運用數形結合思想處理圓錐曲線中的一類對稱問題

朱遠程

【摘 要】在平面解析幾何中，直線與圓錐曲線相交弦的中點問題是平面解析幾何中的重點問題、綜合性問題，有一定的難度。尤其是圓錐曲線上兩點關于某直線對稱求參量的取值范圍時，解題過程冗長，丟分現象普遍。本文在點差法的基礎上，尋求有關弦中點的軌跡，通過軌跡曲線與圓錐曲線的位置關系，利用數形結合尋求參量范圍的方法

【關鍵詞】弦中點，直線，對稱

在直線與圓錐曲線的位置關系中，常出現這樣一類問題：圓錐曲線上存在兩點A，B關于直線l對稱求參數范圍的問題。對于此類問題關鍵是抓住點A，B關于直線l對稱，對稱中體現的兩要點：垂直（斜率之積為-1或k1，k2中一個為0，一個不存在）和線段AB的中點M在直線l上。下面以具體例題對這類問題的解法進行探討，并提出個人的看法。

例1：已知橢圓C：，確定m的取值范圍，使C上有不同的兩點A、B關于直線l：y=4x+m對稱。

解法一：

（1）思路分析：由于直線AB與圓錐曲線交于兩點AB，所以直線AB方程與圓錐曲線方程聯立方程組，得一元二次方程，由△>0求參數的范圍。

（2）解題步驟：

設存在兩點A（x1，y1），B（x2，y2）關于直線l對稱，中點為M（x0，y0）

則AB所在直線為，與橢圓方程聯立

消y得 ，

由韋達定理得

當-

解法二：

（1）思路分析：由于中點M為相交弦AB的中點，所以可用點差法，求出參數與中點的關系，又中點M在對稱直線l上，故可用參數表示中點的坐標代入不等式（根據弦中點位置），求出參數的范圍。

（2）解題步驟：

設存在兩點A（x1，y1），B（x2，y2）關于直線l對稱，中點為M（x0，y0）

當-

第一種解法是用韋達定理，計算復雜；第二種解法用點差法，找出了弦斜率用弦中點的關系，計算巧妙，但對于雙曲線來說，根據弦的中點位置及對應范圍求出參數取值范圍計算難度較大，題目丟分現象比較普遍。

通過教學實踐，這類問題不僅可以用上面兩種方法解答，也可以在解法二點差法的基礎上，設想尋求有關弦中點的軌跡，通過軌跡曲線與圓錐曲線的位置關系，利用數形結合尋求參量范圍。

解法三：

解：設存在A（x1，y1），B（x2，y2）關于直線l對稱，AB中點M（x0，y0）

根據點差法（同解法二）

得y0 = 6x0

于是以為斜率的平行弦的中點軌跡是直線y=6x在橢圓內部的一段，不包括端點。

與聯立方程組得兩交點A1（），B1（），

問題轉化為l與線段，有交點問題。

由圖形可知，當l過A1點時，m最大值為 ，當l過B1點時，m最小值為 -，

例1的解法三提供了一種解決此類問題的新思路，從圖形上可以直觀地看出結果，真正體現了數形結合思想。那么此種想法是否適合其它曲線呢？

例2：曲線C：x-y2-2y=0上存在關于直線l：y=x+m對稱兩點A、B，求m的取值范圍。

解：設A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點M（x0，y0）

則有 （1）

（2）

（1）-（2）得

由題意知，上式兩端同除以

得

∵A，B關于l對稱

∴， ，

于是以-1為斜率的平行弦的中點軌跡為直線在拋物線內部的一條射線，不包括端點。

將代入拋物線方程得交點P（， ），問題轉化為l與射線有交點。

將P點坐標代入l方程得，由圖形知，m取值范圍為

例3：曲線C：上存在關于l：對稱的兩點A、B，求k的范圍。

解：當k=0時，l為x軸，由雙曲線對稱性知 k=0不符合題意，當時，設A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點M（x0，y0） ，

將A、B坐標代入雙曲線方程得

以為斜率的弦中點軌跡方程為x = -2，直線x=-2與雙曲線、漸近線交于點A1，B1，C1，D1，由雙曲線對稱性可以看出，以為斜率的弦中點軌跡應是線段B1C1和以A1，D1為端點的兩條射線（在x=-2上），顯然l過定點C（- 4 ，0）

由圖知，時，l與弦中點軌跡有交點，即C上存在兩點A、B關于l對稱。

所以

由例2，例3可以看出，在點差法的基礎上，尋求有關弦中點的軌跡，通過軌跡曲線與圓錐曲線的位置關系，利用數形結合尋求參量范圍的方法對圓錐曲線是適用的。

參考文獻：

[1]梁玉俊.運用數形結合思想處理一類對稱問題[C]. 高考數學：數形結合思想論文，2009.

[2] 戴頁瑞.圓錐曲線上兩點關于直線對稱問題的解法[J].學苑教育，2011年第12期.

[3]吳文堯.求解圓錐曲線上關于直線對稱問題的通法[J].中學數學，2007年第9期.