一類導數題的常見解法

周和平

（武漢市新洲區第二中學）

一類導數題的常見解法

周和平

（武漢市新洲區第二中學）

函數求導后，導函數的符號決定原函數的單調性，對導函數要重點分析它的符號怎么確定的。

求導；子集；零點；圖像；分離變量；數形結合；構造函數

函數與導數在高考中有著重要地位。用導數處理函數單調性或極值問題時，我們經常會遇到求導后怎么進一步處理的問題，下面看幾個例子：

例1.（2010·全國卷Ⅱ）已知函數f（x）=x3-3ax2+3x+1.

（1）設a=2，求f（x）的單調區間；

（2）設f（x）在區間（2，3）中至少有一個極值點，求a的取值范圍.

（2）解法一：利用子集關系

f′（x）=3［（x-a）2+1-a2］.

當1-a2≥0時，f′（x）≥0，f（x）為增函數，故f（x）無極值點；

當1-a2＜0時，f′（x）=0有兩個根，

解法五：間接法

考慮問題的反面，轉化為恒成立問題，即f（x）在區間（2，3）無極值點，f（x）在區間（2，3）為單調函數，∴f′（x）=3x2-6ax+3≥0或f′（x）=3x2-6ax+3≤0在（2，3）上恒成立，具體解法類似如下例2。

例2.已知a為實數，f（x）=（x2-4）（x-a），若f（x）在（-∞，-2］和［2，+∞）上都是遞增的，求a的取值范圍.

【思路】由題意可知（-∞，-2］，［2，+∞）應為函數f（x）的增區間的子集，即為不等式f′（x）≥0解集的子集，也可轉化為f′（x）=3x2-2ax-4≥0在（-∞，-2］∪［2，+∞）上恒成立.

解析f（x）=x3-ax2-4x+4a，f′（x）=3x2-2ax-4.

解法一：利用二次函數圖像特征

f′（x）=3x2-2ax-4的圖像開口向上，且過點（0，-4）的拋物線，

f′（x）=3x2-6ax+3=3（x2-2ax+1），

令g（x）=x2-2ax+1，x∈（2，3）問題轉化為g（x）=x2-2ax+1在（2，3）上有變號零點（零點兩邊的函數值符號相反）。

解法二：利用二次函數圖象特征

g（x）=x2-2ax+1的圖像為開口向上，且過點（0，1）的拋物線，

若g（x）=x2-2ax+1在（2，3）上有一個變號零點，則只須g（2）· g（3）＜0，得＜a＜①所以a的取值范圍為［-2，2］.

解法二：利用子集關系

令f′（x）=0，即3x2-2ax-4=0，由求根公式得

所以a的取值范圍是［-2，2］.

解法三：分離變量

f′（x）=3x2-2ax-4≥0恒成立，由3x2-4≥2ax分離變量，

同理，當x≤-2時，得a≥-2，

所以a的取值范圍是［-2，2］.

解法三：分離變量

由x2-2ax+1=0得2a=x+在（2，3）上有變號零點，∴y=2a和y=x+在（2，3）上有交點

解法四：數形結合

x2+1=2ax在（2，3）上有變號零點，如下圖，分別畫出函數y= x2+1，x∈（2，3）和y=2ax的圖像。

解法四：數形結合

由解法三知3x2-4≥2ax在（-∞，-2］∪［2，+∞）上恒成立，即y=3x2-4，x∈（-∞，-2］∪［2，+∞）在直線y=2ax上方，∴直線的斜率范圍為-4≤2a≤4，得-2≤a≤2.

例3.（2010·新課標全國）設函數f（x）=x（ex-1）-ax2.

（2）若當x≥0時（fx）≥0，求a的取值范圍.

f′（x）=ex-1+xex-x=（ex-1）（x+1）.

當x∈（-∞，-1）時，f′（x）＞0；當x∈（-1，0）時，f′（x）＜0；當x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0.

故f（x）在（-∞，-1］，［0，+∞）上單調遞增，在［-1，0］上單調遞減.

（2）f（x）=x（ex-1-ax）.由題意只需g（x）=ex-1-ax≥0在x≥0時恒成立即可.

解法一：則g′（x）=ex-a.

若a≤1，則當x∈（0，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）為增函數，而g（0）=0，從而當x≥0時g（x）≥0，即f（x）≥0.

若a＞1，則當x∈（0，ln a）時，g′（x）＜0，g（x）為減函數，而g（0）=0，從而當x∈（0，ln a）時g（x）＜0，即f（x）＜0.綜合得a的取值范圍為（-∞，1］.

解法二：數形結合

由題意，只須ex-1≥ax在x≥0時恒成立，函數h（x）=ex-1在原點O（0，0）處切線方程為y=x，直線y=ax在h（x）=ex-1（x≥0）下方，則a≤1.

思路：構造函數

要ex-1-ax≥0成立，當x=0時，顯然成立，此時a∈R，

函數求導后，導函數的符號決定原函數的單調性，對導函數要重點分析它的符號怎么確定的，根據函數特點采取數形結合局部二次求導等方法來進行突破。

練習：

2.已知函數（fx）=a ln x-ax-3（a∈R）.

（1）求函數（fx）的單調區間；

當a＞0時，（fx）的單調遞增區間為（0，1］，單調遞減區間為［1，+∞）；

當a＜0時，（fx）的單調遞增區間為［1，+∞），單調遞減區間為（0，1］；

當a=0時，（fx）不是單調函數.

∴g′（x）=x2+（m+4）x-2.

·編輯劉青梅