一類廣義Lyapunov矩陣方程的正定解

李春梅，段雪峰，彭振赟，江祝靈

（桂林電子科技大學數學與計算科學學院，廣西 桂林　541004）

一類廣義Lyapunov矩陣方程的正定解

李春梅，段雪峰，彭振赟，江祝靈

（桂林電子科技大學數學與計算科學學院，廣西 桂林541004）

研究了雙線性系統中的一類廣義Lyapunov矩陣方程的正定解.基于混合單調算子不動點定理，給出新的存在正定解的充分條件，構造了求其正定解的不動點迭代方法，并給出了迭代誤差估計公式.數值實驗表明新方法是可行的.

廣義Lyapunov矩陣方程；雙線性系統；正定解；充分條件；迭代方法

1　引言

本文研究如下廣義Lyapunov矩陣方程：

的正定解，其中A，N1，N2，···，Nm是n×n階實矩陣，Q是n×n階對稱正定矩陣.令

則雙線性系統

的可達格拉姆矩陣P就是廣義Lyapunov矩陣方程（1.1）的正定解，其中Q=BBT.因此，廣義Lyapunov矩陣方程（1.1）的正定解在雙線性系統的可達格拉姆矩陣的計算中起著重要作用，詳見文獻［1-3］.

自從上個世紀開始，人們對標準的Lyapunov矩陣方程（即矩陣方程（1.1）在m=0時的情形）進行了系統深入的研究，發展了許多有效的數值方法.這些迭代方法主要分為直接法和迭代法兩大類，直接法主要利用矩陣分解、分塊技術，矩陣廣義逆和矩陣直積給出解析解的方法，比如：Bartels-Stewart方法［4］，Hammarling方法［5］等，而迭代方法（如：Krylov子空間方法［6］，ADI方法［7］，矩陣符號函數法［8］和保結構算法［910］）主要是建立某種迭代格式，讓迭代格式產生的序列收斂于Lyapunov矩陣方程的解.然而廣義Lyapunov矩陣方程（1.1）在m≥1時的可解性理論和數值方法相對比較少，其主要原因是矩陣方程（1.1）的結構比較復雜，難以刻畫它的正定解.文［1］給出了矩陣方程（1.1）存在正定解的充分條件，然而這些條件建立在抽象的線性算子理論和譜分析的基礎之上.通過矩陣拉直算子和Kronecker積，文［1112］將矩陣方程（1.1）轉化成線性方程組，給出了一些有解的充分條件，還設計了一種參數迭代求解方法.

據我們所知，廣義Lyapunov矩陣方程（1.1）的正定解的存在性還是一個難題.本文將利用混合單調算子不動點定理，給出一個新的存在正定解的充分條件，構造了求其正定解的不動點迭代方法，并給出了迭代誤差估計公式.

2　預備知識

本文用Rn×n表示n×n階實矩陣構成的集合，SRn×n表示n×n階對稱矩陣組成的集合.B＞0（B≥0）表示矩陣B對稱正定（半正定）.B＞C（B≥C）表示矩陣B-C正定（半正定）.如果矩陣X滿足B＜X＜C，我們記為X∈（B，C）.λ1（B）和λn（B）分別表示n×n對稱矩陣B的最大和最小特征值.表示n×n階半正定矩陣構成的集合.BT表示矩陣B的轉置，Om×n表示m×n階零矩陣.‖B‖表示矩陣B的譜范數.對于n×n階正定矩陣Q，Q-范數定義如下

集合SRn×n上定義了Q-范數就形成一個完備的度量空間（詳見文獻［1］）.

引理 2.1［13］設A和B是n×n階正定矩陣，則0≤Tr（AB）≤‖A‖Tr（B）.

引理 2.2（混合單調算子不動點定理［14］）設（W，≤）是一個偏序集，d是W上的度量，它使得W構成一個完備的度量空間.設映射F：W×W→W連續且在集合W上混合單調.假如存在δ∈［0，1）對所有的x≥u和y≤v滿足

如果

（i）存在x0，y0∈W 使得x0≤F（x0，y0）和y0≥F（y0，x0）成立；

（ii）任何一對元素都有上界和下界，即對任意（x，y）∈W×W 都存在 z1和 z2使得x，y≤z1和x，y≥z2成立；那么存在唯一的使得

另外，由xk+1=F（xk，yk）和yk+1=F（yk，xk）產生的序列｛xk｝和｛yk｝收斂于它的誤差估計式為

這里映射F：W×W→W混合單調的意思是映射F（x，y）關于x單調遞增，關于y單調遞減，即

3　主要結論

本節中，我們利用混合單調算子的不動點定理得到矩陣方程（1.1）存在對稱正定解的新的充分條件，構造一種迭代方法計算其對稱正定解，同時迭代方法的誤差估計公式也被給出.

定理 3.1設F=A+In.如果

4　數值實驗

本節將利用數值例子驗證迭代方法（3.2）的可行性.實驗程序都是用MATLAB R2010a編寫.對于迭代方法（3.2），我們定義相對誤差

所有實驗的停機標準為R（Xk）≤1.0×10-10，R（Yk）≤1.0×10-10.

例4.1考慮廣義Lyapunov方程：

（1）設n=8，容易驗證定理3.1的條件滿足，則可利用迭代方法（3.2）計算矩陣方程（4.1）的唯一正定解迭代3 0步后，得到它的相對殘差為R（X30）≈8.58×10-11.

（2）設n=100或300，容易驗證定理3.1的條件滿足，則可利用迭代方法（3.2）計算矩陣方程（4.1）的唯一正定解相對殘差R（Xk）和R（Yk）的收斂曲線見圖1.

圖1　相對殘差R（Xk）和R（Yk）的收斂曲線

例4.1說明如果A，Nj和Q滿足定理3.1的條件，則由迭代方法（3.2）產生的矩陣序列｛Xk｝和｛Yk｝都收斂于矩陣方程（1.1）的唯一正定解

5　結論

本文研究了雙線性系統模型降階中的一類廣義Lyapunov方程.利用混合單調算子的不動點定理得到了該方程存在唯一正定解的充分條件，構造了迭代求解方法，并給出了迭代方法的誤差估計公式.文章最后利用數值例子驗證了迭代方法的可行性.

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2010 MSC:15A24，65F30，93A15

Positive definite solution of a class of generalized Lyapunov equation

Li Chunmei，Duan Xuefeng，Peng Zhenyun，Jiang Zhuling
（School of Mathematics and Computational Science，Guilin University of Electronic Technology，Guilin 541004，China）

In this paper，we consider the positive definite solution of a class of generalized Lyapunov matrix equation，which arises in the bilinear systems.Based on the fixed point theorem for mixed monotone operator，a new sufficient condition for the existence of a unique positive definite solution is derived.A fixed point iterative method is proposed to compute the unique positive definite solution，and its error estimation is also given.Finally，a numerical example is presented to illustrate the feasibility of the proposed method.

generalized Lyapunov equation，bilinear system，positive definite solution，sufficient condition，iterative method

O178

A

1008-5513（2016）05-0505-10

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.05.007

2016-06-30.

國家自然科學基金（11561015；11301107；11261014）；廣西自然科學基金（2016GXNSFFA380009；2016GXNSFAA380074）.

李春梅（1984-），碩士，講師，研究方向：數值代數.