離散切換系統的H_/H∞故障檢測濾波器設計

沈 毅,王佳偉,王振華

(哈爾濱工業大學 航天學院，哈爾濱150001)

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離散切換系統的H_/H∞故障檢測濾波器設計

沈 毅,王佳偉,王振華

(哈爾濱工業大學 航天學院，哈爾濱150001)

為解決離散時間線性切換系統的故障檢測問題，設計了滿足混合H_/H∞性能指標的魯棒故障檢測濾波器.首先，通過構造故障檢測濾波器來得到殘差，并且為提高故障檢測的性能，使用加權H∞性能指標和H_性能指標表示殘差對于擾動的魯棒性以及對于故障的敏感性，進而將魯棒故障檢測濾波器的設計問題轉化為混合H_/H∞性能指標下的多目標求解問題.接著，利用多Lyapunov函數方法和平均駐留時間技術，先得到了初步的濾波器設計結果，然后通過引入松弛變量的方法解除了Lyapunov矩陣和系統矩陣的耦合，得到了保守性較低的結果，并將其表示為線性矩陣不等式形式.最后，使用一個例子進行仿真，為其設計了故障檢測濾波器的參數矩陣，并得到了殘差評價函數的仿真圖形.仿真結果表明,所設計的故障檢測濾波器可以實現故障檢測的功能.

切換系統；平均駐留時間；多Lyapunov函數；混合H_/H∞；魯棒故障檢測濾波器

近年來，由于工業生產以及航空航天等領域對于控制系統安全性和可靠性要求的不斷提高，故障檢測技術得到了快速的發展，并且涌現出了大量的故障檢測方法[1-2].故障檢測濾波器方法是最早發展的一類基于模型的檢測方法，其主要原理是利用系統解析表達式對系統的輸出做出估計，然后與實際測量的輸出值相比較得到殘差，再經過殘差評價以及閾值比較的過程，最終判斷故障是否發生[3].但在實際的故障檢測過程中，未知的擾動信號以及不確定的建模誤差的存在也會對殘差產生影響，因此，需要設計魯棒故障檢測濾波器.目前使用較多的是基于魯棒優化的方法，大致可分為兩類:1)使用H∞范數作為衡量故障敏感性和魯棒性的性能指標，將魯棒故障檢測濾波器的設計問題轉化為傳遞函數的H∞范數最小值求解問題[4-5]；2)使用混合H_/H∞性能指標來研究魯棒故障檢測濾波器的設計問題，將其轉化為多目標優化的求解問題[6-7].

與此同時，切換系統作為一種典型的混雜系統，正在獲得越來越多的關注.其結構是由若干個描述連續動態的子系統以及一個表示離散動態的切換信號組成.切換信號的作用是決定子系統的切換時刻和次序，并且保證在某個時刻，整個系統中只有一個子系統激活.目前，有關切換系統的研究比較活躍，涌現出了很多關于切換系統的研究成果[8-10].并且，隨著切換系統的應用領域日益增多，其故障檢測問題已經引起了研究者的興趣，并且取得了一些研究結果.文獻[11]針對帶范數有界的模型不確定性和狀態時滯的連續時間切換系統，將其故障檢測問題轉化為H∞濾波問題.文獻[12]使用H∞濾波器方法實現了具有區間時變時滯的離散時間切換系統的故障檢測.文獻[13]則針對離散時間切換系統，研究了有限頻率范圍內的故障檢測問題.除了使用H∞濾波器的方法進行故障檢測之外，文獻[14]考慮了在混合H_/H∞性能指標框架下，離散時間不確定切換系統魯棒故障檢測濾波器的設計.文獻[15]則考慮了混合H_/H∞性能指標下，連續時間切換系統魯棒故障檢測濾波器的設計,但在文獻[14-15]中，由于Lyapunov矩陣和系統矩陣存在耦合，得到的結果具有一定的保守性.

基于此，本文將考慮在混合H_/H∞框架下，切換系統魯棒故障檢測濾波器的設計問題.首先，利用平均駐留時間技術和多Lyapunov函數方法，得到了表示魯棒性的加權H∞性能指標和表示敏感性的H_性能指標的線性矩陣不等式.其次，使用加入松弛變量的方法，解除了Lyapunov矩陣和系統矩陣的耦合，降低了結果的保守性.

1 問題形成

考慮離散時間線性切換系統，模型表示如下：

x(k+1)=Aσ(k)x(k)+Bσ(k)1u(k)+Dσ(k)1d(k)+Fσ(k)1f(k)，

y(k)=Cσ(k)x(k)+Bσ(k)2u(k)+Dσ(k)2d(k)+Fσ(k)2f(k).

式中：x(k)∈Rn為系統的狀態向量；y(k)∈Rm為系統的測量輸出向量；d(k)∈Rp為干擾向量；f(k)∈Rq為故障，假設d(k)和f(k)都是l2范數有界的信號.σ(k)為切換系統的切換信號，是一個分段常值函數，取值范圍是自然數集合N={1,2,…,K}.(Aσ(k),Bσ(k)1,Bσ(k)2,Cσ(k),Dσ(k)1,Dσ(k)2,Fσ(k)1,Fσ(k)2)為每個子系統的系數矩陣，是具有適當維數且數值已知的常數矩陣.當切換信號σ(k)=i時，說明第i個子系統被激活，則相應的系統模型轉化為

(1)

系統(1)設計故障檢測濾波器為

(2)

式中：r(k)∈Rm為殘差向量；Li∈Rn×m為濾波器的增益矩陣；Vi∈Rm×m為殘差的權值矩陣；Li、Vi分別為需要設計的濾波器參數.

根據式(1)、(2)可以得到估計誤差系統：

e(k+1)=(Ai-LiCi)e(k)+(Di1-LiDi2)d(k)+(Fi1-LiDi2)f(k),

r(k)=ViCie(k)+ViDi2d(k)+ViFi2f(k),

(3)

可知誤差系統也為切換系統，并假設其與原系統同步，殘差信號r(k)與干擾d(k)和故障f(k)有關，為了得到設計魯棒故障檢測濾波器，需要設計濾波器參數滿足以下3個條件：

1)誤差系統是全局指數穩定的；

2)殘差r(k)對干擾d(k)具有魯棒性，即滿足加權H∞性能指標；

3)殘差r(k)對故障f(k)具有敏感性，即滿足H_性能指標.

下面用定義來描述上述的3個條件.

定義1 如果存在常數K>0,0<β<1，使得系統(3)的解e(k)滿足‖e(k)‖≤Kβ(k-k0)‖e(k0)‖，?k≥k0，則在切換信號σ(k)下，系統(3)是全局指數穩定的.

定義2 給定常數0<α<1和γ>0，當滿足零初始條件和f(k)=0時，對于所有的非零d(k)∈l2[0,∞),若以下不等式成立

則稱系統(3)的殘差r(k)對于干擾d(k)具有加權的H∞性能指標，其中α為系統的衰減度.

定義3 給定常數β>0，當滿足零初始條件和d(k)=0時，對于所有的非零f(k)∈l2[0,∞),若以下不等式成立

(5)

則稱系統(3)的殘差r(k)對于故障f(k)具有H_性能指標.

另外，考慮切換系統的切換信號滿足平均駐留時間，定義如下.

定義4[9]對于滿足k00，N0≥0，可以得到：

成立，則τα稱為切換信號σ(k)的平均駐留時間(average dwell time，ADT)，N0稱為抖振邊界，通常情況下，令N0=0.

2 魯棒故障檢測濾波器的設計

考慮在H_/H∞框架下，魯棒故障檢測濾波器的設計問題.首先將通過兩個引理，得到初步的魯棒故障檢測濾波器的設計方法，但由于Lyapunov矩陣與系統矩陣之間存在耦合，所得的結果具有一定的保守性；其次，將考慮使用松弛變量的方法，實現Lyapunov矩陣與系統矩陣的解耦，進而得到具有較低保守性的設計結果.

引理1[9]給定常數0<α<1,μ>1，對于誤差系統(3)，定義多Lyapunov函數V(e(k))={Vi(e(k)),i∈N}，如果其滿足以下兩個性質：

1)Vi(e(k+1))-Vi(e(k))<-αVi(e(k)),

2)Vi(e(kl))<μVj(e(kl)),

并且平均駐留時間滿足：

(6)

其中，ceil(υ)表示取整函數，則誤差系統(3)是全局指數穩定的.

注1 引理1使用多Lyapunov函數和平均駐留時間方法，研究了在平均駐留時間切換信號下，離散時間切換系統穩定的條件，它可以保證條件1)滿足.基于引理1，可以得到如下的引理2.

引理2 給定常數0<α<1，μ>1，γ>0，β>0,當存在正定對稱矩陣Pi和Qi(i∈N)，使得矩陣不等式：

(7)

(8)

(9)

(10)

成立，同時切換信號滿足平均駐留時間式(6)，則誤差系統(3)全局指數穩定，并且滿足加權H∞性能(4)和H_性能指標(5).

證明 證明過程與文獻[14]中定理1類似，故此省略.

注2 由于引理2中的式(7)和式(9)中含有非線性項，為了將其轉化為線性矩陣不等式，需要進行變量替換：

Zi=PiLi，Yi=QiLi,

則有

可知濾波器增益矩陣Li的數值由兩個公式確定，為解決該問題，則需要令Pi=Qi.這個附加條件的引入，相當于用一個Lyapunov函數同時求解加權H∞性能和H_性能.顯而易見，這樣得到的結果具有一定的保守性.分析原因，不難發現是由于Lyapunov矩陣與系統矩陣的耦合，才導致問題的產生.因此，本文將通過引入松弛變量的方法，解除二者的耦合，進而得到保守性較低的結果.

定理1 給定常數0<α<1，μ>1，γ>0，β>0,當存在正定對稱矩陣Pi，Qi，Mi和矩陣Xi，Gi(i∈N)，使得線性矩陣不等式：

(11)

(12)

及式(8)，(10)成立，且切換信號的平均駐留時間滿足式(6)，則誤差系統(3)全局指數穩定，并且滿足加權H∞性能(4)和H_性能指標(5)，同時魯棒故障檢測濾波器的參數可根據

(13)

求解得到.

(14)

成立，將其展開可得:

(15)

在式(15)左右兩端同時乘以-I，則有

(16)

則可知矩陣不等式

(17)

(18)

根據誤差系統參數矩陣的定義，可由式(18)得到式(7)成立.

同理，對式(12)進行相似的變換可得到式(9)成立.

再根據式(8)、(10)，以及切換信號滿足的條件(6)，則根據引理2，可以證明誤差系統(3)全局指數穩定，并且滿足加權H∞性能(4)和H_性能指標(5)，魯棒故障檢測濾波器的參數可由式(13)計算.至此，定理可證.證畢.

注3 定理1通過引入松弛變量Gi實現了Lyapunov矩陣與系統矩陣的解耦，可以在Pi≠Qi時求解濾波器增益矩陣Li和殘差的權值矩陣Vi，降低了結果的保守性.

通過定理1可以得到魯棒殘差生成器，但由于干擾信號的作用，即使沒有故障出現，殘差也不為零，因此需要對殘差進行評估，以判斷是否出現了故障.

首先，選取殘差的范數作為評價函數：

其次，設置閾值為無故障時殘差范數的最大值，即

將殘差評價函數的值和閾值比較，當JL(r(k))≥Jth(r(k))，說明系統存在故障，當JL(r(k))

3 仿真舉例

本文考慮具有兩個子系統的離散時間線性切換系統，每個子系統的模型如式(1)所示，參數矩陣給定如下：

給定α=0.2,μ=1.2，則切換信號需要滿足的最小平均駐留時間計算為

故選定平均駐留時間為τα=4的切換信號，如圖1所示.輸入信號u(k)=1,k∈[0,300].干擾信號d(k)=0.1sin(0.1k),k∈[0,300]，如圖2所示.

圖1 切換信號

圖2 干擾信號

故障信號描述如下：

給定γ=0.2,β=3，使用定理1可以得到Gi，Pi和Qi(i=1,2)為

可以看出Pi≠Qi(i=1,2)，同時可計算得到濾波器增益矩陣L1、L2和殘差的權值矩陣V1、V2為

計算殘差的評價函數和閾值為

可以看出在k=161時，JL(r(k))>Jth(r(k))，檢測到了故障，殘差評價函數的變化曲線如圖3所示.

圖3 殘差評價函數曲線

在圖3中，虛線表示沒有故障的殘差評價函數變化曲線，實線表示有故障的殘差變化曲線.在故障發生前，兩個曲線是重合的；當故障發生后，含有故障的殘差評價曲線發生變化，明顯地超出了無故障的曲線，說明檢測出故障.

4 結 論

1) 將離散時間線性切換系統的故障檢測，轉化為了滿足混合H_/H∞性能指標的故障檢測濾波器設計問題，利用平均駐留時間和多Lyapunov函數方法設計了濾波器的參數.

2) 通過松弛變量方法解除了Lyapunov矩陣與系統矩陣的耦合問題，得到保守性較低的結果.

3)利用一個例子進行仿真驗證，仿真結果表明本文設計的故障檢測濾波器可以實現故障檢測的功能.

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(編輯 張 紅)

H_/H∞fault detection filter design for discrete time switched system

SHEN Yi, WANG Jiawei, WANG Zhenhua

(School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

The fault detection problem of discrete time linear switched system is studied by using the robust fault detection filter in the framework of mixedH_/H∞. First of all, residual is obtained by constructing fault detection filter. For the purpose of improving the accuracy of fault detection, weightedH∞performance is used as the robustness indicator of residual to disturbance, andH_performance is regarded as the sensitivity indicator of residual to fault. As a result, the problem of robust fault detection filter design is converted to a multi-objective solving problem under the mixedH_/H∞. performance index. Then, multiple Lyapunov functions and average dwell time approach are used for deriving the preliminary result of filter design. Moreover, the couple between Lyapunov matrix and system matrix is removed by introducing the slack variables, and less conservative results are obtained. All results are in the form of linear matrix inequality. Finally, a numerical example that the parameters of the fault detection filter are designed is given to show that the designed filter can realize the function of fault detection.

switched system; average dwell time; multiple Lyapunov functions; mixedH_/H∞; robust fault detection filter

10.11918/j.issn.0367-6234.2016.10.005

2015-04-28

國家自然科學基金(61021002，61273162，61403104)；中央高校基本科研業務費專項資金 ( HIT. KLOF. 2015.076)

沈 毅(1965—)，男，教授，博士生導師

王佳偉，11B304008@hit.edu.cn

TP277

A

0367-6234(2016)10-0039-05