整式加減中的“整體思維”

楊春鳥

整式加減中的“整體思維”

楊春鳥

同學們都知道，要把雜七雜八、大小不一的小東西一次搬走是件很麻煩的事，但如果將它們集中放在一個箱子里再搬走就省事多了.這種思想就叫整體思維.日常生活是這樣，學習數學也不例外，整體思維常常會避繁就簡，使問題得到巧妙解決.現結合整式加減中的具體實例，我們來看一下整體思維方法在解題中的靈活運用.

一、整體加減

例1已知m2-mn=21，mn-n2=-12.求m2-n2與m2-2mn+n2的值.

【解析】由于本題直接去求m、n值不易，通過觀察可以發現m2-mn+mn-n2=m2-n2，所以m2-n2=21-12=9.同理，m2-mn-（mn-n2）=m2-2mn+n2，所以m2-2mn+n2=21+12=33.

本題通過整式的“整體”加減，達到求整式的值的目的，避免了分別求m、n值.

二、整體代入

例2若m、n互為倒數，則mn2-（n-1）的值為_____.

【解析】根據m、n互為倒數，可得mn=1，

因為mn2-（n-1）=（mn）n-n+1，把mn=1代入，得n-n+1=1.所以mn2-（n-1）=1.

例3已知3y2-2y+6=8，求整式y2-y+1的值.

【解析】已知3y2-2y+6=8，即3y2-2y=2，而y2-y+1可以變形為（3y2-2y）+1，把3y2-2y= 2代入，可得（3y2-2y）+1=2.

以上兩例，通過對代數式的變形，使其出現已知中的“整體”部分然后再“整體”代入.這類問題關鍵是思考將哪部分看成一個整體，比如例3中如果將y2看成一個整體，同學們想一想該如何解決呢？

三、整體平移

例4如圖，在長a米，寬b米的長方形地面上修建兩條寬為c米的道路，余下部分作為草坪，則草坪面積是多少？

【解析】求草坪面積的常規思路為長方形面積減去道路面積，再加上兩條道路重疊部分的面積即（ab-ac-bc+c2）平方米.

現結合圖形，把兩條道路靠邊平移，這樣，分散的草坪就轉化為一個長為（a-c）米，寬為（b-c）米的長方形，其面積為（a-c）·（b-c）平方米.

對比這兩種方法，易見用“整體平移”后的方法更簡捷，啟示我們在解題過程中，不要只著眼于“局部”，還要著眼于“整體”.

四、整體分割

例5如下圖，在正方形網格中按規律填陰影，根據此規律，則第n個圖中陰影部分小正方形的個數是_____.

【解析】如果單純看每個圖形陰影部分小正方形的個數，很難看出其中隱含的規律.若把陰影部分進行整體分割，分割成兩個長方形，其中一個長方形包含的陰影小正方形的個數是2，另外一個長方形與整體圖形個數呈規律變化，可以看出第n個圖中陰影部分小正方形的個數是n（n+1）+2.

此題利用對圖形的“整體”分割，使“數形”規律更明確，從而優化了問題的特征與解題方向.另外，本題還有不同的“整體”分割的方法，有興趣的同學可以互相探討一下.

五、整體覆蓋

例6已知正方形的邊長為a，以各邊為直徑在正方形內畫半圓，則所圍成的陰影部分（如下圖）的面積為_____.

【解析】觀察圖形，四個半圓覆蓋邊長為a的正方形，四個半圓重疊部分即是陰影部分的面積.所以，陰影部分的面積為四個半圓面積之和減去正方形面積：

本題關鍵是通過觀察圖形的形成，尋找“整體”覆蓋的基本圖形即半圓，從而找出問題突破口.

（作者單位：江蘇省海門市海南中學）

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