圖形運動數學解題的一條“捷徑”

丁幫琴

幾何問題在中考中占有著重要的地位，很多同學都會被幾何圖形所迷惑，看不清題目的真實面貌，不能夠做到快速解題.其實幾何圖形問題的解決方法多種多樣，只是學生的思維模式還沒有放開，僅局限在課本上僅有的知識點內.為了改變這種現狀，需要老師多做努力，培養學生識圖用圖的基本能力.

一、巧妙平移，組建易解圖形

圖形運動就是將題目中所給的圖形做出一些變動，讓圖形的形狀向著對解題最有利的方向變化.平移就是其中的一種方式，它可以平移圖形中的一條線段，也可以是圖形的一部分，甚至是整個圖形，不管怎樣移動，都要注意一個原則，那就是對自己解題有很大的幫助.

平移是圖形運動中最容易看出來的有利移動，老師在教學課堂上一定要教會學生平移，使他們明白平移的目的，避免學生胡亂移動，對解題根本沒有一點益處.在學習三角形時，很多的線段距離證明就需要運用線段的平移.例如：在△ABC中，BD=CE，求證：AB+AC大于AD+AE.這就是典型的平移條件問題，畫出圖形如圖1所示.

這樣的題目是證明線段的長短，如果只是看著原來題目中所給的圖形，我們根本看不出所給線段的長度關系.這時候就需要另辟蹊徑，換一種眼光來看待問題.如圖所示，我們將△AEC平移到△FBD的位置，這樣，通過平移就組建了兩個全等三角形AEC和FBD.通過這樣的變換之后，再次觀察圖形，就會變得更加清晰明了.圖中，設AB交FD于點P（圖中未標出）.可以得出，PA+PD大于AD，PF+PB大于BF，兩個式子加在一起得到，PA+PB+PD+PF大于AD+BF，又因為BF=AE和AC=FD，所以得出AB+AC大于AD+AE的結論，使問題得到解決.這樣的題目在中考中經常出現，需要學生對圖形進行改變，才能夠容易地解題.如果只是原封不動的話，很難找到解題的策略，這就是圖形運動的重要性.

平移在初中幾何中的應用還有很多，這只是其中的一個類型，屬于證明類，需要學生睜開發現的眼睛，就能看到應該移動的線段或者圖形.

二、看清對稱，構造規律圖形

對稱圖形分為軸對稱圖形和中心對稱圖形，是初中教學的重點與難點.但是在圖形運動中，基本都以軸對稱為操作手段，通過作關于某一條直線的對稱圖形，讓數學圖形變得更加有規律.

根據圖形形狀作軸對稱，有時候需要將整個圖形進行對稱變換，有時候則需要將圖形中的一部分進行對稱變換，這都是根據不同的題目要求來選擇的.老師要教會學生如何根據已給條件，靈活地將圖形“運動”起來，避免學生只是學會死板變換，不管題意如何變化，都是將整個圖形進行軸對稱變換.軸對稱最大的好處就是對稱前后的兩個圖形全等的，學生要分清對稱前后不變的元素.例如：如圖2所示，在△ABC中，D在AB上，E在AC的延長線上，且BD=CE，連接DE交BC于F.求證：DF=EF.

這道題有很多解法，通過軸對稱變換就是其中之一，而且這種方法也比較簡單.如圖3所示，將△CEF沿直線BC翻折到△CGF的位置，得到FG=FE，所以通過這樣的圖形運動將題目轉變，欲證DF=EF，只需要證明DF=FG即可，至此自然而然就會想到連接DG.翻折方法只是提供思路，具體解題需要自己添加輔助線.解法如下：過D作DG平行于BC，過C作CG平行于AB交DG于G，連接FG.通過這種輔助線的作法，可以得到△CEF與△CGF是全等三角形.從而得到∠1=∠2，GF=EF.又因為DG∥BC，則∠1=∠4，∠2=∠3.所以得出∠3=∠4，故DF=GF，從而DF=EF成立.

對稱變換也能夠構造規律圖形，從而使問題簡單化，便于學生思考.

三、靈活旋轉，把握全等圖形

在遇到關于等腰三角形、正三角形以及正方形等問題時，我們經常要用到旋轉變換.因為所涉及到的圖形都是對稱圖形，旋轉起來有很多是全等的，對于圖形解析十分重要，能夠激活學生的解題思維.

下面以一道例題為例，講解旋轉變換在幾何題型中的應用.如圖4所示，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠A=90°，M、N為斜邊BC上兩點且∠MAN=45°，求證：BM2+CN2=MN2.

根據所給題目，要證明BM2+CN2=MN2.這種平方和的形式，很容易讓人聯想到勾股定理的應用，但是觀察所給圖形發現它們并不在一個三角形內.所以，這時候就需要學生想方設法將圖形進行變換，使得需要的三條線段在變化過程中出現在一個三角形內.這樣這道題就很容易的解決了.考慮到△ABC是等腰三角形，且是直角三角形，所以將△ABM繞A點逆時針旋轉90°，使得AB與AC重合就會得到新的△ACD，則△NCD是直角三角形.通過這樣的變換后，再次觀察圖形就會發現，只要證明出MN=ND即可.旋轉三角形之后，將一個復雜的證明問題轉化為了線段相等的問題，使解題變得層次分明，容易上手.接下來就是利用所學過的幾何知識，將線段之間的關系整理清楚即可，證明過程十分簡單，在此就不再贅述.

旋轉變換的應用有一個很大的困難，就是許多同學在變換之后反而將題目變得復雜了，不如變化之前簡單.這是沒有把握好圖形變換的目的才導致的，此處需要老師的耐心指導，使同學們走出圖形運動的誤區.

四、隨機變換，速解幾何圖形

幾何問題也是復雜多變的，它存在著很多的考查方式，所以老師的思維也要能夠隨機應變，幫助學生解決幾何難題，讓他們在圖形運動中快速找出合理的解題方案，讓數學學習變得更加輕松愉快.

首先要明確，中考中的幾何題并不全是那種比較規則的圖形，如等腰直角三角形、正三角形等，也存在很多的不規則的組合圖形.這時候我們使用圖形的平移、對稱和旋轉都要引起注意，使用的時候需要慎重.例如在幾何單元學習結束之后，老師就要開展一個學習專題，專門解決這些不是規則的圖形的圖形變換問題.面對同一道題目，可能既采用平移的方法，也采用對稱的方法，真正的解題套路是兩者的綜合，這些解題方式都需要老師在復習時點撥出來，避免學生在將來遇到類似問題時，不知從何下手，導致解題失敗.這是一種數學思維的訓練，使學生跳出平移、旋轉、對稱這三個藩籬的禁錮，使他們學會靈活變通，綜合使用，將幾何問題的本質看清看透.只有擁有這樣的圖形運動的覺悟，才能夠更好地面對中考中出現的各類問題，在考試中取得佳績.

隨機變換這一點最為重要，學會了前面三種分析圖形問題的手段并不能夠解決所有的幾何難題.為了更加快速地解題，需要將這些手段綜合起來，這才是圖形運動在解答幾何題中的真諦.

總之，圖形運動是一種數學解題的思想，其目的是為了學生能夠找到更好的學習方法，老師在平時教學中要時刻注意這些思維方法的訓練.使學生既能夠單獨使用平移、對稱、旋轉這些圖形變換手段，也能夠綜合利用，其目的都是達到數學解題的高效性，讓數學的學習更加輕松.