給好友一封關(guān)于兒童數(shù)學(xué)啟蒙的信

關(guān)勇

親愛(ài)的小北：

你上次來(lái)信說(shuō)我教小學(xué)數(shù)學(xué)超過(guò)三十個(gè)年頭了，一定有不少經(jīng)驗(yàn)，可否談?wù)勅绾螌?duì)孩子進(jìn)行數(shù)學(xué)啟蒙，你家的寶寶三歲了。我最近都在想如何負(fù)責(zé)任地跟你談這個(gè)問(wèn)題，我想我要分以下四點(diǎn)來(lái)談。

一、數(shù)學(xué)啟蒙不當(dāng)危害大

現(xiàn)在的家長(zhǎng)普遍重視孩子的學(xué)前教育，大多數(shù)的學(xué)齡前兒童，已經(jīng)能夠計(jì)算20以內(nèi)的加減法，有的甚至?xí)?jì)算100以內(nèi)的加減法、會(huì)背誦乘法口訣。但是，當(dāng)兒童成為學(xué)生之后，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的學(xué)習(xí)，提前起步的優(yōu)勢(shì)并不明顯，有的甚至還不如沒(méi)有提前學(xué)習(xí)的孩子。究其原因，啟蒙不當(dāng)：家長(zhǎng)只重結(jié)果，不問(wèn)過(guò)程。用句行話來(lái)說(shuō)，就是孩子的“數(shù)學(xué)化”進(jìn)程不通暢，或者說(shuō)是“數(shù)學(xué)化”進(jìn)程受阻。

著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)化就是“把生活世界引向符號(hào)世界” ，進(jìn)而“在符號(hào)世界里，符號(hào)的生成、重塑和被使用”。適時(shí)的、科學(xué)的數(shù)學(xué)啟蒙，就是讓兒童在生活情境中體驗(yàn)，逐步由“量”抽象出“數(shù)”，建立數(shù)量關(guān)系，實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)化”。

二、數(shù)學(xué)啟蒙從“客體永久性”開(kāi)始

孩子一出生，就開(kāi)始接觸外部世界，但嬰兒還不具備“客體永久性”，消失就是不存在。對(duì)6個(gè)月以內(nèi)的大部分孩子來(lái)說(shuō)，看不見(jiàn)就是不存在。比如媽媽把一塊大毛巾遮擋在臉上，孩子就會(huì)哭；又比如，用一塊布將玩具遮住，孩子不會(huì)主動(dòng)去揭開(kāi)這塊布去尋找玩具。對(duì)6個(gè)月以上一周歲以內(nèi)的孩子來(lái)說(shuō)，漸漸地開(kāi)始，即使物體不在眼前或者通過(guò)其他感覺(jué)器官感覺(jué)不到，孩子仍然知道物體是繼續(xù)存在的，會(huì)主動(dòng)伸手去揭開(kāi)遮擋物，漸漸學(xué)會(huì)捉迷藏的游戲了。18個(gè)月以上的孩子，對(duì)不在眼前的東西開(kāi)始有心理表征。

從18個(gè)月開(kāi)始到2周歲左右，大部分孩子具備了“客體永久性”。有時(shí)媽媽不直接在孩子的眼前，孩子能夠知道媽媽在家里某個(gè)位置，會(huì)時(shí)不時(shí)喊一聲或過(guò)去看一眼，以確認(rèn)媽媽的存在。

兒童具備了“客體永久性”，就確信了物體的存在，會(huì)更加注意物體的一些特征，比如長(zhǎng)短、大小、多少、輕重、快慢等，這些特征就是量。當(dāng)兒童具備了“客體永久性”，開(kāi)始數(shù)學(xué)啟蒙是一個(gè)適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)。在這之前，任何形式的數(shù)學(xué)啟蒙只會(huì)事倍功半、拔苗助長(zhǎng)。

三、數(shù)學(xué)啟蒙在“玩動(dòng)”中進(jìn)行

數(shù)學(xué)啟蒙不是簡(jiǎn)單的讓兒童數(shù)數(shù)、做1+1=2和背乘法口訣，而是讓兒童在“玩動(dòng)”的過(guò)程中，感受量的多少、數(shù)的大小，使孩子在進(jìn)入小學(xué)后，順利的“數(shù)學(xué)化”，即從生活世界進(jìn)入數(shù)學(xué)的符號(hào)世界。

1. 量的可比性

量的可比性是指同類(lèi)量之間可以進(jìn)行比較。通過(guò)比較，人們能作出某量較多，某量較少或某些量同樣多的判斷。很小的孩子在挑選物品時(shí)，如果包裝、顏色等方面的因素相同的情況下，一般會(huì)選擇多的、大的。這無(wú)關(guān)人之初性本善還是性本惡的討論，而關(guān)乎：孩子的這種能力是先天的還是后天的？是一種什么能力？這種能力就是人類(lèi)先天具備的“量感”。許多動(dòng)物也具備這種“量感”，比如鳥(niǎo)，窩里的蛋少了，就能察覺(jué)。“量感”是人們認(rèn)識(shí)量的可比性的先決條件，毫不夸張地說(shuō)，沒(méi)有“量感”就不能認(rèn)識(shí)量的可比性，沒(méi)有量的可比性，就不能建立數(shù)概念，也就沒(méi)有數(shù)學(xué)。

對(duì)人類(lèi)先天的“量感”，家長(zhǎng)的任務(wù)就是刺激、喚醒。數(shù)學(xué)啟蒙第一件事就是刺激、喚醒兒童的“量感”，讓孩子更多地去體驗(yàn)和表達(dá)。

家長(zhǎng)把長(zhǎng)短不一的兩根小棒呈現(xiàn)在兒童面前，讓兒童取出長(zhǎng)的一根，操作正確給予表?yè)P(yáng)，并指出剩下的一根是短的；也可以讓兒童取出短的一根，操作正確給予表?yè)P(yáng)，并指出剩下的一根是長(zhǎng)的。進(jìn)一步可以把更多的小棒呈現(xiàn)在兒童面前，要求兒童取出最長(zhǎng)的和最短的一根，并在剩下的木棒中繼續(xù)取出最長(zhǎng)的和最短的。適當(dāng)?shù)臅r(shí)候可以要求兒童找出同樣長(zhǎng)的兩根小棒。也可由孩子發(fā)指令，家長(zhǎng)按指令操作，訓(xùn)練孩子的語(yǔ)言表達(dá)。

除了語(yǔ)言表達(dá)，還可以訓(xùn)練圖畫(huà)表達(dá)。家長(zhǎng)畫(huà)一根小棒，讓孩子畫(huà)出更長(zhǎng)的一根或更短的一根；家長(zhǎng)畫(huà)一個(gè)圓圈，讓孩子畫(huà)出更大的圓圈或更小的圓圈。

以上活動(dòng)也可以改用大小不同的硬幣或棋子進(jìn)行，比比誰(shuí)疊得高。對(duì)大一些的孩子還可以去體悟時(shí)間的長(zhǎng)短，如“木頭人”的游戲，家長(zhǎng)和孩子一起念念有詞：“轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，我們都是木頭人，不許說(shuō)話不許動(dòng)”，然后擺個(gè)姿勢(shì)就不動(dòng)了，誰(shuí)能堅(jiān)持住到最后誰(shuí)就是勝者，并請(qǐng)裁判宣布獲勝者的時(shí)間。

“配對(duì)”活動(dòng)是建立“多”、“少”、“同樣多”概念活動(dòng)最為有效的方法。讓兒童學(xué)會(huì)用“……比……多”、“……比……長(zhǎng)”、 “……比……圓”、 “……比……重”的句式表達(dá)。如乘車(chē)時(shí)，可以向兒童提問(wèn)：是人比座位多，還是座位比人多，當(dāng)有座位空時(shí)，座位多，人少；當(dāng)有人站著無(wú)座位空時(shí)，人多，座位少；當(dāng)每個(gè)人都有座而且無(wú)座位空時(shí)，人與座位同樣多，這是生活情境。

家長(zhǎng)也可以創(chuàng)設(shè)操作情境，如讓兒童把茶杯蓋上杯蓋，然后比較茶杯與杯蓋的多少。還可以做“搶椅子”的游戲，讓兒童體悟到游戲中人始終比椅子多。正因?yàn)槿硕嘁巫由俨庞袚屢巫拥男枰?/p>

當(dāng)兒童有了初步的“多”、“少”、“同樣多”的概念后，可以讓兒童把一些物體按大小次序排列起來(lái)，或者把長(zhǎng)短不一的小棒按長(zhǎng)短次序排列起來(lái)，以加深對(duì)量的可比性的理解。

通過(guò)多種形式的玩動(dòng)，讓兒童逐步形成長(zhǎng)、短、同樣長(zhǎng)的概念，并知道長(zhǎng)、短的相對(duì)意義，使兒童的“量感”在生活情境中得到體驗(yàn)和表達(dá)。

2. 量的守恒性與可分性

建立了“多”、“少”、“同樣多”的概念后，認(rèn)識(shí)量的守恒性才有可能。所謂量的守恒性，即量的多少不因空間或時(shí)間的改變而改變，也不因形態(tài)、顏色的改變而改變。把下圖里的蘋(píng)果當(dāng)著兒童的面分散排列成右圖，如果孩子認(rèn)為蘋(píng)果變多了，說(shuō)明該孩子還不具備量的守恒，但切不可直接告訴孩子變化前后是同樣多的。

家長(zhǎng)可以先讓孩子觀察數(shù)量較少的物體，如把一雙筷子分開(kāi)放，看有沒(méi)有變多或變少，橫著放是否比豎著放長(zhǎng)一些。然后逐步增加物體的數(shù)量并改變物體的形態(tài)讓兒童判斷。如一把筷子捆在一起，然后散開(kāi)，比較前后兩次是否同樣多。這種訓(xùn)練要經(jīng)常變換形式做，并結(jié)合下面將要談的量的可分性進(jìn)行。

量的可分性，是指一個(gè)量作為整體可以分為若干個(gè)部分，其中每部分都小于整體，各部分合起來(lái)還是這個(gè)整體。比如，我們可以把一塊巧克力糖分成3塊吃，也可以把一塊巧克力糖分成更多的塊數(shù)。但不管怎樣分，任何一小塊總比原來(lái)的巧克力小。如果我們把分開(kāi)的巧克力糖合起來(lái)，還是原來(lái)的一塊，又重新回到了量的守恒性。

兒童認(rèn)識(shí)并熟悉量的守恒性和可分性，應(yīng)當(dāng)在學(xué)齡前完成，為兒童入學(xué)后建立數(shù)概念作必要的準(zhǔn)備。這個(gè)準(zhǔn)備如果不充分，兒童對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)只能是表面的、形式的和計(jì)算的。

四、數(shù)學(xué)啟蒙在“數(shù)” 概念形成后完成

數(shù)學(xué)啟蒙還將延續(xù)到兒童入學(xué)以后。數(shù)概念的形成是一個(gè)抽象概括的過(guò)程，一般在兒童入學(xué)后完成。例如“2”這個(gè)數(shù)就是從2個(gè)人、2張桌子等凡是代表2個(gè)物體的許許多多具體實(shí)物中抽象出來(lái)的概念，它是精確的、抽象的量。要學(xué)生掌握理解并不是一件容易的事。縱觀人類(lèi)數(shù)概念的形成歷史，早期的數(shù)概念是極端具體的。如英國(guó)有一個(gè)民族的語(yǔ)言，有好幾種不同的數(shù)字：一種用于走獸和扁平的物體，一種用于時(shí)間和圓形的物體；一種是用于來(lái)數(shù)人的；一種是用于樹(shù)木和長(zhǎng)形物體的等。不知過(guò)了多少年，人們才發(fā)現(xiàn)了對(duì)飛鳥(niǎo)和兩天同是數(shù)“2”的例子。可見(jiàn)，具體的東西總是在抽象的東西之先。我們至今也保持著這種具體的數(shù)。如“5”用“一只手”表示。兒童數(shù)概念的形成過(guò)程只不過(guò)是人類(lèi)數(shù)概念建立過(guò)程的一個(gè)縮影，這是不可違背的規(guī)律。

兒童對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)是建立在數(shù)表象基礎(chǔ)上的。根據(jù)學(xué)生思維的特點(diǎn)，我們應(yīng)找到一個(gè)物化了的數(shù)表象，如5個(gè)人、5個(gè)玩具、一只手5個(gè)指頭，這三個(gè)集合的基數(shù)都是5。這種集合為“一般等價(jià)集合”，它的基數(shù)，就反映了量的基本屬性，而去除了那些與量的基本屬性無(wú)關(guān)的物理的、化學(xué)的、生命的形式。可以選擇一般等價(jià)集中一個(gè)集合作為代表，來(lái)指明這一類(lèi)集合的元素個(gè)數(shù)。許多民族都用“一只手”來(lái)表示5 。學(xué)生的板指計(jì)數(shù)，就是找到了一個(gè)物化了的數(shù)表象。把要數(shù)的物體與手指“配對(duì)”。如果物體正好能與五指對(duì)應(yīng)，這些物體的個(gè)數(shù)就用5來(lái)表示。若手指不夠與物體對(duì)應(yīng)，則說(shuō)物體的個(gè)數(shù)比5多，若有手指空出而沒(méi)有物體與之對(duì)應(yīng)，則說(shuō)物體的個(gè)數(shù)比5少。

這些訓(xùn)練當(dāng)然也讓兒童在“玩動(dòng)”中進(jìn)行。如，畫(huà)數(shù)字長(zhǎng)條，讓孩子沿著長(zhǎng)條踩、跳，喜歡文靜一點(diǎn)的孩子也可以擲骰子玩跳棋。還可以進(jìn)行角色扮演，如小小售貨員，商品上貼上標(biāo)價(jià)（簡(jiǎn)單的1元、2元），售貨時(shí)比對(duì)標(biāo)價(jià)，點(diǎn)數(shù)硬幣的個(gè)數(shù)。

通過(guò)計(jì)數(shù)的訓(xùn)練，對(duì)自然數(shù)一、二、三……的表象，即符號(hào)1、2、3……就不會(huì)感到是一個(gè)空洞無(wú)物的，而是一個(gè)有豐富內(nèi)容的音形義集于一體的數(shù)詞。

在形成數(shù)表象的同時(shí)，量的基本性質(zhì)映射到數(shù)概念中來(lái)。量的可比性，從3只蘋(píng)果比2只蘋(píng)果多，變換為3比2大，實(shí)現(xiàn)了數(shù)的可比性，造成了數(shù)的群體結(jié)構(gòu)，即數(shù)有大小順序。

當(dāng)兒童建立了正確的數(shù)概念后，數(shù)學(xué)啟蒙就算完成了。

如此大談一通，不知道對(duì)你有無(wú)幫助。

祝春安！

您的朋友 老庸

（作者單位：江蘇南通市崇川學(xué)校）

責(zé)任編輯 李 淳