線狀李超代數Ln，m上的Yang-Baxter方程

楊勇，劉文德

（哈爾濱師范大學數學科學學院，黑龍江 哈爾濱　150025）

線狀李超代數Ln，m上的Yang-Baxter方程

楊勇，劉文德

（哈爾濱師范大學數學科學學院，黑龍江 哈爾濱150025）

在特征零的代數閉域上，首先做出Ln，m的一個空間的直和分解，從而將Ln，m上的Yang-Baxter方程的解分為若干情形.然后分別在每種情形下對Yang-Baxter方程進行求解，進而得到了Ln，m上的所有的Yang-Baxter方程的解的矩陣形式.

Yang-Baxter方程；冪零李超代數；線狀李超代數

1　引言

1960年，Baxter在研究波動理論的積分方程時，提出了Rota-Baxter代數的概念［1］.這一理論在數學與物理的許多領域得到了廣泛的應用.在李代數與李超代數上，權0的Rota-Baxter算子即為經典的Yang-Baxter方程的解，權1的Rota-Baxter算子即為變形的Yang-Baxter方程的解.近年來，許多學者刻畫了低維代數上的Rota-Baxter算子.例如，文獻［2］證明了有限維實可除代數上的Rota-Baxter算子都是平凡的，文獻［3］計算了線狀李超代數L1，2上的Yang-Baxter方程的解，文獻［4］刻畫了有限維Hamilton代數上的Rota-Baxter算子.由于其豐富的應用價值，Yang-Baxter方程的研究成為了一個重要的研究課題.

1970年，Vergne在研究冪零李代數簇的可約性時，提出了線狀李代數的概念并且指出任何一個線狀李代數都可由線狀李代數Ln的形變得到［5］.類似于李代數的情形，任何一個線狀李超代數都可由線狀李超代數Ln，m的形變得到.線狀李超代數作為一類特殊的冪零李代數，其研究成為了許多學者關注的重要課題.例如，文獻［6］對低維的線狀李超代數進行了分類，文獻［7］計算了線狀李超代數Ln，m的導子及保積Hom-結構，文獻［8］刻畫了線狀李超代數Ln，m的極小忠實表示，文獻［9］給出了線狀李超代數Ln，m的無窮小形變.本文在特征零的代數閉域上，首先做出Ln，m的一個空間的直和分解，從而將Ln，m上的Yang-Baxter方程的解分為若干情形.然后分別在每種情形下對Yang-Baxter方程進行求解，進而得到了Ln，m上的所有的Yang-Baxter方程的解的矩陣形式.

2　基本概念和引理

定義2.1［9］設G是一個冪零李超代數，若存在正整數p，q，使得

其中

則稱（p，q）為李超代數G的超冪零指數.

定義2.2［9］設是一個冪零李超代數，其中dim G0=n，dim G1=m，如果G的超冪零指數為（n-1，m），則稱G為線狀李超代數.

定義2.3設R是李超代數G上的一個齊次的線性算子，如果對任意的x，y∈G，有

則稱R是李超代數G上的Yang-Baxter方程的解.

3　主要結果及證明

本文約定F為特征零的代數閉域，設｛X0，X1，···，Xn|Xn+1，···，Xn+m｝是線狀李超代數F=Ln，m的標準基，其非零乘法為：［X0，Xi］=Xi+1，i∈｛1，···，n-1，n+1，···，n+m-1｝.

設F上的Yang-Baxter方程的解R在該組基下的矩陣是（aij），則有

令V0=span｛X1，···，Xn｝，V1=span｛Xn+1，···，Xn+m｝.

引理3.1設R是F上的線性算子，則對于任意的x，y∈F，有

引理3.2設R是F上的齊次的線性算子，則有以下兩個結論成立：

（1）若R是F上的偶的Yang-Baxter方程的解，則R（X2），···，R（Xn）∈V0.

（2）若R是F上的奇的Yang-Baxter方程的解，則R（Xn+2），···，R（Xn+m）∈V0.

引理3.3設R是F上的偶的線性算子，則有以下兩個結論成立：

引理3.4設R是F上的奇的線性算子，則有以下兩個結論成立：

證明此定理的證明，可仿照引理3.3的證明得到.

以下表達式中的x，y，αi，βj表示F上的任意元素，α表示F上的任意非零元素，?表示F上的任意元素或相應階數的任意矩陣.

定理3.1設R是F上的偶的線性算子，則R是Yang-Baxter方程的解當且僅當R在標準基下的矩陣為以下兩類矩陣之一：

定理3.2設R是F上的奇的線性算子，若R（Xn+1）∈V0，則R是F上的Yang-Baxter方程的解當且僅當R在標準基下的矩陣為以下矩陣：

定理3.3設R是F上的奇的線性算子，若R（Xn+1）/∈V0，則R是F上的Yang-Baxter方程的解當且僅當R在標準基下的矩陣為以下五類矩陣之一：

［1］Baxter G.An analytic problem whose solution follows from a simple algebraic identity［J］.Pacific J.Math.，1960（10）：731-742.

［2］陳美微，劉文德.有限維實可除代數的Rota-Baxter算子［J］.數學的實踐與認識，2013，43（16）：243-247.

［3］焦陽，劉文德.Filiform李超代數L1，2上的Yang-Baxter方程［J］.數學的實踐與認識，2014，44（17）：283-287.

［4］溫雅慧，劉文德.有限維Hamilton代數上的Rota-Baxter算子［J］.數學的實踐與認識，2013，43（23）：262-267.

［5］Vergne M.Cohomologie des algèbres de Lie nilpotentes.Apllicationà l'étude de la variété des algèbres de Lie nilpotentes［J］.（French）Bull.Soc.Math.France 1970（98）：81-116.

［6］Gilg M.Low-dimensional filiform Lie superalgebras［J］.Rev.Mat.Complut.，2001（14）：463-478.

［7］焦陽，劉文德.Filiform李超代數Ln，m的導子和保積Hom-結構［J］.純粹數學與應用數學，2014，30（5）：534-543.

［8］Wang Q.Chen H，Liu W.On representations of the Filiform Lie superalgebras Ln，m［J］.J.Geom.Phys.，2015（97）：93-104.

［9］Khakimdjanov Y，Navarro R M.A complete description of all the infinitesimal deformations of the Lie superalgebras Ln，m［J］.J.Geom.Phys.，2010（60）：131-141.

2010 MSC:16T25

The Yang-Baxter equation of the filiform Lie superalgebras Ln，m

Yang Yong，Liu Wende
（School of Mathematical Sciences，Harbin Normal University，Harbin150025）

At first，we make a space direct sum decomposition of Ln，mover an algebraically closed field of characteristic zero，so the solutions of the Yang-Baxter equation of the filiform Lie superalgebras Ln，mwere divided into several situations.We solve the Yang-Baxter equation in each case，then we obtain all the solutions of the Yang-Baxter equation of the filiform Lie superalgebras Ln，min terms of the matrix form.

Yang-Baxter equation，nilpotent Lie superalgebra，filiform Lie superalgebra

O152.5

A

1008-5513（2016）05-0536-10

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.05.010

2016-04-05.

國家自然科學基金（11471090，11501151）；省自然科學基金（A2015003）.

楊勇（1992-），碩士生，研究方向：李代數與李超代數.

劉文德（1965-），博士，教授，研究方向：李代數與李超代數.