次正規子群與有限群的超可解性

黃瓊

（1.廣西師范學院數學與統計科學學院，廣西 南寧　530023；2.廣西體育運動學校，廣西 南寧　530001）

次正規子群與有限群的超可解性

黃瓊1，2

（1.廣西師范學院數學與統計科學學院，廣西 南寧530023；2.廣西體育運動學校，廣西 南寧530001）

通過Sylow子群的極大子群和次正規性，利用極小階反例的方法，得出群p-冪零性和超可解性的結論.本文的創新改進之處在于結合Sylow子群的極大子群和次正規性，研究p-冪零性和超可解性的相關結論.

可解群；次正規子群；Sylow p-子群；p-冪零群

1　引言

本文之群皆指有限群，所用術語和符號都是標準的.

上世紀30年代末，H·Wielandt從存在合成群列的群中提出了次正規子群的概念，并對次正規性進行了深入研究.近幾十年，許多群論工作者如：D.Bartels，J.C.Lennox and S.E.Stonehewer，Derek J.S Robinson，郭文彬［1］，蘇躍斌［2］，馮愛芳［3］，劉合國［4］，潘紅飛，左林，李曉華等，對這個重要子群特性進行了深入研究，得出了許多新的成果.本文對子群的次正規性進行研究，得出有限群p-冪零和超可解的結論.

2　定義及引理

定義2.1［5］設G是群，H≤G，稱H為G的次正規子群，并記作H??G，如果H在G的某個次正規群列中出現.

定義 2.2［6］設G是有限群，P∈Sylp（G）.如果G有正規子群N，滿足N∩P=1，NP=G，則稱G為p-冪零群，而稱N為G的正規p-補.

定義2.3［7］若群G的主因子均為素數階循環群，則稱G為超可解群.

引理2.4［8］設G是群.則

（1）若H??G，M≤G，則H∩M??M；

引理2.5［9］設G是群，p是|G|的素因子且（|G|，p-1）=1.則

（1）若N是G的p階正規子群，則N含于Z（G）；

（2）若G有循環的Sylow p-子群，則G為p-冪零；

（3）若M是G的指數為p的子群，則M在G中正規.

引理2.6［10］設M是群G的極大子群，P是G的正規p-子群，使得G=PM，其中p是|G|的素因子.則（1）P∩M?G；（2）若p＞2且P的極小子群在G中正規，則|G：M|=p.

3　主要結果

定理 3.1設 G是群，H?G使得G/H為 p-冪零，P∈Sylp（H），其中 p∈π（G）且（|G|，p-1）=1.若P的極大子群在G中次正規，則G為p-冪零.

定理3.2設H是群G的正規子群使得G/H超可解.則G超可解當且僅當H的非循環Sylow子群的極大子群皆在G中次正規.

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［3］馮愛芳，劉祖華.至多含8個非次正規子群的有限群（英文）［J］.西南師范大學學報：自然科學版，2012，37（2）：12-17.

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［9］韋華全.子群特性與有限群結構［D］.廣東：中山大學圖書館，2006.

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［13］Huppert B.Endliche Gruppen I［M］.New York：Springer-Verlag，1967.

2010 MSC:20B05

Subnormal subgroups and super solvability of finite groups

Huang Qiong1，2
（1.College of Mathematics and Statistics，Guangxi Teachers Education University，Nanning530023，China；2.Guangxi Sports School，Nanning530001，China）

The purpose of this paper is for obtaining the conclusions of group p-nilpotency and supersolvability by maximal subgroups of Sylow subgroups and subnormality and using minimal order counterexample method.The innovation and improvement of this paper is that it researches the related conclusions of group p-nilpotency and supersolvability combining maximal subgroups of Sylow subgroups and subnormality.

super solvable group，subnormal subgroup，Sylow p-subgroup，p-nilpotent group

O152.1

A

1008-5513（2016）05-0546-05

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.05.011

2016-06-09.

國家自然科學基金（10961007，11161006）；廣西自然科學基金（0991101，0991102）.

黃瓊（1984-），碩士，助理講師，研究方向：有限群理論.