樣條有限點法分析旋轉變截面Euler梁彎曲自由振動問題

劉鵬 劉紅軍 林坤 秦榮

摘要：基于EulerBernoulli梁理論，采用樣條有限點法建立旋轉變截面梁彎曲振動分析新模型.通過沿梁軸線均勻布置一定數量的樣條節點對變截面梁樣條離散化，采用三次B樣條函數對變截面梁的位移場進行插值.考慮截面尺寸變化和旋轉離心剛化效應的影響，基于Hamilton原理推導出旋轉變截面梁計算模型的總剛度和總質量矩陣表達式，編制程序對旋轉變截面梁動力特性進行分析，并建立ANSYS有限元模型進行比較驗證.結果表明：本文解答與文獻和有限元解答吻合良好，本文模型具有計算精度好、建模效率高、邊界條件簡單和程序編制方便的優點，可適用于不同邊界約束、截面變化率、截面變化類型、旋轉角速度和輪轂半徑條件下的旋轉變截面梁的彎曲自由振動問題.參數分析表明截面變化率和旋轉角速度對旋轉變截面梁動力特性有重要影響.

關鍵詞：EulerBernoulli梁理論；旋轉變截面梁；彎曲自由振動；樣條有限點法

中圖分類號：TU311.3 文獻標識碼：A

旋轉變截面梁結構，如風力機葉片、直升機螺旋槳等，在機械和航空航天工程中應用廣泛，其分析模型可等效為變截面梁的繞軸旋轉運動.而梁的繞軸旋轉運動產生離心剛化效應，對旋轉變截面梁的動力特性產生重要影響，有必要對其動力特性進行深入研究.對于變截面細長梁的彎曲振動問題，可以忽略截面剪切變形和轉動慣量效應的影響，采用EulerBernoulli梁理論（EBT）建立模型進行分析[1].

湖南大學學報（自然科學版）2016年

第9期劉鵬等：樣條有限點法分析旋轉變截面Euler梁彎曲自由振動問題

旋轉變截面梁彎曲自由振動分析需要考慮梁的截面特性（面積、慣性矩）變化和繞軸轉動產生的離心力變化對梁的動力特性的影響，導致求解變截面Euler梁振動微分方程趨于復雜，且難于獲得解析解，必須借助數值分析方法.國內外學者針對變截面梁振動問題開展了大量的數值分析方法研究.

Shahba等[1]基于微分變換單元法（DTEM）和微分低階求積法（DEQL）建立軸向功能梯度變截面Euler梁的振動分析模型，主要研究截面變化率參數等對軸向功能梯度變截面梁的動力特性和臨界荷載的影響.Ozgumus等[2-3]基于微分變換法（DTM）建立旋轉截面Euler梁的振動分析模型.Rajasekaran[4]基于DTM和微分求積單元法（DQEM）建立旋轉軸向功能梯度變截面Euler梁的振動分析模型，文中作者分析截面變化率、軸向功能梯度指數和旋轉角速度及端部集中質量等參數對旋轉變截面軸向功能梁自振頻率的影響.Zarrinzadeh等[5]和Attarnejad等[6]基于有限單元法（FEM）建立旋轉變截面Euler梁的振動分析模型，文中作者提出一個新插值函數對旋轉變截面梁的位移場進行插值，該模型具有一定的計算精度，但在較高截面變化率情況下，需劃分較多結構單元，建模和計算效率均下降明顯.Banerjee等[7-8]基于譜單元法（或稱動態剛度法）建立旋轉變截面Euler梁的分析模型，該方法與傳統有限元方法相比，需要更少的單元且可以獲得較高計算精度，但建模比較復雜.其他學者采用有限差分法[9]、攝動法[10]和其他數值方法[11-13]建立模型分析旋轉或非旋轉變截面和等截面梁的自由振動及穩定問題.

廣西大學秦榮[14-15]于1979年提出用于結構分析的樣條有限點法（SFPM），研究表明SFPM具有不需劃分結構單元，邊界處理方便，計算精度和效率較高等優點，可對梁、板殼等結構進行分析[16-17].

對旋轉變截面Euler梁的彎曲振動問題， 并未見有文獻采用SFPM進行建模分析.基于Euler梁理論，本文作者首次采用SFPM建立旋轉變截面Euler梁的彎曲振動分析模型，針對不同截面高、寬度變化率的變截面矩形截面梁，考慮旋轉動力剛化效應的影響，推導出本文旋轉變截面Euler梁的SFPM模型的總剛度和總質量矩陣的表達式.編制計算程序進行算例分析，并驗證本文模型正確性.研究樣條節點個數對計算精度的影響.分析截面尺寸變化參數、旋轉角速度參數、輪轂半徑參數等對旋轉變截面梁動力特性的影響，得到一些結論.

4 結論

本文建立旋轉變截面Euler梁振動分析的SFPM計算格式并進行動力特性分析.

1）基于SFPM推導出旋轉變截面Euler梁的振動分析模型，模型考慮矩形變截面梁截面高寬度沿軸向線性變化情況，推導考慮截面尺寸變化效應和繞軸旋轉產生的離心剛化效應影響下的旋轉變截面梁的結構總剛度矩陣和總質量矩陣表達式，并編制相關計算程序進行模型驗證分析.

2）與有限元模型相比較，本文模型具有邊界條件簡單、程序編制方便、計算精度和效率高的優點，可適用于不同邊界、不同截面變化率、不同旋轉角速度和輪轂半徑條件下的旋轉變截面Euler梁的振動分析.

3）旋轉變截面梁的動力特性主要受到截面變化系數和旋轉角速度的影響，輪轂半徑變化對其特性影響不大.

參考文獻

[1]SHAHBA A， RAJASEKARAN S. Free vibration and stability of tapered EulerBernoulli beams made of axially functionally graded materials[J]. Applied Mathematical Modeling， 2012，36（7）：3094-3111.

[2]OZGUMUS O O， KAYA M O. Flapwise bending vibration analysis of a rotating tapered cantilever BernoulliEuler beam by differential transform method[J]. Journal of Sound and Vibration， 2006，289（1）：413-420.