自錨式懸索橋主纜成橋線形及空纜線形計算

王青橋

（上海市政工程設(shè)計研究總院（集團）有限公司，上海市 200092）

自錨式懸索橋主纜成橋線形及空纜線形計算

王青橋

（上海市政工程設(shè)計研究總院（集團）有限公司，上海市 200092）

介紹了基于分段懸鏈線法和拋物線法的自錨式懸索橋主纜成橋線形及空纜線形計算的原理和方法。成橋線形計算內(nèi)容主要包括主纜理論成橋線形計算、主纜無應(yīng)力索長計算、主纜與主索鞍切點計算及主索鞍位置計算?？绽|線形計算內(nèi)容主要包括索鞍偏移量計算、空纜理論線形計算及索夾安裝位置計算。同時結(jié)合工程實例對比分析了拋物線法和分段懸鏈線法求解主纜成橋線形和空纜線形的誤差影響。

自錨式懸索橋；成橋線形；空纜線形；無應(yīng)力索長；索鞍偏移量；影響矩陣

0　引　言

自錨式懸索橋結(jié)構(gòu)新穎、外形美觀，近年來在城市橋梁中應(yīng)用較為普遍。主纜是自錨式懸索橋的主要承重結(jié)構(gòu)，懸索橋的結(jié)構(gòu)線形主要受主纜線形的控制。同時懸索橋與斜拉橋不同，不能通過施工階段的跟蹤調(diào)整來實現(xiàn)設(shè)計線形，它的主纜線形必須通過可靠的計算參數(shù)，采用精確的計算方法計算出設(shè)計線形，同時通過嚴格的施工控制保證最終的成橋線形與設(shè)計線形相符。

自錨式懸索橋的主纜線形計算主要包括成橋線形計算及空纜線形計算。成橋線形是主纜設(shè)計的目標和基礎(chǔ)，主纜的無應(yīng)力長度、索鞍偏移量、空纜索夾位置、吊索長度計算等均由主纜成橋線形決定?？绽|線形是指索鞍預(yù)偏后，索夾和吊桿還未掛上時主纜所取得的線形和受力狀態(tài)?？绽|狀態(tài)分析的目的就是確定索鞍預(yù)偏量、空纜掛纜時主纜的水平分力和索夾控制點坐標，空纜狀態(tài)是索夾位置放樣的基礎(chǔ)。

1　主纜成橋線形計算

1.1計算理論

目前，對于計算自錨式懸索橋主纜成橋線形，主要有拋物線法和分段懸鏈線法。

1.1.1拋物線法

拋物線法假定主纜所受荷載沿水平方向均布，如圖1（b）所示，對于實際的懸索橋，加勁梁和橋面系可以視為沿水平方向均布，但主纜自重沿主纜均布不沿水平方向均布。如果主纜自重相對于橋面系和加勁梁重量很小，主纜線形可以用拋物線法來近似。

1.1.2分段懸鏈線法

分段懸鏈線法可以比較真實地反映主纜成橋線形。成橋時，主纜所受荷載為沿主纜弧長均布自重及通過吊索傳遞的集中力，因此各吊點之間的主纜線形為受主纜自重作用的懸鏈線，如圖1（a）所示，整個主纜可以視為按吊點劃分的多段懸鏈線的組合。

圖1　索段示意

1.2拋物線法求解主纜成橋線形

對于固定A（0,0）,B（l，h）兩點索段，根據(jù)力學(xué)平衡方程，拋物線方程可以表示為式中：l為跨徑；h為索段兩點高差；H為主纜水平力；q為主纜所受均布荷載。

當x=l/2時，y=h/2+f，帶入式(1)得

式中：f為主纜矢高。

1.2.1中跨成橋線形求解

懸索橋設(shè)計一般中跨的矢高f是確定的，由式（2）得出q/H，帶入式（1）可以確定中跨的拋物線線形。

1.2.2邊跨成橋線形求解

邊跨矢高一般未知，但根據(jù)塔頂平衡條件，邊、主跨主纜水平力H相等，得出q/H，帶入式（1）得出邊跨的拋物線線形。

1.2.3無應(yīng)力索長求解

無應(yīng)力索長是指構(gòu)件在標準溫度下，截面應(yīng)力應(yīng)變?yōu)榱銜r的長度。主纜成橋線形確定后，可以由有應(yīng)力索長減去彈性伸長量求得無應(yīng)力索長。

根據(jù)拋物線方程積分可得有應(yīng)力索長為

其中

有應(yīng)力索長減去彈性伸長量，可得無應(yīng)力索長為

1.2.4主纜與主索鞍切點及索鞍精確位置求解

以上成橋線形是根據(jù)理論IP點計算的，實際上纜索與主索鞍相切，所以應(yīng)根據(jù)給定的索鞍半徑確定主纜與索鞍的切點以及索鞍的精確位置，然后對索鞍處的主纜線形以及無應(yīng)力長度進行修正。

根據(jù)主索鞍半徑R，可根據(jù)影響矩陣法迭代求解主纜與主索按切點坐標，影響矩陣法求解具體詳見1.3節(jié)。

1.3懸鏈線法求解主纜成橋線形

對于自錨式懸索橋，任一吊桿間索段為懸鏈線，如圖1(a)所示，其懸鏈線方程可表示為

式中：li為索段兩端水平距離差；hi為索段兩端豎向距離差；Hi、Vi為索段力；Si為懸鏈線有應(yīng)力索長。

對僅有垂直吊桿的情況

式中：Pi為吊桿力。

1.3.1影響矩陣法

以上懸鏈線法方程為非線性方程，可以通過影響矩陣法求解。影響矩陣法的實質(zhì)是通過多步線性問題的迭代計算來實現(xiàn)非線性問題求解的過程。首先賦予基本變量的初始值，得到目標函數(shù)的誤差值，然后分別使各基本變量產(chǎn)生單位增量，求得目標函數(shù)改變值組成的影響矩陣，據(jù)此求得基本變量的修正值，修正變量后重復(fù)迭代過程，直至誤差值滿足精度要求。

1.3.2中跨成橋線形求解

中跨計算的基本變量及目標函數(shù)見表1。

表1　IP點處計H、V算影響矩陣

設(shè)IP點處的H、V為基本變量。首先成橋線形拋物線假定預(yù)估一個IP點處H、V初始值，根據(jù)式（3）、式（4）求得每個吊桿間索段的li、hi。

收斂目標為

式中：m、n分別為左鞍座到跨中的吊桿數(shù)和吊桿總數(shù)；f為中跨主纜矢高；Δy為兩個鞍座IP點的y坐標之差。

若初始H、V不能滿足收斂目標，得出目標函數(shù)誤差向量

基本變量H、V的影響矩陣法求解可通過以下步驟實現(xiàn)：

（1）索端力產(chǎn)生單位增量，使H＝H+1和V＝V+ 1，分別算出主跨中點坐標和主跨端點坐標的增量，得到影響矩陣

（2）求出H、V的修正量（ΔH、ΔV）T

（3）修正索端力H=H-ΔH，V=V-ΔV，重新計算li、hi、ef、ey。

重復(fù)以上迭代過程，直到ef、ey誤差滿足精度要求，得出精確的H、V。

1.3.3邊跨成橋線形求解

根據(jù)平衡條件，邊跨的主纜水平力H與中跨相等，所以邊跨的基本變量為塔頂IP點處邊跨主纜豎向分力V，目標函數(shù)為邊跨主纜另一端豎向坐標y。邊跨線形同樣采用影響矩陣法計算。

1.3.4無應(yīng)力索長求解

對于固定于A（0，0），B（l，h）兩點索段，懸鏈線方程數(shù)學(xué)表達式為

其中

由于根據(jù)成橋線形已知H、V，由式（3）可以求得有應(yīng)力索長S。有應(yīng)力索長減去彈性伸長量，可得無應(yīng)力索長為

1.3.5主纜與主索鞍切點及索鞍精確位置求解

根據(jù)主索鞍半徑R，利用影響矩陣法迭代求解主纜與主索鞍切點坐標以及索鞍精確位置，基本變量與目標函數(shù)見表2。主索鞍切點及圓心位置計算如圖2所示。

表2　主纜與主索鞍切點計算影響矩陣

圖2　主索鞍切點及圓心位置計算示意

影響矩陣法迭代步驟如下：

（1）假設(shè)主纜與鞍座的切點x坐標為x1、x2，根據(jù)懸鏈線方程可求出兩切點y坐標y1、y2。

（2）求出過兩點的懸鏈線法線交點，即索鞍圓心A0（x0，y0），求出與兩切點距離d1、d2。

（3）求出目標函數(shù)誤差向量Δr1=d1-R、Δr2= d2-R。

（4）切點坐標產(chǎn)生單位增量，分別使x1=x1+1和x2=x2+1，求出影響矩陣

（5）求出x、x2的修正量（Δx1，Δx2）T

（6）修正切點坐標x1=x1-Δx1，x2=x2-Δx2。

重復(fù)以上迭代過程，直到誤差Δr1、Δr2滿足精度要求，求得精確的切點x1、x2及索鞍圓心A0（x0，y0）。

2　主纜空纜線形計算

2.1索鞍偏移量求解

索鞍偏移量是指以滿足成橋合理狀態(tài)的各跨主纜無應(yīng)力索長空掛于索鞍上，使索鞍邊中跨空索水平力相等時索鞍的移動量。

設(shè)置索鞍偏移量的目的主要是防止主纜在鞍座上滑動和不平衡水平力引起的主塔彎矩。

根據(jù)索鞍偏移量的設(shè)計原則可知：

（1）空纜狀態(tài)各跨間無應(yīng)力索長等于成橋時無應(yīng)力索長。

（2）空纜狀態(tài)，中邊跨索力水平分力相等；

索鞍偏移量的計算可以通過影響矩陣法迭代求解，基本變量和目標函數(shù)見表3。

表3　索鞍偏移量計算影響矩陣

2.2空纜線形及索夾安裝位置求解

由于已求得索鞍偏移量d1、d2及空纜水平力H1，根據(jù)式（5）可求得空纜線形。

為保證成橋時吊索處于正確的位置，需計算空纜狀態(tài)索夾的安裝位置。計算原則是空纜時索夾的無應(yīng)力長度等于成橋時索夾間的無應(yīng)力長度。

索夾的安裝位置可通過影響矩陣法求解。基本變量為索夾的x坐標，目標函數(shù)為索夾的無應(yīng)力索長。

3　算例

某預(yù)應(yīng)力混凝土自錨式懸索橋，其結(jié)構(gòu)體系如圖3所示，中跨跨徑為140 m，矢高f=25 m。邊跨跨徑為60 m，高度h=28 m；中跨吊桿間距28×5 m，邊跨吊桿間距12×5 m；單根主纜截面積A=0.1 m2, E=1.97×105MPa，主纜集度為7.918 kN/m，吊桿力為2 135 kN。

圖3　某自錨式懸索橋結(jié)構(gòu)體系簡圖

3.1成橋線形計算結(jié)果對比

分段懸鏈線法和拋物線法計算的成橋線形結(jié)果見表4、表5和圖4。

圖4　拋物線法與懸鏈線法成橋線形吊點豎向坐標誤差

由表4、表5和圖4可以得出：

（1）對于小跨徑的常規(guī)自錨式懸索橋成橋狀態(tài)，主纜水平力H及豎向力V誤差很小，水平力誤差僅為－0.074%，豎向力誤差3%左右，拋物線法對成橋主纜內(nèi)力計算精度較高。

（2）無應(yīng)力索長的誤差率很小，中跨為0.01 m，邊跨為0.003 m。

（3）索鞍圓心及索鞍切點誤差都小于1 cm，精度滿足設(shè)計要求。

（4）吊點邊跨豎向坐標的最大差值為6.21 mm，中跨豎向坐標的最大差值為4.510 mm，邊中跨最大誤差發(fā)生的位置靠近索塔，邊跨差值比中跨差值大38%左右。圖中誤差值都為正值，說明按拋物線法計算的豎向坐標距離橋面偏高。

3.2空纜線形計算結(jié)果對比

分段懸鏈線法和拋物線法計算的空纜線形結(jié)果見表6和圖5。

表6　空纜線形計算結(jié)果對比

圖5　拋物線法與懸鏈線法空纜狀態(tài)索夾位置坐標誤差

由表6和圖5可以得出：

（1）空纜水平力誤差為-5.07%，拋物線法計算精度較高。

（2）索鞍偏移量誤差率達-38.19%，絕對差值為76 mm，誤差率較大，這對空纜狀態(tài)索塔的受力狀態(tài)影響較大。

（3）空纜狀態(tài)邊跨索夾豎向坐標的最大差值為192.8 mm，發(fā)生在距離索塔1/3邊跨跨度附近；中跨索夾豎向坐標的最大差值為-336.7 mm，發(fā)生在中跨跨中附近。索夾的縱向坐標最大誤差值為108.2 mm。以上誤差對索夾的精確定位影響較大。

4　結(jié)　論

本文對懸索橋主纜成橋線形和空纜線形相關(guān)內(nèi)容的理論求解方法進行了總結(jié)，同時介紹了拋物線法理論和懸鏈線法理論的具體求解過程。通過算例對拋物線法理論和懸鏈線法理論進行了比較，可以得出對于小跨徑的常規(guī)自錨式懸索橋，拋物線法的誤差很小，滿足一般工程精度的要求，但拋物線法對索鞍偏移量的計算及空纜索夾安裝位置的計算誤差較大。

拋物線法是一種簡化的計算方法，計算上相對簡單，但比較粗略，對于小跨徑的常規(guī)自錨式懸索橋，拋物線法滿足一般工程精度的要求。但隨著橋梁跨徑的加大，主纜自重所占的荷載份額越來越大，拋物線法誤差顯著增大，不宜采用，應(yīng)采用分段懸鏈線法。

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U448.25

A

1009-7716（2016）04-0160-04

10.16799/j.cnki.csdqyfh.2016.04.050

2015-12-14

王青橋（1984-）,男，安徽安慶人，碩士，工程師，從事橋梁設(shè)計工作。