去偏轉換方向余弦位置和多普勒量測跟蹤

付錦斌,孫進平,魏少明,李少洪

(北京航空航天大學 電子信息工程學院, 北京 100191)

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去偏轉換方向余弦位置和多普勒量測跟蹤

付錦斌,孫進平,魏少明,李少洪

(北京航空航天大學 電子信息工程學院, 北京 100191)

為解決相控陣雷達方向余弦坐標系下狀態空間模型量測方程強非線性的問題，提出了一種帶多普勒量測的去偏轉換量測跟蹤方法.在考慮距離量測誤差與多普勒量測誤差相關性的基礎上，用距離量測與多普勒量測的乘積構造偽量測來減輕多普勒量測的非線性.并通過對方向余弦進行二階泰勒展開，得到了轉換量測誤差均值和協方差的一致性估計.最后通過對位置量測和偽量測進行序貫處理解決了偽量測非線性的問題.仿真結果證明：通過引入多普勒量測確實提高了濾波性能；同時相比于常用的擴展卡爾曼濾波器和不敏卡爾曼濾波器，提出的去偏轉換量測濾波器在方向余弦坐標系下具有更好的跟蹤性能.

目標跟蹤；相控陣雷達；方向余弦坐標系；多普勒量測；去偏轉換量測

在目標跟蹤中，目標運動方程通常定義在直角坐標系(CAR)下，但目標量測通常在極/球坐標系或方向余弦坐標系(COS)下給出.這使得狀態空間中量測方程呈現非線性.對于這一非線性問題，通常采用兩種解決方法.一種是用特定方法近似目標狀態通過非線性映射后的概率分布，從而得到目標狀態的估計.擴展卡爾曼濾波器(EKF)[1]假定目標狀態滿足高斯分布，用目標狀態估計的均值和協方差表示當前目標狀態的概率分布，通過泰勒級數展開的方法獲得非線性函數的線性近似表達，之后使用卡爾曼濾波器(KF)獲得下一時刻目標狀態的概率分布.不敏卡爾曼濾波器(UKF)[2]同樣假定目標狀態滿足高斯分布，用目標狀態空間中選取的一系列采樣點來近似目標狀態分布，用非線性函數作用于這些點上所得結果來近似下一時刻目標狀態的概率分布.另一種方法是將量測轉換到直角坐標系下，然后使用KF得到目標狀態的估計.文獻[3]指出帶噪聲量測直接轉換到直角坐標系下是有偏的，并提出一種去偏轉換量測(DCM)方法.文獻[4]利用在極/球坐標系下可以直接通過帶噪聲量測得到目標狀態的無偏估計，提出一種無偏轉換量測(UCM)方法.文獻[5]指出這種UCM方法在推導轉換量測誤差均值和協方差時存在兼容性問題，并在UCM方法的基礎上提出一種修正無偏轉換量測(MUCM)方法.文獻[6-8]對現有的量測轉換方法進行了總結和改進.但上述轉換量測方法大都只適用于機械掃描雷達廣泛使用的極/球坐標量測，并不適用于電掃描相控陣雷達的方向余弦坐標量測.

隨著雷達技術的不斷發展，雷達除了能夠給出目標的位置信息，如距離、方位角和俯仰角，還能提供目標的徑向速度信息.理論和實踐已經證明[1]，充分利用徑向速度信息可以有效提高目標的跟蹤精度.考慮多普勒量測與目標狀態之間完全是非線性關系，文獻[1]提出采用距離量測和多普勒量測的乘積構造偽量測來減小這種非線性，然后再用線性化方法得到轉換量測誤差的統計特性.但文獻[9]證明了對于線性調頻信號，多普勒量測誤差與距離量測誤差之間具有很強的相關性.文獻[10]考慮這種相關性，將文獻[3,11]的方法推廣到包含多普勒量測的情況.文獻[12-13]針對極坐標情況，假定一個切向速度量測將多普勒量測轉換為X，Y方向的速度量測再進行濾波.文獻[14]設計了一個轉換多普勒量測的卡爾曼濾波器(CDMKF)，并將所得濾波結果與常規位置量測濾波結果融合得到最終目標狀態的估計.上述方法均通過引入多普勒量測，在不同程度上改善了濾波性能.

文獻[15]針對方向余弦坐標系下的位置量測給出了一種轉換量測的卡爾曼濾波器(CMKFDcos).本文在此基礎上引入多普勒量測，提出了一種方向余弦坐標系下帶多普勒量測的去偏轉換量測濾波(debiased converted position and Doppler measurements filter in the COS, DCPDMFcos)方法.通過仿真驗證了此轉換量測方法是一致有效的.同時將其應用于二維目標跟蹤中，仿真結果證實了本文提出的方法通過引入多普勒量測確實提高了性能，并比現有EKF和UKF具有更好的跟蹤效果.事實上，本文提出的方法可以直接推廣應用于三維方向余弦坐標系下的目標跟蹤.

1 方向余弦坐標系

在陣列雷達應用中，用不隨掃描角變化的余弦或余弦增量來描述波束寬度和角位置增量更方便，因此陣列雷達量測多在方向余弦坐標系下給出.假設xr-yr是與陣面固連的直角坐標系，波束指向與位于陣列平面xr軸的夾角為A，則有

式中：α為目標與xr軸的方向余弦;x為目標在xr軸上的坐標值;R為目標至雷達的距離.陣列雷達在方向余弦坐標系下所得量測值包含與xr軸的方向余弦α，距離R和多普勒速度vR.

方向余弦坐標量測與直角坐標量測之間的關系為

x=Rα=RcosA,

2 方向余弦轉換量測誤差的均值和協方差

方向余弦坐標系描述電掃描陣列雷達的天線方向圖和掃描特性是方便的，但是并不適合描述目標的運動狀態，這就需要將陣列雷達的方向余弦坐標量測值變換到直角坐標系下.雷達同所有傳感器一樣，量測會受到噪聲的污染.假定陣列雷達量測為Zmcos=(αmRmvRm)T，則有

(1)

考慮到多普勒量測與目標狀態的非線性性過強，本文用距離量測和多普勒量測的乘積構造偽量測來減輕這種非線性，則方向余弦量測轉換到直角坐標系下為

(2)

由于帶噪聲的非線性轉換是有偏的[3]，所以需要估算偏差并把偏差去除.由式(1)可得：

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

直角坐標量測誤差的均值u為

直角坐標量測誤差的協方差RCar為

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

根據式(4)和式(15)并進行一定近似可得：

(17)

(18)

(19)

由于

式(17)～(19)可以方便求得，這里不再贅述.

3 跟蹤處理流程

為解決方向余弦坐標系下量測方程的強非線性，首先用多普勒量測與距離量測乘積的偽量測來減輕多普勒量測的非線性.接著將所得量測Rm,αm,ξm依據式(2)轉換為直角坐標系下xm,ym,ξm，并根據式(10)～(16)得到轉換之后誤差的平均真實均值和平均真實協方差.最后由于轉換量測中的偽量測與目標狀態仍然存在非線性，但非線性已經很弱.本文利用Cholesky分解對位置量測和偽量測進行序貫處理來解決這一非線性問題[10].算法具體流程如圖1所示.

圖1 跟蹤流程

4 仿真與分析

為驗證本文跟蹤濾波器的性能，設計如下仿真場景.雷達位于(0,0)km處，采樣間隔T=1 s，距離、方位和多普勒量測的標準差分別為σR=15 m，σα=0.2(°)，σvR=0.1 m/s，距離量測誤差與多普勒量測誤差相關系數ρ=0.9[9].假定目標起始位于(10，10)km處，并以(100,100)m/s的速度勻速運動100 s.狀態空間模型采用近似常加速度模型，過程噪聲標準差為0.001m/s2.

由于在方向余弦坐標系下，并不能得到轉換量測的無偏估計，所以UCM和MUCM方法不能被使用.為驗證本文提出的算法的性能，EKF、UKF以及本文提出的DCPDMFcos在以下3個指標下被評估.同時為驗證引入多普勒量測對于濾波效果的影響，文獻[15]中CMKFDcos也被評估.

首先應用平均歸一化轉換量測誤差方差(ANCMES)[3]對量測進行一致性分析：

圖2 預測量測一致性檢測

注：彩圖見電子版(http://hit.alljournals.cn)(2016年第10期)

由于CMKFDcos并不包含多普勒量測，它的卡方分布置信邊界不同與其他濾波器.所以CMKFDcos并未用此指標進行評估.圖2中紅線為置信度為0.9時的卡方分布置信邊界.從圖2中可以看出本文提出的轉換量測方法在濾波過程中預測量測始終是一致的，而EKF在濾波全過程都不能保證預測量測的一致性，UKF僅能在濾波的某些時刻保證預測量測的一致性.

以下從濾波器估計的一致性和濾波精度兩個方面對濾波器跟蹤性能進行分析.濾波器的估計一致性由平均歸一化估計誤差方差(ANEES)[16]給出:

式中：(xi-x)、Pi分別為第i次蒙特卡洛仿真的估計誤差和相應的誤差協方差；m為量測向量的維數.如果估計誤差和相應協方差匹配的話，ANEES應該接近于1，則濾波器是可信的[16].500次蒙特卡洛試驗所得結果如圖3所示.從圖3中可以看出EKF完全不能保證濾波的一致性，而UKF只在濾波開始具有較好的一致性.對于DCPDMFcos，雖然由于引入多普勒量測，它的一致性相比于CMKFDcos稍有下降，但仍能在整個濾波過程中保持較好的一致性.而且從后面的仿真結果也可以看出，這一點一致性的下降并沒有影響DCPDMFcos的跟蹤性能.

圖3 濾波器狀態一致性檢測

關于濾波器的估計精度，本文選取濾波器估計值與真值誤差的均方根誤差(RMSE)作為評價指標.同時為了更好的呈現濾波器的估計精度，各量測估計的RMSE也同樣被給出.通過500次蒙特卡洛試驗所得結果如圖4所示.

圖4 濾波精度性能比較

從仿真結果可以看出，通過引入多普勒量測，DCPDMFcos相比于CMKFDcos獲得了更佳的濾波效果.同時由于方向余弦坐標系下量測方程的非線性過強，EKF完全不能給出目標狀態的有效估計，UKF僅能在某些時刻給出目標狀態的有效估計，且濾波效果較差.而DCPDMFcos在所有的指標上都具有最佳的濾波效果.

5 結 論

1)針對方向余弦坐標系下的目標跟蹤問題，DCPDMFcos考慮了距離量測和多普勒量測之間的相關性，通過對量測方程中的非線性分三步進行處理，有效地降低每一步所需要處理的非線性，從而給出了目標狀態的有效估計.

2)DCPDMFcos首先用距離量測與多普勒量測的乘積構造偽量測來減輕多普勒量測的非線性；然后通過對方向余弦進行二階泰勒展開，得到了轉換量測誤差均值和協方差的一致性估計；最后通過對位置量測和偽量測進行序貫處理解決了偽量測的非線性問題.

3)通過與CMKFDcos、EKF和UKF性能的比較仿真，證實了無論在濾波一致性方面，還是在濾波精度方面，DCPDMFcos都具有更佳的性能.

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(編輯 張 紅)

Debiased converted position and doppler measurements tracking in direction cosine coordinates

FU Jinbin, SUN Jinping, WEI Shaoming, LI Shaohong

(School of Electronic and Information Engineering, Beihang University, Beijing 100191, China)

This paper proposes a debiased converted measurement filter with Doppler measurement to deal with the problem of high nonlinearities in state space model measurement equation in direction cosines coordinates of phased array radar. Considering the relationship between the range measurement error and Doppler measurement error, a pseudo measurement is constructed by the product of range and Doppler measurements to reduce the high nonlinearities of the Doppler measurement. Then, via taking the second-order Taylor series expansion to the direction cosines variable, consistent estimations of mean and covariance of the converted measurement error are derived. Finally, the problem of pseudo measurement nonlinearities is coped with by sequentially processing the position measurement and pseudo measurement. The simulation results prove that the filtering performance is improved indeed by introducing the Doppler measurement. Moreover, compared with the common extend Kalman filter and unscented Kalman filter, the proposed debiased converted measurement filter shows better tracking performance indirection cosine coordinates.

target tracking; phased array radar; direction cosine coordinates; Doppler measurements; debiased converted measurements

10.11918/j.issn.0367-6234.2016.10.014

2015-05-13

國家自然科學基金(61471019)；國家自然科學基金重點實驗室基金(9140C800101140C80331)

付錦斌(1991—)，男，博士研究生；

孫進平(1975—)，男，博士生導師

付錦斌，fujinbin@buaa.edu.cn

TN953

A

0367-6234(2016)10-0097-06