基于工件穩定性的全區域夾緊力變向迭代規劃算法

秦國華，孫爍，王華敏，左敦穩，2，吳鐵軍，魯宇明

（1.南昌航空大學江西省圖像處理與模式識別重點實驗室，江西南昌330063；2.南京航空航天大學機電學院，江蘇南京210016；3.東莞職業技術學院機械系，廣東東莞523808）

基于工件穩定性的全區域夾緊力變向迭代規劃算法

秦國華1，孫爍1，王華敏1，左敦穩1，2，吳鐵軍3，魯宇明1

（1.南昌航空大學江西省圖像處理與模式識別重點實驗室，江西南昌330063；2.南京航空航天大學機電學院，江蘇南京210016；3.東莞職業技術學院機械系，廣東東莞523808）

研究機械加工過程中夾緊力的合理規劃是保證加工質量的核心環節，對于實現加工過程的可靠性和精密化至關重要，為此構建了全區域夾緊力變向迭代規劃算法。根據工件在裝夾布局中的受力狀態以及工件與裝夾元件之間接觸力的方向約束條件，分別依據夾緊力大小與夾緊點位置的未知和已知情況，結合線性規劃技術建立了力的存在性和力的可行性分析方法。在夾緊力存在的條件下，通過離散夾緊表面為點集的方法，逐點地以一定步長正向從最小值開始選取夾緊力的大小，根據當前值與上一次取值之間可行性的差異，確定下一次取值的步長及其方向，若可行性相同則以相同步長繼續正向取值，否則步長減半、反向取值，直至步長的絕對值在閾值范圍之內，建立全區域內夾緊力的變向迭代規劃算法。該算法將連續型的夾緊力設計問題轉化為離散型，不僅適合于形狀復雜的工件，而且還利于計算機實現夾緊力的自動化設計。

機械制造工藝與設備；夾緊力；力的存在性；力的可行性；閾值；離散化；變向

0　引言

工件的機械加工過程一般由工件的裝夾和工件的加工兩部分組成［1］。合理的裝夾是保證加工質量的前提條件，其目的旨在獲得工件相對于刀具的正確位置，防止由于切削力和切削扭矩造成的工件位置變化、工件變形甚至生產事故。工件位置變化和工件變形降低工件的加工精度，影響工件的使用性能，過大的工件位置變化和工件變形甚至導致工件報廢。然而，航空、兵器等國防工業領域的高性能工件，如運用在雷達上的鋁質薄殼件和薄筒件、飛機上的翼肋、發動機上的渦輪葉片等，廣泛采用復雜整體結構，具有壁薄、尺寸大、精度要求高等特點，但過大的夾緊力、不合理的夾緊點布局等因素極易產生工件位置變化和工件變形。夾緊力計算是工件裝夾規劃中一項非常關鍵的任務［2-3］，為此，國內外眾多研究人員主要在兩個方面傾注了極大的關注與努力:

1）關于夾緊點位置的布局問題。文獻［4-5］提出了裝夾點（包括定位點和夾緊點）布局的投影空間位置枚舉法。通過將工件在基礎板上的投影離散成網格單元而得到一組單元中心點，依據定位點最遠原則提出了啟發式搜索方法，分別在底面、兩個側面搜索出“3-2-1”共6個單元中心點作為定位點；然后在距離各自穩定區域中心點最遠的非加工表面上，選擇正對于穩定區域中心點的點為夾緊點。Marin等［6］根據工件的靜力平衡方程和單向接觸約束條件，通過構建優選模型使得最大的夾緊力達到最小，將夾緊點位置設計問題轉化為有約束非線性規劃問題。Liu等［7］利用有限元方法計算薄板件的變形，通過對應于最大的工件變形處增加一個定位點，以便減小工件變形，如此反復，直至工件變形減小至加工精度的要求范圍之內以確定定位點的數目。然后，以最小化最大的工件變形為目標，建立了定位點位置的優化模型，基于此，進一步提出了定位點位置的啟發式搜索規則。Selvakumar等［8］建立了最小變形為目標的定位夾緊點優化模型，通過以工件變形構造個體評價函數，提出了優化模型的遺傳算法求解技術。文獻［9-10］結合虛功原理和線性規劃技術，推導出工件穩定性的判定模型及其求解算法。引入表面網格離散化方法，通過連接所有具有工件穩定性的節點，建立了夾緊力作用區域的確定算法。王軍等［11］利用有限元方法分析了夾緊點位置、夾緊順序等不同工況下薄殼件的變形機理，揭示了分步施加夾緊力所引起的工件變形小于同步施加引起的工件變形、施加均布載荷所引起的工件變形小于施加集中載荷所引起的工件變形等規律。

2）夾緊力大小的規劃問題。Trappey等［12］視工件與裝夾元件（即定位元件和夾緊元件）均為剛體，通過建立目標使得接觸力之和為最小的優化模型，將夾緊力的計算問題轉化有約束線性規劃問題。類似地，Li等［13］考慮了工件與裝夾元件之間接觸變形引起的工件位置偏移，建立了以最小的工件總余能、工件位置偏移范數為雙目標的夾緊力優化模型，通過使得工件位置偏移范數不超過給定閾值，提出了夾緊力優化模型的“閾值約束”求解方法。

上述研究工作僅考慮單一因素的優化，沒有考慮夾緊力與夾緊點之間的耦合問題，而且這些優化模型要么適用于形狀簡單的工件，要么其求解技術由于極易受初始值的影響而得不到最優值。為此，本文研究了力的存在性和力的可行性分析方法，通過將形狀復雜的夾緊表面網格化成點集，研究全區域夾緊力變向迭代規劃算法。

1　工件穩定性分析方法

工件穩定性意指通過施加合適的夾緊力，抵抗切削力與切削扭矩對定位位置的破壞作用，使其在整個加工過程中保持平衡狀態。假定在u個定位元件確定工件與刀具之間的初始位置與方向后，由v個夾緊元件提供夾緊力fu+j（1≤j≤v）以抵抗加工過程中所受到的切削力Fcut與切削扭矩Mcut的作用，如圖1所示，此時第i個定位元件處的支撐反力為fi（1≤i≤u）。如果忽略工件與裝夾元件（即定位元件和夾緊元件）之間的摩擦，則工件的靜力平衡方程可描述為

式中:Gl=［G1，G2，…，Gu］、Fl=［f1，f2，…，fu］T分別為定位元件的方位矩陣及其支撐反力；Gc=［Gu+1，Gu+2，…，Gu+v］、Fc=［fu+1，fu+2，…，fu+v］T分別為夾緊元件的方位矩陣及其夾緊力；分別為重力旋量和切削力旋量；（1≤i≤u+v）分別為第i個裝夾元件在全局坐標系OXYZ中的方位矩陣、位置及相應內法向量；rg=［xg，yg，zg］T、rcut=［xcut，ycut，zcut］T表示工件重心和刀具切削的位置。

圖1　工件的裝夾方案Fig.1 Fixturing layout of workpiece

值得注意的是，在工件的實際裝夾過程中，為了保證工件與裝夾元件始終接觸而不破壞定位，定位元件處的支撐反力與夾緊元件上的夾緊力均應為壓力，即

當在給定裝夾元件的方位、外力的條件下，工件所具有的穩定性稱之為力的存在性，這樣，結合（1）式與（2）式，可得存在性分析模型為

式中:k表示工件所處的加工階段，k=1為定位階段，k=2為夾緊階段，k=3為切削階段；方位矩陣

顯然，如果（3）式中Xk有解，說明工件在k階段具有穩定性，若k≥2，則進一步表明在給定的夾緊元件位置上可以施加夾緊力。因此，若（3）式中，那么其解的存在性可根據求解下列具有收斂性的線性規劃問題進行檢驗:

這里，max Qk被稱為內力量度，而被稱為外力量度，那么當且僅當內力量度與外力量度相等，即存在性指標為Dk=0時，

方程（3）式有解。

如果不僅給定了裝夾元件的方位、外力，還給定了夾緊力，則這樣一種工件穩定性稱為力的可行性。因此，k≥2.類似于力的存在性，力的可行性分析模型可描述為

式中:方位矩陣a2=a3=Gl；接觸力x2=x3=Fl；外力y2=-［Wg+Wc］，y3=-［Wg+Wc+Wcut］.

若（6）式有解，則表明Fc能夠保證工件處于穩定狀態，此時Fc是可行的。同樣，（6）式解的存在性依然可根據求解下列線性規劃問題進行檢驗:

那么當且僅當可行性指標dk=0時，即

方程（6）式有解。

2　夾緊力的全區域規劃算法

對于在任意的夾緊點ri=［xi，yi，zi］T（u+1≤i≤u+v）處，求解其夾緊力fi的本質，就是搜索出滿足（6）式中夾緊力fi的所有解，即搜索出fi區間的兩個端點值fimin與fimax.若夾緊力有解，搜索夾緊力由于夾緊力fimin≥0，則選取fi0作為f*i的初始近似值。根據（7）式和（8）式判斷fi0的可行性，可行則令方向標識為λ0=1，若不可行，λ0=0.

選取步長s1=s（s為任意給定的初始步長），求出fi1=fi0+s，稱fi1為f*i的一次近似值。判斷fi1的可行性，可行則令λ1=1，若不可行，令λ1=0.定義δ1=λ1-λ0為可行性的方向變化，若δ1=0方向無變化。

如果可行性沒有發生方向變化，則按照大小、方向均不變的原則確定下一個夾緊力近似值，此時的二次近似值；如果可行性發生了方向變化，則按照大小遞減（遞減系數為ζ＜1，這里取ζ=0.5）、方向相反的原則確定下一個夾緊力近似值，即夾緊力的二次近似值為fi2=fi1-s/2，當前步長s=-s/2.

接下來，令fi=fi-fimin≥0.經判斷，若fi依然有解，則按上述步驟搜索fimax.搜索流程如圖2所示。

3　應用分析

本節列舉一個典型實例，用以說明全區域夾緊力的規劃方法。圖3為二維工件的頂面銑削示意圖，切削力為Fcut=［-600 N，-150 N］T.工件輪廓由3條直線和1條拋物線y=2（x-80）2（0≤x≤80mm）組成，尺寸為80 mm×50 mm，重力為Fg=［0N，-150N］T，重心為rg=［40mm，25mm］T.工件由定位元件L1、L2和L3進行定位，各定位元件的位置分別為r1=［0 mm，40 mm］T、r2=［10 mm，0mm］T、r3=［70mm，0mm］T.

出于加工要求與生產安全性的考慮，選取右側面為夾緊表面A.根據圖2的搜索流程，首先應將夾緊表面A網格化后的節點存入數據庫中，如圖4所示。

由于該裝夾方案中只有一個夾緊力，則存在夾緊點r4=［coord_x，coord_y］T∈A，法向量n4=［norm_x，norm_y］T，夾緊力Fc=n4f4.針對加工階段（k=3），當銑刀走到位置rcut=［5 mm，50 mm］T時，以第6個節點作為夾緊點r4=［78mm，8mm］T為例，詳細說明夾緊力的搜索過程。根據（4）式和（5）式可知，存在性指標D=0，說明夾緊力有解。為此設置初始步長為s=70 s，閾值ε=0.000 1 s，先從0開始搜索夾緊力f4區間的最小值f4min，搜索過程如表1所示。

當第1個區間值f4min=55.987 529 75 N找到后，應在區間［55.987 529 75N，+∞）上再次進行判斷夾緊力是否有解。根據（4）式和（5）式不難看出，在f4min之后依然存在可行解，表2為第2個可行解f4max的搜索過程，直至當前步長0.000 033 4 s小于或等于閾值0.000 1 s，此時f4max=618.413 019 2 N.

圖2　夾緊點及夾緊力的搜索流程Fig.2 Flow chart of searching the clamping points and clamping forces

這樣，通過將整個動態的銑削過程離散為間隔為1mm的76個刀具位置的準靜態銑削過程后，利用類似于表1和表2的步驟，可求解出加工階段、夾緊階段所需的夾緊力，如圖5所示的紫色區域。

為了驗證全區域夾緊力變向迭代規劃算法的有效性，下面直接利用解析法求解平面銑削動態過程中刀具行程至位置rcut=［5 mm，50 mm］T時夾緊力f4的大小。這里，記R1、R2、R3分別為定位元件L1、L2、L3的支撐反力，容易得工件的靜力平衡方程為

圖3　工件的裝夾方案Fig.3 Fixturing layout of workpiece

圖4　部分節點數據庫Fig.4 Database of part of node points

將各力及其夾緊點數據代入（9）式，整理后可得定位元件L2、L3的支撐反力為

由于支撐反力R2和R3不能小于0，否則工件將脫離定位元件，因此必須存在:

由此可見，夾緊力區間下限、上限值的相對誤差分別為0.000 477％與0.000 015％.夾緊力區間上限值與下限值的精度取決于給定的閾值ε.閾值ε越小，精度越高，但計算效率偏低；閾值ε越大，則計算效率高，但精度偏低。

4　結論

表1　夾緊力區間下限值的搜索過程Tab.1 Lower limit values of interval of clamping force

1）根據工件在整個加工過程中的受力狀態，建立了工件的靜力平衡條件及其與裝夾元件之間接觸力的方向約束條件，依據夾緊力未知和已知的狀態條件，進一步構建了夾緊力的存在性分析與力的可行性分析方法。利用線性規劃技術，通過提出存在性指標與可行性指標，實現了夾緊力是否有解和是否可行的定量判斷。

表2　夾緊力區間上限值的搜索過程Tab.2 Upper limit values of interval of clamping force

圖5　夾緊力的搜索過程Fig.5 Searching process of clamping force

2）以力的存在性分析與可行性分析為核心，通過網格化夾緊表面獲取夾緊點的方法，提出了全區域夾緊力的變向迭代規劃法。通過判斷相鄰夾緊力可行性的異同性，標記夾緊力的變化方向，相同則按相同步長繼續取值，否則按反向、步長減半的方法取值，直至步長的絕對值在給定的閾值范圍內。通過該方法使得連續性的夾緊力規劃問題轉化為計算機能夠處理的離散性問題，為計算機輔助夾具設計系統的開發提供了基礎理論。

3）全區域夾緊力變向迭代規劃法的求解結果與解析法計算結果完全吻合，其求解精度取決于步長的閾值，閾值越小，精度越高。該方法不僅將夾緊表面網格化，而且還將夾緊力取值范圍離散化，通過步長絕對值逐漸減小至閾值范圍內，實現全區域的夾緊力逼近。顯然，該方法不僅適用于形狀規則的工件，而且還能適用于結構復雜的工件。

（References）

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A Reverse Direction Iterative Planning Algorithm of Clam ping Forces in Entire Active Region Based on Workpiece Stability

QIN Guo-hua1，SUN Shuo1，WANG Hua-min1，ZUO Dun-wen1，2，WU Tie-jun3，LU Yu-ming1
（1.Key Laboratory of Jiangxi Province for Image Processing and Parttern Recognition，Nanchang Hangkong University，Nanchang 330063，Jiangxi，China；2.College of Mechanical＆amp;Electrical Engineering，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，Jiangsu，China；3.Department of Mechanical Engineering，Dongguan Polytechnic，Dongguan 523808，Guangdong，China）

The reasonable planning of clamping forces in the machining process is a key issue for guaranteeing the machining quality，which is of great significance to ensure the machining reliability and accuracy.For this purpose，a reverse direction iterative planning algorithm of clamping forces in entire active region is established.In addition to the direction constraint to contact force between workpiece and fixture，the force state of workpiece in fixturing layout is analyzed.According to unknown and known conditions of magnitude of clamping forces and clamping placement，the analysis methods of force existence and force feasibility are established based on the linear programming technology.Under the condition of existence of clamping forces，a clamping surface is discretized into points，and the magnitude of clampingforce is chosen，beginning with the minimum value at each point with a certain step length along the positive direction.The selection of the next magnitude of clamping force depends on the difference between the feasibilities of clamping forces at two adjacent points.According to the difference between the feasibilities of the current clamping force and the last one，the step length and its direction can be determined for the next selection.If the feasibility of the current magnitude is same as the feasibility of the previous magnitude，the step length and its direction for the next magnitude are the same as those for the current magnitude.Otherwise，a half of step length along the negative direction is chosen.The selection procedure for the magnitude of clamping force is exceeded until the absolute value of the current step length is within the given threshold value.The proposed method can be used to transform the continuous design issue of clamping forces into a discrete one.It can be used for the development of computer aided clamping force design as well as the determination of clamping forces for workpieces with complex surfaces.

manufacturing technology and equipment；clamping force；existence of force；feasibility of force；threshold value；discretization；reverse direction

TG75.3

A

1000-1093（2016）09-1700-08

10.3969/j.issn.1000-1093.2016.09.021

2015-11-12

國家自然科學基金項目（51465045、51165039）；江西省自然科學基金項目（20142BAB206018）；深圳市基礎研究項目（JCYJ20140509174140668）

秦國華（1970—），男，教授，碩士生導師。E-mail:qghwzx@126.com