基于不確定壽命的不可修冷貯備系統可靠性分析

劉 穎，馬 瑤，王 林

（天津科技大學計算機科學與信息工程學院，天津 300222）

基于不確定壽命的不可修冷貯備系統可靠性分析

劉 穎，馬 瑤，王 林

（天津科技大學計算機科學與信息工程學院，天津 300222）

針對無大量樣本存在的不可修冷貯備系統，假設各部件壽命為相互獨立的非負不確定變量，建立了3類不可修冷貯備系統可靠性的基本數學模型，即轉換開關完全可靠情形的不可修冷貯備系統、開關壽命0-1型的不可修冷貯備系統以及開關壽命連續型的不可修冷貯備系統.分別對這3類不可修冷貯備系統進行可靠性分析，給出此3類冷貯備系統可靠度及平均壽命的具體數學表達式，并給出了數值算例.

不確定理論；不可修系統；可靠度；平均壽命；冷貯備系統

系統可靠性理論是20世紀40年代發展起來的一門綜合性的基礎理論，它是以系統的壽命特征為主要研究對象的.在傳統可靠性理論［1-4］的研究中，系統的壽命通常被視為一個非負的隨機變量，主要應用概率論為主要數學工具來研究系統的壽命特征.盡管傳統可靠性理論在許多情況下被證明是有效的，但是使用概率論來處理可靠性問題必須滿足3個基本前提：事件需明確定義；有大量樣本空間存在；樣本之間具有概率重復性.當樣本量足夠大時，概率分布可能足夠接近的累積頻率，在此情況下，可使用概率論解決問題.當沒有充足的樣本數據時，則需要采用專家的主觀信度，此時不確定性分布通常偏離累積頻率，用概率論來處理可靠性問題就有一定的局限性，而不確定理論為解決此類問題提供了有效的辦法.

劉寶碇教授于2007年提出了不確定理論［5］.不確定理論是處理不確定現象的一套公理化數學體系.近年來，不確定理論在很多領域都得到廣泛應用，如投資組合選擇問題［6］、設施選址問題［7］、最優分配問題［8］、最大流問題［9］、交通問題［10］、系統可靠性問題［11］等.

在系統可靠性領域中，對不可修冷貯備系統可靠性的分析是一個研究熱點.近年來，學者們運用不同的數學工具分析了各種不可修冷貯備系統.如文獻［3］將系統和各部件的壽命視為隨機變量，對各類不可修冷貯備系統的可靠性進行了分析；文獻［12］將系統的壽命看作模糊變量，建立了開關絕對可靠的不可修冷貯備系統可靠性的基本模型，并給出其可靠度和平均壽命的具體表達式；對于隨機性和模糊性并存的不可修冷貯備系統，文獻［13］將各部件的壽命看作相互獨立的隨機模糊變量，分別建立了轉換開關不完全可靠情況下的幾類不可修冷貯備系統基本模型，并對其可靠性進行了分析.目前，使用不確定理論作為主要數學工具來研究不可修冷貯備系統的文獻較少.因此，本文將不可修冷貯備系統的各部件壽命視為不確定變量，建立可靠性的數學模型，分別給出系統可靠度和平均壽命的數學表達式及數值算例.

1 不確定理論基礎知識

文獻［5］中首先提出了不確定理論，又在文獻［14］中對其進行了細化和補充.下面給出本文用到的相關定義和定理.

設Γ為非空集合，L是由Γ中的子集所構成的σ代數.L中的元素稱為事件.為了介紹不確定理論的公理化定義，對任一不確定事件Λ，規定一個非負數值M｛Λ｝表示事件Λ發生的信度，其中信度M需要滿足如下4條公理：

公理1（規范性） 對全集Γ，有M｛ Γ｝=1.

公理2（單調性） 對任意事件Λ1?Λ2，有M｛Λ1｝≤M｛Λ2｝.

公理3（自對偶性） 對于任一事件Λ和其對立事件Λc，有M｛Λ｝+M｛Λc｝=1.

定義1［5］若集函數M：L→［0，1］滿足以上四條公理，則稱M為非空集合Γ上的不確定測度.

定義2［5］設Γ為非空集合，L是由Γ的子集構成的σ代數，M為Γ上的不確定測度，則稱三元組（Γ，L， M）為不確定空間.

定義3［5］不確定變量定義為從不確定空間（Γ，L， M）到實數集的可測函數ξ，即對于任意Borel集B，集合｛γ∈Γ| ξ｛ γ｝∈B｝∈L 為一個事件.

定義4［5］若M｛ξ＜0｝=0成立，則稱ξ為（Γ，L， M）上的非負不確定變量.

定義5［5］若f為實值可測函數，ξ1，ξ2，…，ξn為（Γ，L， M）上的不確定變量，則ξ=f （ξ1， ξ2，…，ξn）也為不確定變量，定義為函數ξ（ γ）=f （ξ1（ γ），ξ2（ γ），…，ξn（ γ）），?γ∈Γ.

定義6［5］若ξ為Γ上的不確定變量.對于?x∈R，若滿足Φ（x）=M｛ξ≤x｝ ，則稱Φ為ξ的不確定分布.

定義7［5］若不確定變量ξ的不確定分布函數為

其中a，b都為實數，且a＜b，則稱ξ為線性的，記作ξ～L（ a， b）.

定義8［5］若不確定變量ξ的不確定分布函數為

其中a，b，c都為實數，且a＜b＜c，則稱ξ為之字形的，記作ξ～Z（ a， b， c）.

定義9［5］若ξ為一個不確定變量，M為不確定測度，那么ξ的期望值定義為

只要以上兩個積分中至少有一個是有限的.

定理2［14］若不確定變量ξ1和ξ2相互獨立，分別服從線性分布：ξ1～L（ a1， b1）和ξ2～L（ a2， b2），則它們的和也服從線性分布，即

定理3［14］若不確定變量ξ1和ξ2相互獨立，分別服從之字形分布ξ1～Z（ a1， b1， c1）和ξ2～Z（ a2， b2， c2），則它們的和也服從之字形分布，即

2 轉換開關完全可靠的情形

所謂冷貯備系統是指貯備的部件既不失效也不劣化，貯備期的長短對以后使用時的工作壽命沒有影響.假設系統由n個部件組成，在初始時刻，一個部件開始工作，其余n-1個部件做冷貯備.當工作部件失效時，貯備部件逐個去替換，直到所有部件都失效時，系統就失效.假設這n個部件的壽命分別為X1， X2，…，Xn，且它們相互獨立.

例1 若冷貯備系統由3個部件X1， X2，X3構成，且X1～L（1.2，1.5）， X2～L（1.3，1.6）， X3～L（1.2，1.4），由式（3）可知X1+X2+X3～L（3.7，4.5），由式（1）可知其分布函數為

因此，該冷貯備系統的可靠度為

平均壽命為

例2若冷貯備系統由3個部件X1， X2，X3構成，而X1～Z（1.2，1.4，1.5），X2～Z（1.3，1.4，1.5），X3～Z（1.2，1.3，1.4），則由式（4）可知X1+X2+X3～Z （3.7，4.1，4.4），由式（2）可知其分布函數為

因此，該冷貯備系統的可靠度為

平均壽命為

3 轉換開關不完全可靠的情形

3.1 開關壽命0-1型

這里假設轉換開關不完全可靠，其壽命是0-1型的不確定變量，即每次使用開關時，開關正常的信用度是p，開關失效的信用度是1-p.在以下兩種情況下系統就失效：

（1）當正在工作的部件失效，使用轉換開關時開關失效，這時系統會失效.

（2）所有n-1次使用開關時，開關都正常，在這種情形下，n個部件都失效時系統失效.

為求得系統可靠度，引入一個不確定變量

因此，該冷貯備系統的壽命為X= X1+X2+…+Xv.可求得

故系統可靠度為

平均壽命為

例3 該冷貯備系統由3個部件X1， X2，X3構成且X1～L（1.2，1.5），X2～L（1.3，1.6），X3～L（1.2，1.4），每次使用開關時，開關正常的信用度為0.8，由式（3）可知X1+X2～L（2.5，3.1），X1+X2+X3～L（3.7，4.5），首先計算

此外有M｛ v=1｝=0.2，M｛ v=2｝=0.2，M｛ v=3｝=0.8.因此，可以得到

因此該冷貯備系統的可靠度為

平均壽命為

3.2 開關壽命連續型

假定開關的壽命XK為一連續的不確定變量，并與各部件的壽命相互獨立，當開關失效時，系統立即失效.顯然，該冷貯備系統的壽命為

相應地，可以計算其可靠度為

平均壽命為

例4 若該冷貯備系統由2個部件X1，X2和開關XK構成，且X1～L（2，6），X2～L（3，5），XK～Z（2，4，5），由式（3）可知X1+X2～L（5，11），首先計算

因此，該冷貯備系統的可靠度為

平均壽命為

4 結 語

對于概率論無法處理的系統可靠性問題，不確定理論為其提供了有效的解決辦法.不確定理論是基于規范性、單調性、自對偶性、可列次可加性的數學分支.本文將不確定理論應用于不可修冷貯備系統的建模和可靠性分析中，給出了評定系統可靠性的主要數量指標的數學表達式.由于轉換開關的好壞是影響系統可靠度的一個重要因素，根據文中算例可知，在部件壽命分布相同的情況下，轉換開關完全可靠的冷貯備系統可靠度和平均壽命高.在以后的研究中，將對不確定環境下可修系統進行建模和可靠性分析，并給出可靠性數量指標的表達式.

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［14］ Liu B D. Uncertainty Theory：A Branch of Mathematics for Modeling Human Uncertainty［M］. Berlin：Springer-Verlag，2010.

責任編輯：常濤

Reliability Analysis of Unrepairable Cold Standby Systems Based on Lifetime Uncertainty

LIU Ying，MA Yao，WANG Lin
（College of Computer Science and Information Engineering，Tianjin University of Science & Technology，Tianjin 300222，China）

When there are not enough samples for the lifetime of unrepairable cold standby systems，the lifetimes of components in the cold standby systems were used as independent and nonnegative uncertainty variables in this research.The basic mathematical models of three unrepairable cold standby systems were developed.They are the unrepairable cold standby system with absolutely reliable conversion switches，the unrepairable cold standby system with 0-1 mode conversion switches，and the unrepairable cold standby system with continuous mode conversion switches.Reliability analysis of the three unrepairable cold standby systems was conducted，respectively，and the expressions of reliability and mean time to failure（MTTF）of the three cold standby systems were realized.Finally，some numerical examples were given for illustration. Key words：uncertainty theory；unrepairable systems；reliability；mean time to failure；cold standby system

N945

A

1672-6510（2016）05-0074-05

10.13364/j.issn.1672-6510.20150232

2015-12-05；

2016-04-24

國家自然科學基金資助項目（11301382）；天津科技大學青年教師創新基金資助項目（2014CXLG28）

劉 穎（1982—），女（回），天津人，副教授，liu@tust.edu.cn.