基于非線性失穩準則的邊坡穩定性分析

張 晉 斌

(山西晉城無煙煤礦業集團有限責任公司寺河礦,山西 晉城 048000)

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基于非線性失穩準則的邊坡穩定性分析

張 晉 斌

(山西晉城無煙煤礦業集團有限責任公司寺河礦,山西 晉城 048000)

運用基于塑性上界定理的非線性屈服準則，推導得出了平面應變條件下邊坡穩定性系數的上界，并根據線性M-C失穩準則，提出了“廣義切線”技術的改進方法，使用該方法對兩個典型的邊坡穩定性問題進行了分析，獲得的上限解與垂直開挖邊坡的下限解相等。

邊坡，土體，極限分析，非線性分析

0 引言

對于巖土工程師來說，邊坡穩定性的測定是一個非常重要的課題。許多研究人員試圖開發和精心設計邊坡穩定性評價方法。在過去，提出的穩定性分析方法可分為以下四類：1)包括條分法在內的傳統極限平衡方法；2)特征線法；3)包括上、下界方法的極限分析法；4)有限元或有限差分數值技術。邊坡穩定性的極限分析方法已經被許多研究者所應用，通過虛功原理，如果所有外荷載所做的虛功等于符合約束條件的系統虛位移導致的內能耗散，那么系統剛性條塊(或楔形體)處于平衡狀態。上界定理是建立在虛功原理基礎上的，假設一個遵循關聯流動法則的完全塑性土體模型，它規定任何機動位移速度場的內能消散可等效為外載荷所做的功，因此，可以推導出實際安全系數或穩定系數嚴格的上限，這個上界滿足力的平衡且不需要對條間力進行假設。

目前，線性MC失穩判據常用于穩定性問題的極限分析。原因可能在于線性MC失穩判據可表示成圓形。這一特點使得滑動面近似為圓形成為可能，這是在應力空間中平面應變問題的一個線性應力函數。因此，基于上、下限定理，穩定性和承載力問題的解析是線性規劃問題。運用線性MC失穩判據，Lymser(1970)，斯隆(1989)，斯隆和Kleeman(1995)，金姆等(1999，2002)采用有限元法和線性規劃法解決了穩定性和承載力問題。此外，對于平面應變問題，馮·米塞斯和線性MC失穩準則主應力空間中的屈服面具有線性特征。這個屬性使得精確預測巖土結構如淺基礎和邊坡穩定問題的失穩機理成為可能。一般來說，經典假設失穩機制中，馮·米塞斯失穩準則假設為平面或圓形，而線性MC失穩判據(陳，1975)則假設為平面或對數曲線。

本文使用“廣義切線”技術提出一種改進的方法。該方法并非采用實際的非線性失穩準則，而是采用切線(線性MC失穩準則)形式表達功和能量耗散。本文將陳(1975)的線性失穩準則進行邊坡穩定性分析工作，延伸到了使用非線性失穩判據。

1 非線性失穩判據的上界解

本文中的方法采用陳(1975)的基本思想，也即旋轉對數螺旋面。

1.1 “廣義切線”技術

通過線性破裂面計算得到的極限載荷將是實際極限載荷的一個上界值(陳，1975)，它總是限定實際的非線性破壞面。這是由于這樣的事實：受限定的實際非線性破裂面的強度不小于實際的破壞面。在現有的分析中，非線性失穩判據在點M處的切線。在相同的正常應力水平下，切線強度等于或超過非線性失穩判據中的強度。因此，切線所代表的線性失穩判據將給出材料實際荷載的一個上限，材料的破壞是由一個非線性失穩判據來決定的。事實上，許多研究人員(Lymser，1970；斯隆，1989；斯隆和Kleeman，1995；Yu等，1998；金姆等，1999，2002)在他們的極限分析中采用了這種方法。線性MC失穩判據可以表示為一個圓，在應力空間中平面應變條件下，它的方程是(σx-σv)2+(2τxv)2=[2ccosφ-(σx+σv)sinφ]2。在公式中，對于線性MC失穩判據，c和φ代表內聚力和內摩擦角。應當指出的是，在飽和土體中，c和φ是有效內聚力和有效摩擦角。為了使用塑性上限定理求解作為一個線性規劃問題的穩定性問題，有必要由外多邊形近似為圓形，它總是限定線性MC失穩判據。外多邊形對應的上界解超過或等于運動學方法的線性MC失穩判據對應的上界解。

在目前的研究中，線性MC切線圖表示的線性失穩準則用于極限分析，它始終與非線性失穩判據曲線相切。

1.2 額外功率和能量耗散

根據上限定理，將沿速度不連續的能量耗散率等價于外力在任何可變速度下的功率會導致穩定系數(或極限荷載)不小于或最多等于實際的穩定系數(或極限荷載)。最優上限解可通過一種優化方法獲得。在目前的研究中，外力的工作效率是通過土體自重得到，由于塑性剪切，內能將因速度的不連續性而消散。由于切線(線性MC失效準則)的應用，可以采用對數螺旋線失穩機理進行上界分析。

外力(自重)的功率表示如下：

Wext=γ∫AVdA

(1)

其中，A為土體破裂面上方的橫截面面積；γ為土體重度；V為對數螺旋線失穩曲線的切向量。沿不連續速度方向的內能耗散率表示如下：

Dint=∫L(τVcosφt-σnVsinφt)dL

(2)

其中，L為速度重度的時間。對于線性MC失穩條件，式(2)可以簡化為如下形式：

Dint=∫LccosφVdL

(3)

它與實際的應力矢量的大小是獨立的。式(3)中，c為線性MC故障判據中的土體內聚力和內摩擦角。在失穩判據為非線性情況下，式(3)無法得到，因為只有一個應力分量可以從式(2)中消除。如果非線性失穩判據中曲線的切線作為線性MC故障判據，式(3)是有效的，盡管這將產生一個實際極限載荷(或穩定性系數)的上界。為簡單起見，在目前的分析中采用切線形式。

2 影響邊坡穩定的因素

根據邊坡破壞模式，對比式(1)中外力的功率與式(2)中內能耗散率，我們可以得到式(4)：

H=ctf(θh,θ0,φt)/γ

(4)

其中，f(θh,θ0,φt)可表示為：

{sin(θh+α)exp[(θh-θ0)tanφt]-sin(θ0+α)}

(5)

式(5)中，變量f1～f3取決于幾何參數和切線角。變量f1～f3由陳(1975)給出。

通過極限分析的上界理論，式(4)給出一個關于邊坡高度H的臨界值。這個變量H有最小值，當滿足下面這個條件時：

(6)

解出上述方程，然后將參數θh，θ0和φt代入式(2)，我們可以得到傾斜邊坡的臨界高度的上限值。此處，我們可以采用相繼的二次設計來優化目標函數以避免解決式(6)的困難。穩定因數Ns被定義為Ns=γHc/c0被張和陳引用(1987)，也被德雷舍和克里斯托杜盧引用(1988)，用來解釋具有非線性破壞準則的邊坡問題。Ns是一個無量綱數，而且Ns的量級不僅僅取決于邊坡角度α和β，還取決于非線性破壞準則的參數，包括m，σt和c0。

3 帶有張拉裂縫的垂直土質邊坡的極限分析

除了真正的水泥土外，土體通常不能承受拉力。在現場，地表水的作用和張拉裂隙都有可能破壞土的抗拉強度，土的抗拉強度不可靠，在實際應用中可以忽略不計。在下面的分析中，張拉裂紋被引入，沒有能量耗散沿拉伸裂紋，能量僅沿剪切線消失，如圖1所示。

4 上限穩定分析

一種平移破壞類型組成的垂直張裂縫和不連續面AB如圖1所示。土體的單位重量是γ。拉伸裂紋長度是nH(0≤n≤1)。n=1意味著拉伸裂隙貫穿了整個立坡，另外，n=0意味著沒有拉伸裂隙存在。臨界高度是指邊坡開挖后由于自身重量而坍塌的高度。我們假設破壞面是沿著在垂直方向上角度為ω的非連續面。當重力做功達到非連續面AB的功的耗散值時即達到了極限狀態。重力做功等于速度的垂直分量與土楔重量的乘積，即為：

wext=0.5γH2tanω(1-n2)vcos(φt+ω)

(7)

能耗率等于速度的切向分量與AB面的長度及ct的乘積，即為：

(8)

將重力做的功與內耗散的功等同起來就得到:

(9)

式(9)是t和W的一個函數；我們可以通過將φt和ω最小化得到一個臨界高度的上限。此處，采用二次解析法來優化式(9)目標函數。

對于圖1的垂直切坡，要得到下限解，需要解得靜力許可場的解，而該場必須滿足以下的應力平衡方程:

(10)

該應力場不能違反非線性破壞準則。這意味著該應力必須處于非線性矩陣的包絡線內。該三向應力系統必須滿足應力平衡條件。三向應力狀態被假定為一個單軸壓縮狀態Ⅰ，雙軸壓縮狀態Ⅱ和三軸壓縮狀態Ⅲ。

為了確保該應力狀態在單軸壓縮狀態下不能違反非線性破壞準則(1)，我們得出：

(11)

在式(11)中，有H和φt2個變量。解得這2個方程，將得出高度H。由于非連續應力場滿足任何土的質量和邊界條件下的應力平衡方程，而且不超過應力平衡準則，因此由式(11)解得的H為臨界高度Hc的下限。

5 比較

通過采用上限方法在非破壞準則條件下得到邊坡的穩定性因素Ns的計算結果。將得到的Ns的計算結果列于表1中，并與張和陳(1987年)得到的數據及Drescher和Chistopoulos(1988年)得到的數據對比。

表1中顯示的穩定性因數Ns是當c0=90 kPa，σt=247.3 kPa，α=0°條件下，非線性系數m從1.2到2.5取值下的結果。

表1 不同取值條件下穩定因數比較

從表1看出，作者得到的上限解與另外兩組數據幾乎相同。另外，通過表1可以看出，穩定性系數Ns當c0，σt和m相同，α=0°時隨著邊坡角度β的增大而變小。

圖1中的垂直切坡采用上限和下限方法進行分析。表2中顯示的通過兩個方法在c0=90 kPa，σt=247.3 kPa，α=0°和n=1的條件下得到的穩定因數Ns的值。由表2中可以看出，下限解和上限解對于垂直切坡是一樣的。但是，圖1中上限計算所用的速度場和下限所用的應力場的一致并不意味著速度場和應力場都是實際存在的。

表2 上限與下限計算結果比較

表3 α≠0°條件下穩定因數計算結果

5.1 邊坡傾角α的影響

張和陳(1987)與德雷舍和赫里斯托普洛斯(1988)給出了一種在0值情況下的數值結果。在實踐中，邊坡傾角α可能大于0°。表3給出了穩定系數n值為σt=247.3 kPa和c0=90 kPa，用α=5°,10°和15°。從表3中可以看出，當參數m，σt，c0和β為常數時，上限解隨坡度α的增大而增大。

5.2 系數m的影響

圖2說明系數m在α=5°，β=90°，c0=90 kPa和σt=247.3 kPa條件下的穩定因數Ns的影響。

5.3 應力σt的影響

作者得到的穩定因數Ns的結果被展示在圖3中，其中α=5°，β=90°，m=1.6，c0=90 kPa，σt從50 kPa到200 kPa。從圖3可以明顯看出，穩定因數隨應力σt的增長而減小。

5.4 初始內聚力c0的影響

如圖3所示，當α=5°，m=1.6，β=90°，σt=247.3 kPa時，可以得到邊坡的c0值從40 kPa到120 kPa范圍變化時的穩定因數值。如果應用線性破壞準則，那么穩定因數僅和邊坡幾何形態參數(α和β)和摩擦角有關，和內摩擦力無關。然而，從圖4中可以看出，應用非線性破壞準則，可以得到當參數m，σt，α和β為常數時，穩定因數隨著初始內聚力c0的增長而增長。

6 結語

本文采用接近非線性破壞準則的“廣義切向”技術的改進方法是基于塑性力學的上限理論提出的，并用來分析邊坡的穩定性。對于沒有荷載的邊坡，采用提出的上限方法計算的穩定因數值與張和陳(1987)及德雷舍和赫里斯托普洛斯計算的值幾乎一致。對于如圖1所示的垂直切坡的平移失效機理，相同的解決方式為利用目前的上限理論和下限理論得到。目前，利用非線性破壞準則的方法，邊坡角度α，系數m，應力σt和初始內聚力c0的影響已經被研究和探討，得到參數α，m，σt和c0對邊坡穩定性系數有重要影響。

[1] 金,J,薩爾加多,R,于,H.S.考慮孔隙水壓力的邊坡極限分析[J].巖土與地質環境工程,1999,125(1):49-58.

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[3] 米恰洛夫斯基,R.L.均質邊坡穩定性圖表[J].巖土與地質環境工程,2002,128(4):351-355.

The slope stability analysis based on nonlinear instability criterion

Zhang Jinbin

(SiheCoal,ShanxiJinchengAnthraciteCoalMiningGroupLimitedLiabilityCompany,Jincheng048000,China)

Using the nonlinear yield criterion based on plastic upper bound theorem, this paper derived the upper bound of slope stability coefficient under plane strain condition, and according to linear M-C instability criterion, proposed the improvement method of “generalized tangent” technology, analyzed two typical slope stability problems using this method, gained the lower limit solution equal of upper bound solution and vertical excavation slope.

slope, soil, limit analysis, nonlinear analysis

1009-6825(2016)27-0078-04

2016-07-13

張晉斌(1972- )，男，工程師

TU413.62

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