134-139.

Some Applications of the Infinite Product’s Expression with Trigonometric Function

SHEN Zhi-jun1,2

(1. Xianyang BOMCO Steel Tube & Wire Rope Co Ltd, Xianyang, Shaanxi, 712000, P.R.China; 2. Chinese Society of Inequalities and Applications, Haining, Zhejiang, 314400, P.R.China)

On the basis of the known knowledge of infinite product, an infinite product’s theorem with trigonometric function is proved. According to the theorem, some well-known conclusions regarding infinite product and trigonometric function are extended.

infinite product; trigonometric function; infinite series

2015-08-01

沈志軍,男，陜西勉縣人，咸陽寶石鋼管鋼繩有限公司質(zhì)量檢測部工程師.

O173

A

2095-3798(2016)05-0049-07