從學生已知出發，設計數學活動

周康

[摘 要]數學教學中，教師應引導學生有效利用正遷移理解所學知識，構建、優化知識結構，訓練學生的思維，使學生真正掌握所學知識，獲得個性化的發展。

[關鍵詞]由此及彼 由表及里 由淺入深 正遷移 知識結構

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）32-033

《數學課程標準》指出：“數學教學，教師應該以學生的認知發展水平和已有的經驗為基礎，面向全體學生，注重啟發式教學和因材施教，為學生提供充分從事數學活動的機會……教師要處理好講授和學生自主學習的關系，通過有效的措施，啟發學生思考，引導學生自主探索，鼓勵學生合作交流，使學生真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，得到必要的數學思維訓練，獲得廣泛的數學活動經驗。”因此，在設計教學活動時，教師要從學生實際出發，充分考慮新授知識與學生哪些已有知識聯系緊密，找準新舊知識的切入點，設計有利于學生學習的教學方案。

一、由此及彼，優化知識結構

彭永新在《微觀探析數學本質的三重境界》一文中指出：“由此及彼，用聯系的觀點豐富數學概念的意義世界。”因此，課堂教學中，教師要引導學生用聯系的觀點，由此及彼，優化知識結構。

例如，“分數乘法”單元中的例2：“小星做了10朵綢花，其中是紅花，紅花有多少朵？”教師先讓學生分析的含義，然后引導學生根據三年級所掌握“求一個數的幾分之幾的實際問題”的解題方法，列出10÷2=5（朵）、5×1=5（朵）的算式。也就是說，根據題意“10朵綢花的是紅花”，可把10朵綢花平均分成2份，紅花是其中的1份。這樣教學，喚起了學生已有的學習經驗，激發了學生進一步學習和探索的欲望。然后教師出示以下習題，讓學生只列式不計算。

10朵綢花的3倍是多少朵？列式：10×3

10朵綢花的一半是多少朵？列式：10×0.5

10朵綢花的是多少朵？列式：10×

……

布魯納認為：“學習的實質是一個人把同類事物聯系起來，并把它們組織成賦予它們意義的結構。”也就是說，學習知識就是學習事物是怎樣相互關聯的。如上述教學中，教師利用類比來啟發學生進行思維活動，引導學生把要研究的新問題和與之類似的原有知識、方法進行比較，使學生通過聯想，獲得解決問題的思路。然后教師把同樣的問題放在一起，讓學生可以通過對條件和列式的觀察，找到列乘法算式的依據，使教學水到渠成。接著，教師引導學生比較兩種方法的計算過程和計算結果，體會兩種解法間的聯系，使學生發現它們的算理是一樣的。這樣教學，使學生的認識得到深化，認知結構得以優化。

二、由表及里，構建知識結構

布魯納認為：“學習的過程實際上是人們利用已有的認知結構，對新的知識經驗進行加工改造并形成新的認知結構的過程。”在學習中，新的知識經驗不是納入原有的認知結構（同化），就是引起原有的認知結構的改組（順應），從而產生新的認知結構。這個過程不是被動地產生的，而是一種積極主動的過程。因此，教師備課時必須認真研讀教材，全面深入理解教學內容的前后聯系，把握知識的發展方向，這樣教學時才能引導學生理清知識的脈絡，形成新的知識結構。

例如，教學“體積單位之間的進率”一課時，教師先讓學生回憶交流面積單位之間進率的推導方法：先出示兩條一樣長的線段，一條線段標1分米，另一條線段標10厘米，1分米=10厘米；接著出示邊長是1分米和10厘米的兩個正方形，因為1分米=10厘米，所以這兩個正方形的邊長相等，由此得出這兩個正方形的面積也是相等的，運用正方形的面積計算公式可計算出這兩個正方形的面積分別是1平方分米和100平方厘米，依據前面的分析得出1平方分米=100平方厘米，以此類推得到1平方米=100平方分米。通過這樣的準備和暗示，當投影出示例12中棱長是1分米和10厘米的兩個正方體時，學生自然而然地進行這樣的推導：因為1分米=10厘米，所以這兩個正方體的棱長相等，由此得出這兩個正方體的體積也是相等的，運用正方體的體積計算公式可計算出這兩個正方體的體積分別是1立方分米和1000立方厘米，依據前面的分析得出1立方分米=1000立方厘米，以此類推得到1立方米=1000立方分米。再對相鄰的長度單位米、分米、厘米之間的進率與相鄰的面積單位平方米、平方分米、平方厘米之間的進率以及相鄰的體積單位立方米、立方分米、立方厘米之間的進率進行觀察和對比，發現如果長度單位之間的進率是10，則對應的面積單位之間的進率是100，即10的平方，對應的體積單位之間的進率是1000，即10的立方；如果長度單位之間的進率是N，則對應的面積單位之間的進率是N的平方，對應的體積單位之間的進率是N的立方。

上述教學，通過線段→平面→立體三者之間的層層遞進，既避免了只依據教材中的例題、習題實施教學所產生的局限與狹隘，幫助學生溝通了新舊知識之間的聯系，又讓學生直觀地理解數學知識，理清知識間的脈絡，構建新的知識結構，還發展了學生的思維，激發學生學習數學的興趣，增強學生學好數學的信心。

三、由淺入深，理解知識結構

認知結構中，是否有適當的起固定作用的觀念可以利用，是決定新的學習與保持的重要因素。實際上，許多教學內容是相互聯系的，若前面的知識學生能靈活掌握，那么后面的教學就可以順利進行。因此，在課堂教學中，教師應引導學生深入探究知識之間的聯系和區別，正確構建新的知識結構。

例如，教學“梯形面積”一課時，教師先引導學生回憶三角形面積計算公式的推導過程，讓學生感受到圖形轉化的意義和價值，激發學生的轉化意識。接著讓學生動手操作，即用兩個完全一樣的梯形拼一拼，得到一個平行四邊形，觀察拼成的平行四邊形的高與原梯形高之間的關系（相等），以及拼成的平行四邊形的底與原梯形的上底和下底的關系（拼成的平行四邊形的底等于原梯形的上底與下底的和）。然后根據平行四邊形的面積計算公式以及前面研究的結果，推導出梯形的面積等于“（上底+下底）×高÷2”。經歷豐富的探究活動后，學生觀察對比這兩個面積公式的推導過程，發現都是通過“拼”的方法將未知的知識轉化為已知的知識，從而使學生牢固掌握新知，且能靈活運用。在此基礎上，教師提出問題：“怎樣將梯形的面積轉化成三角形的面積來推導面積計算公式呢？”再引導學生將原梯形分成兩個三角形，計算出每個三角形的面積分別是“原來梯形的上底×高÷2”和“原來梯形的下底×高÷2”，把這兩個三角形的面積合在一起就是梯形的面積，運用乘法分配律，也可以推導出梯形的面積等于“（上底+下底）×高÷2”。這樣教學，把學生從“拼”的思維引向“割”的思維，避免了思維定式和訓練的僵化。通過探索數學知識之間的內在聯系，理解知識結構，不僅有利于提高學生對公式的理解水平，感受到知識的應用價值，感悟“變”與“不變”的辯證思想，突出知識學習的實踐性和探索性，而且有利于促進學生的數學思考，提高學生的數學能力，使學生原有的認識結構得到延伸和擴展，增強了學生思維的變通性。

總之，讓學生利用舊知識向新知識產生的正遷移進行學習，就是引導學生發現新舊知識之間的聯系，然后由此及彼、由表及里、由易到難、由淺入深，通過舉一反三，把相關聯的認知合理再組織，以最佳的序列來反映知識的邏輯結構。這樣教學，既引導學生構建、優化自身的知識結構，又訓練了學生的思維，使學生真正掌握所學知識，獲得個性化的發展。

（責編 藍 天）