方位俯仰跟蹤框架下的角偏差無奇點修正方法

陳嘉鴻，向頡，王二建

（中國衛星海上測控部飛行器海上測量與控制聯合實驗室，江蘇江陰214431）

方位俯仰跟蹤框架下的角偏差無奇點修正方法

陳嘉鴻，向頡，王二建

（中國衛星海上測控部飛行器海上測量與控制聯合實驗室，江蘇江陰214431）

分析回顧了雷達工程中，當前通用的方位俯仰極坐標框架下，無線電雷達跟蹤測量系統角偏差正割補償修正方法的由來及其局限性；提出了跟蹤指向坐標系的定義。利用坐標轉換原理給出了一種簡便易行的偏差無奇點精確修正推導新方法，并證明了新方法與通用的基于立體幾何推理方法的等價性，同時分析了新方法在雷達軸系偏差修正中的典型應用及其對系統跟蹤測量精度的影響。對于89°仰角、方位俯仰角偏差均為3 mrad的情形，正割補償修正法指向計算存在6 759.2"的方位角誤差和63.5"的俯仰誤差。新的推理方法有利于極坐標框架下的空間目標高精度跟蹤與測量，尤其是高仰角過頂跟蹤性能、指向精度和跟蹤數據利用率的提高。

雷達工程；跟蹤測量；極坐標框架；偏差修正；正割補償

0　引言

在空間飛行器測量技術領域，目標跟蹤與定位是重要的任務之一。角度測量和修正的精度直接影響目標跟蹤與定位的精度。

方位-俯仰型角度跟蹤測量系統一般是指利用方位軸和俯仰軸組合調整，使無線電雷達電軸或光學系統的光軸指向目標，從而實現對目標跟蹤測量的系統。由于方位-俯仰型天線座結構緊湊、旋轉關節少、剛度強，伺服控制系統容易實現，其原理簡單、實施方便，被工程及學術界普遍應用［1-8］。但其工程應用中常用的角偏差修正正割補償算法奇異性問題也很明顯，主要表現為在俯仰角接近90°時，會出現無窮大的修正量，導致角度測量誤差急速變大；工程應用中高仰角（一般超過75°時）測量值經常被舍棄，難以有效利用；目標過頂跟蹤時的盲區問題在正割補償框架下俯仰角接近90°時惡化嚴重，且難以克服［9-14］；同時，其基于立體幾何的數學推導過程較復雜［1-8］。

從查閱到的文獻看，較早角度偏差修正的研究大都通過幾何推理獲得近似的正割補償修正方法［5-8］，多年來已形成了成熟的應用，Samuel等［1］、劉利生［2］、鐘德安［3］、李淼等［4］將之作為經典方法不僅應用于動態跟蹤過程中的偏差修正，也應用于測量設備軸系偏差的修正。較近的與此相關的研究主要是基于該正割補償法對應用系統進行改進，其中文獻［9-14］主要集中于設備跟蹤過頂問題的研究，文獻［15-16］主要針對系統跟蹤問題重點開展了跟蹤穩定性研究，文獻［17-19］側重于對角誤差估計方法和模型的研究。

文獻［20］在研究測量精度問題中，基于坐標轉換，提出了光學與無線電雷達捷聯測量新方法。為了提高方位-俯仰型角度跟蹤測量系統特別是大型空間目標測量雷達和光學望遠鏡的高仰角測量精度和數據利用率，本文重點針對當前通用的偏差正割補償修正方法的奇異性問題開展研究，基于指向坐標系的定義，從坐標轉換的角度給出一種嚴格、簡潔的修正方法，并從理論上證明了其精確性和準確性，便于工程應用中的偏差修正和高仰角跟蹤能力的提高。

1　正割補償修正方法分析

一般的光學測量系統偏差稱為脫靶量，無線電雷達測量系統偏差稱為動態滯后。眾多文獻［1-8］對光學測量系統的軸系偏差修正給出了很詳細的推理和分析，無線電雷達測量系統偏差修正則是直接對簡化公式的應用。

1.1光學脫靶量修正

以光學經緯儀測量系統為例，脫靶量ΔA、ΔE，反映在像面（攝像機靶面）上就是偏離視場中心的距離ΔX、ΔY，根據立體幾何原理，有如下關系（具體推導過程參見文獻［2-3］）:

式中:f為經緯儀焦距；A、E分別為光軸指向的方位角和俯仰角。

考慮ΔA、ΔE值很小，經泰勒展開忽略高階項可得

工程應用中常用（3）式，其實質是一個近似表達式。

1.2雷達動態滯后修正

由于雷達跟蹤的基本原理是偏差跟蹤，即驅動天線使目標像點（或信號中心）趨近雷達中心；同時由于噪聲的影響，以及無線電雷達天線伺服系統速度、加速度有限，實際跟蹤過程中總是存在目標像點與雷達中心的偏差，傳統上稱之為動態滯后。計算目標的實際指向時一般都需要對此動態滯后量進行修正。

一般的雷達動態滯后直接測量值是方位俯仰誤差電壓ΔUA、ΔUE，記其定向靈敏度分別為KA、KE，根據誤差角定義為

對比（3）式，其中，tan（ΔAD）與ΔX/f，tan（ΔED）與ΔY/f各自等價。由于ΔAD、ΔED為接近0的小量，大多數文獻均直接給出或應用雷達角偏差的正割補償計算方法為

（5）式的物理意義本質上與（3）式一致，也是一個近似表達。

1.3軸系偏差修正

無線電設備軸系偏差較為復雜，包括大盤不水平（方位軸不垂直于基準平面）、兩軸不正交（俯仰軸不垂直于方位軸）、電軸不垂直（即電軸不垂直于俯仰軸）等。如果無線電雷達設備借助光學設備進行標定，則還包括光機偏差Sb（光軸不垂直于俯仰軸）、光電偏差（電軸不平行于光軸），二者綜合起來等效于電軸不垂直于俯仰軸。其中電軸不垂直與光機偏差的物理意義一致，本文以此為例進行分析說明。

依據文獻［2-3］，電軸/光軸不垂直或光機偏差只引起方位角誤差ΔAb.如圖1所示，當仰角E抬高時電軸本應沿大圓弧QO移動。因為有電軸不垂直角Sb，電軸卻沿Q′O′移動，在仰角為E時電軸指向S′，產生橫向角誤差SS′（即Sb，對應大圓弧SS′），投影至方位轉盤（類似于赤道面）上為QQ"，即對應方位角誤差為

圖1　光機偏差引起的方位誤差Fig.1 Azimuth error caused by offset between optical axis and mechanical axis

上述分析成立的前提是當且僅當大圓弧SS′與仰角E上半徑為R cos E的小圓弧SS′弧長相等時才成立（類似于緯度圈），其中R為球半徑。事實上這二者是不可能相等的。因此（6）式也是一個近似表達。

1.4極限狀態分析

從（3）式、（5）式以及（6）式可以看出，無論跟蹤誤差或光電偏差多么小，在仰角E趨近90°的過程中，方位角修正量ΔA均會超過180°趨向無窮大，從而出現奇異性問題。此時修正值的物理意義不再明確。因為在仰角趨近90°的過程中，從實際天線連續旋轉的意義上分析，方位角極限修正量不會超過180°，且為仰角E的連續單調量，無窮大的修正量是無意義的。

由于實際工程應用中跟蹤偏差和軸系誤差始終存在，正割補償修正方法在高仰角時將會導致計算的修正量與真值修正量差異較大，嚴重時計算的修正量不可用；基于同樣的原因，高仰角跟蹤也會出現計算的修正量遠大于實際需要的角度調整量，從而導致天線不必要的轉動，已有的跟蹤性能不能得到充分利用。

2　偏差無奇點修正方法

當前通用的光學或無線電雷達跟蹤測量主要基于地平坐標系和設備測量坐標系，如果需要計算慣性空間的位置，則還需要用到慣性坐標系。雖然光學設備與無線電雷達設備誤差跟蹤原理和修正方法是一致的，但雷達測量誤差修正不如光學測量那樣便于理解，本文側重于以雷達測量為例進行修正方法的討論，并對與光學測量的等價性進行必要的說明。

跟蹤測量設備的方位角、俯仰角、距離一般定義在設備測量坐標系下，且跟蹤誤差也在同樣的坐標系下進行分析和修正量解算。眾所周知，坐標系轉換的原理簡單易懂。本文嘗試從坐標系轉換原理出發研究新的偏差無奇點修正推理方法。

2.1坐標系定義

2.1.1雷達測量坐標系OMXMYMZM

原點為雷達三軸中心，XM軸在方位大盤平面內，指向方位角為0°的方向；YM軸垂直方位大盤平面，平行于方位軸（方位逆時針旋轉的軸向）；ZM軸由右手螺旋法則確定。

本文約定測量坐標系下方位順時針旋轉為正，范圍是0°～360°；俯仰抬高為正，范圍是0°～180°，對于可負仰角跟蹤的系統，可以根據需求定義為-n～（180+n）°。類似的光學測量坐標系與此定義一致。

2.1.2雷達指向坐標系ODXDYDZD

一般光學測量可以建立以光學中心為原點，光軸為x軸，成像靶面分別為y軸和z軸的指向坐標系，如星敏感器坐標系。類似可以建立雷達指向坐標系，原點為雷達三軸中心，XD軸為電軸，目標方向為正；ZD軸指向俯仰旋轉軸，面向目標，向右為正（即正鏡時俯仰角抬高的右手旋轉方向為正）；YD軸由右手螺旋法則確定，指向俯仰旋轉的切向方向，逆時針為正。

當雷達天線方位角、俯仰角均為0°且不考慮軸系安裝誤差時，OMXMYMZM與ODXDYDZD重合。兩坐標系關系如圖2所示。

圖2 雷達測量坐標系與指向坐標系Fig.2 Radar measurement coordinate system and direction coordinate system

圖2中雷達繞YM軸旋轉方位角A、繞ZD軸旋轉俯仰角E后得到圖2（b），靶面始終在YD軸和ZD軸構成的平面內。

雷達動態滯后即跟蹤偏差一般均定義為雷達指向坐標系下的直接量測值，與光學測量像平面脫靶量偏差定義具有相同的物理意義。該坐標系的定義可給偏差修正帶來很多方便。

2.2雷達動態滯后修正

因為重點討論角度指向，不失一般性，距離以單位值代替。根據定向靈敏度事先標定結果以及直接測量值方位俯仰誤差電壓，方位俯仰動態滯后的角度量如（4）式所示。

由于無線電雷達動態滯后角度的物理意義與光學脫靶量一致。其中，tan（ΔAD）對應于ΔX/f，tan（ΔED）對應于ΔY/f，從而可獲得空間目標在雷達指向坐標系下的歸一化矢量為

而雷達測量坐標系到指向坐標系的轉換為先繞Y軸旋轉方位角-A（旋轉矩陣為RY（-A）），再繞Z軸旋轉俯仰角E（旋轉矩陣為RZ（E）），則總旋轉矩陣為（A、E為編碼器測量值）為

由（10）式可獲得偏差修正后的目標方位、俯仰角的解析表達式（下標M表示測量坐標系，T表示真值）:

方位、俯仰角的具體值還需要視XM、YM、ZM的象限符號和角度的定義域而定。由于AMT是反正切函數，即使分母XM趨近于0，也不是數學上的奇異點，因為在自變量函數值ZM/XM趨近于無窮的過程中，將趨近于±π/2.

如果用于目標空間位置測量，（11）式和（12）式可直接應用，且可回避求解修正量的過程；如果用于跟蹤，則需要求解方位、俯仰的修正量:

對于（10）式～（13）式，用ΔX/f代替tan（ΔAD），ΔY/f代替tan（ΔED），可獲得光學脫靶量修正的新方法。

2.3電軸/光軸不垂直修正

關于電軸/光軸不垂直的修正，根據旋轉角定義，相應旋轉矩陣為

令rD=［1 0 0］T，即rM取旋轉矩陣的第一列

再利用（11）式～（13）式可以進行角度真值和修正量計算。

以上無論是雷達動態滯后修正，還是電軸/光軸不垂直修正，偏差無奇點修正方法是嚴格數學意義上的無誤差修正方法，沒有任何近似的假設。

3　等價性證明

3.1雷達動態滯后修正

利用三角函數關系可以證明關于雷達動態滯后修正（14）式與（1）式、（12）式與（2）式是等價的。

首先證明（12）式與（2）式即俯仰修正的等價性。將（9）式代入（12）式可得

由于tan（ΔAD）與ΔX/f，tan（ΔED）與ΔY/f各自等價性，可以看出（12）式與（2）式是等價的。

下面證明（11）式與（1）式即方位修正的等價性。由（9）式和（11）式得

根據三角函數公式可得

整理后可得

由于tan（ΔAD）與ΔX/f，tan（ΔED）與ΔY/f各自等價性，可以看出（19）式與（1）式是等價的，即（11）式與（1）式是等價的。

不難看出用ΔX/f代替tan（ΔAD），ΔY/f代替tan（ΔED），所獲得的光學脫靶量修正方法與（1）式、（2）式也是等價的。

3.2電軸/光軸不垂直修正

關于電軸/光軸不垂直這里主要證明在不垂直量Sb是一個小量時本文計算與傳統近似修正結果的一致性。

由于Sb是一個小量，有cos Sb≈1，sin Sb≈tan Sb≈Sb，同時將（15）式代入（11）式化簡后可得

可以看出（20）式近似計算結果與傳統的方位角修正量（6）式是等價的。

將（15）式代入（12）式直接可得

（21）式表明在不垂直量很小時，ΔEb≈0°，俯仰角可以不修正。

4　應用分析

從本文給出的無奇點修正結果看，無論是動態滯后還是其他軸系偏差引起的角度修正量均在±π/2或［0，π］范圍內，不會出現無窮大的修正量。這符合天線運動的實際物理意義。

在無線電雷達或光學設備的高精度跟蹤測量中，一般仰角高于75°時就不再做精度要求。主要是考慮到一方面高仰角穩定跟蹤困難較大，另一方面即使能夠跟蹤，測量數據精度也較低。究其原因，主要是設備伺服系統有限的速度和加速度決定了其高仰角必定存在較明顯的動態滯后，甚至無法跟蹤的現象。這同時也是自跟蹤系統驅動天線使跟蹤誤差無限接近零值的跟蹤策略（簡稱為中心跟蹤策略）必然帶來的不可克服的問題。不同跟蹤系統的差異主要在于可跟蹤的高仰角門限不同，相同的是即使能夠跟蹤，仰角越高測角數據精度均越低。

表1給出了不同仰角下的5組典型偏差修正值，其中A=30°，方位、俯仰角偏差均為3 mrad；ΔAc、ΔEc分別為正割補償法計算的方位、俯仰角修正量，ΔAm、ΔEm分別為無奇點修正法計算的方位、俯仰角修正量。

表1　通用正割補償法與無奇點修正方法不同仰角典型結果比對（通用正割補償法和無奇點修正方法計算的典型方位角和俯仰角偏差）Tab.1 Typical azimuth and elevation deviations calculated by the universal secant compensation method and the nonsingular modification method

從表1中可以看出，針對3 mrad的固定偏差，當仰角為89°，方位角修正偏差為6 759.2"，對于50ms的采樣周期可造成37.6°/s的方位速度計算誤差。該誤差已經超出了多數雷達和光學設備的方位速度極限，從而造成了高仰角跟蹤性能無法提高。

5　結論

本文基于指向坐標系的定義和坐標轉換的原理，提出了無線電雷達和光學測量設備跟蹤偏差和典型軸系誤差的無奇點修正新方法，并證明了其有效性。不考慮計算截斷誤差，該方法能夠實現無誤差的修正，在高仰角時能夠提高設備指向計算的精度，對于89°仰角、方位與俯仰角偏差均為3mrad情形，可改善正割補償修正法指向計算存在的6 759.2"的方位角誤差和63.5"的俯仰誤差。

該方法理論上無近似假設，工程上使用方便，可用于提高方位-俯仰型測量設備高仰角跟蹤性能、測量數據利用率和測量精度，缺點是仍不能完全克服高仰角盲區問題。

（References）

［1］ Samuel B，Robert P.Design and analysis of modern tracking systems［M］.Londo，UK:Artech House，1999:259-318.

［2］ 劉利生.外彈道測量數據處理［M］.北京:國防工業出版社，2002. LIU Li-sheng.Exterior ballistic measurement data processing［M］.Beijing:National Defense Industry Press，2002.（in Chinese）

［3］ 鐘德安.航天測量船測控通信設備標校與校飛技術［M］.北京:國防工業出版社，2009. ZHONG De-an.Calibration and flight technology for measurement and communication equipment for space measurement ship［M］. Beijing:National Defense Industry Press，2009.（in Chinese）

［4］ 李淼.基于跟蹤伺服系統仿真模型的光電經緯儀電視跟蹤性能評價［D］.長春:中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，2012. LI Miao.Tracking performance evaluation for electro-optic theodolite TV tracking based on servo system simulation model［D］. Changchun:Changchun Institute of Optics，Fine Mechanics and Physics，Chinese Academy of Sciences，2012.（in Chinese）

［5］ Carlson D J，Looney C H.Coverage diagrams for x-y and elevation-over-azimuth antenna mounts，NASA-TN-D-2963［R］. Washington:Goddard Space Flight Center，1965.

［6］ Kurek N B.Secant correction for tracking pedestals［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1966，11（1）:135-136.

［7］ Senger S J.Device for secant correction of azimuth data in tracking radars:US，4032919［P］.1977-06-28.

［8］ Senger S J.Angle servo preamplifier.US，4178594［P］.1979-12-11.

［9］ Ji T B，Yang X H，Chen T，et al.Study on factors of influencing altitude-azimuth tracking performance near the zenith［J］.Journal of Optoelectronics Laser，2004，15（3）:283-286.

［10］ KhaliliM M，Hejazi F，Norouzi Y，et al.Secant method for bearing-only tracking problem［C］∥14th International Radar Symposium.Dresden，Germany:IEEE Computer Society，2013: 1-6.

［11］ 王紅宣，吉桐伯，王偉國，等.地平式跟蹤系統過頂問題研究［J］.吉林大學學報:信息科學版，2010，28（4）:347-351.WANG Hong-xuan，JI Tong-bo，WANG Wei-guo，et al.Solution to overcome zenith blind zone in altitude-azimuth optoelectronic system［J］.Journal of Jilin University:Information Science Edition，2010，28（4）:347-351.（in Chinese）

［12］ 董小萌，張平.兩軸穩定平臺的過頂盲區問題［J］.北京航空航天大學學報，2007，33（7）:811-815. DONG Xiao-meng，ZHANG Ping.Zenith blind zone of two-axis stabilized platform［J］.Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2007，33（7）:811-815.（in Chinese）

［13］ 王鋒，高亞飛，李清軍.一種機載光電測量設備過頂跟蹤技術［J］.現代電子技術，2012，35（17）:144-146. WANG Feng，GAO Ya-fei，LI Qing-jun.A vertex tracking technique for airborne photoelectric equipment［J］.Modern Electronics Technique，2012，35（17）:144-146.（in Chinese）

［14］ Zhai K，Yang D.Zenith pass problem of inter-satellite linkage antenna based on program guidance method［J］.Chinese Journal of Aeronautics，2008，21（1）:53-60.

［15］ Murakoshi T.Antenna stabilizing control system using a strapdown 2-axis azimuth/elevation method［J］.Microsystem Technologies，2005，11（8）:590-597.

［16］ Pankaj K G，Ramesh V，Bhatt K A，et al.Two-channel mono-pulse tracking receiver for onboard antenna tracking system［C］∥International Conference on Communication，Information＆amp;Computing Technology.Mumbai，India:IEEE Computer Society， 2012.

［17］ 呂韶昱，占榮輝，萬建偉.雷達低空目標俯仰角測量提取的最大似然估計算法應用［J］.兵工學報，2008，29（9）:1059-1062. LYU Shao-yu，ZHAN Rong-hui，WAN Jian-wei.Maximum likelihood elevation extraction technique for radar low-altitude target［J］.Acta Armamentarii，2008，29（9）:1059-1062.（in Chinese）

［18］ 王文君，段曉君，朱炬波，等.某型彈載雷達測角系統誤差模型辨識方法［J］.兵工學報，2014，35（2）:273-279. WANG Wen-jun，DUAN Xiao-jun，ZHU Ju-bo，et al.Identification method of systematic errors model of a missile-borne radar［J］.Acta Armamentarii，2014，35（2）:273-279.（in Chinese）

［19］ 黃師娟，張旭斌，董斌，等.雷達測量數據精度評估方法研究［J］.測試技術學報，2015，29（1）:36-40. HUANG Shi-juan，ZHANG Xu-bin，DONG Bin，et al.Research on accuracy evaluate method of radar testing data［J］.Journal of Test and Measurement Technology，2015，29（1）:36-40.（in Chinese）

［20］ Chen JH，Zhao W H，Liu B，et al.A new optics and radar strap-down measuring system［C］∥Proceeding of the International Astronautical Congress.Beijing:International Astronautical Federation，2013:8741-8748.

A Nonsingularity Modification Method of Angular Deviation in Azimuth-elevation Tracking Frame

CHEN Jia-hong，XIANG Jie，WANG Er-jian
（Joint Laboratory of Flight Vehicle Ocean-based Measurement and Control，Chinese Satellite Maritime Tracking and Controlling Department，Jiangyin 214431，Jiangsu，China）

The secant compensation method for correcting an angular deviation of radar tracking measurement system in azimuth-elevation polar coordinate frame is reviewed，and its pros and cons are analyzed. To overcome the complexity of derivation process and singularity，a tracking pointing coordinate system，i.e.，line-of-sight coordinate system，and a simple and practical nonsingularity compensation method based on coordinate transform principle are proposed.The equipollency between the proposed method and the universal secant compensation method based on solid geometry reasoning results is proven.The application of the proposed method in typical deviation correction of shafting and its effect on the tracking and measurement accuracies of radar system are also analyzed.For elevation angle of 89°，and azimuth and elevation angular deviations of 3 mrad，the azimuth error and elevation error calculated by the secant compensation method are 6 759.2"and 63.5"，respectively.The proposed method is benefit for the high precision tracking and measurement of space targets in the polar coordinate frame，especially to effectively improve the zenith tracking performance and the pointing accuracy with high elevation.

radar engineering；tracking and measurement；polar coordinate frame；deviation correction；secant compensation

V557+.5

A

1000-1093（2016）09-1708-07

10.3969/j.issn.1000-1093.2016.09.022

2016-02-02

國家自然科學基金項目（61403421）

陳嘉鴻（1971—），男，研究員。E-mail:stone_cjh@126.com