《圓的面積》學(xué)習(xí)工具制作綜述

王景濤

特色與亮點(diǎn)

《圓的面積》學(xué)習(xí)工具用Flash CS 5.5制作而成，通過(guò)AS 3.0腳本語(yǔ)言設(shè)計(jì)了交互性動(dòng)畫。該作品采用模塊化設(shè)計(jì)，每個(gè)模塊就是一個(gè)小插件，學(xué)生既可以按照菜單提示進(jìn)行系統(tǒng)學(xué)習(xí)，也可以選擇其一進(jìn)行有針對(duì)性的探究。本學(xué)習(xí)工具結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，遵循小學(xué)生從直觀到抽象、從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律，將深刻的轉(zhuǎn)化和極限思想蘊(yùn)含其中，使學(xué)生能自主地在“問(wèn)題空間”或“求知空間”里動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)、體驗(yàn)和建構(gòu)知識(shí)，最終提高創(chuàng)新意識(shí)和解決問(wèn)題的能力。

制作背景

從某種意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)的思想方法就是數(shù)學(xué)的本質(zhì)。教師教數(shù)學(xué)，到底教什么？學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)，到底學(xué)什么？只有抓住了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)，才能真正激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，才能提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。基于這一思考，幾年來(lái)我用數(shù)字化學(xué)習(xí)工具進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，用動(dòng)畫教學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法，數(shù)學(xué)思想就像一粒粒種子悄悄播撒在學(xué)生的心田。《圓的面積》就是我用數(shù)字化學(xué)習(xí)工具教學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的又一次探索。

學(xué)情分析

數(shù)學(xué)知識(shí)之間都有內(nèi)在的聯(lián)系，這種聯(lián)系形成了特殊的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。教師在進(jìn)行相應(yīng)的內(nèi)容教學(xué)時(shí)，既要考慮這部分內(nèi)容的知識(shí)基礎(chǔ)，又要考慮這部分內(nèi)容是如何為將來(lái)的學(xué)習(xí)搭建階梯的。圓的面積，是小學(xué)生第一次學(xué)習(xí)的曲線圖形面積，曲線圖形面積與線段圍成的圖形面積之間的聯(lián)系是本課學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。

設(shè)計(jì)之初，我調(diào)研了學(xué)校已經(jīng)學(xué)完本部分內(nèi)容的班級(jí)，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生只是記住了圓面積計(jì)算的公式，而沒(méi)有真正理解其中的數(shù)量關(guān)系。目前教材上圓的面積推導(dǎo)過(guò)程十分抽象，學(xué)生對(duì)圓的面積與其他平面圖形的面積計(jì)算公式之間的關(guān)系沒(méi)有系統(tǒng)的把握。因此，我決定借助學(xué)習(xí)工具突破學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，借助數(shù)形結(jié)合和推理，打通數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，讓學(xué)生通過(guò)“做中學(xué)”獲得基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

設(shè)計(jì)思路和內(nèi)容結(jié)構(gòu)

導(dǎo)航菜單包括八個(gè)模塊。從課堂教學(xué)流程的角度看，情境導(dǎo)入部分包括“學(xué)習(xí)目標(biāo)”和“導(dǎo)入”兩個(gè)模塊，自主探究部分包括“探究1”

“探究2”“探究3”和“探究4”四個(gè)模塊，解決問(wèn)題部分包括“例題”和“練習(xí)”兩個(gè)模塊。探究部分是學(xué)習(xí)工具的核心。

1.學(xué)習(xí)目標(biāo)

該模塊主要是出示學(xué)習(xí)目標(biāo)：①通過(guò)動(dòng)手操作、動(dòng)畫演示，探索、推導(dǎo)圓的面積公式;②能夠運(yùn)用圓的面積公式正確地計(jì)算圓和環(huán)形的面積;③體驗(yàn)和感悟轉(zhuǎn)化和極限思想。

該目標(biāo)的設(shè)定體現(xiàn)了學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體。以學(xué)習(xí)目標(biāo)為導(dǎo)航，借助學(xué)習(xí)工具，我的課堂教學(xué)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)是這樣的：①動(dòng)手操作，能夠用自己的語(yǔ)言表述圓與“轉(zhuǎn)化”圖形之間的關(guān)系;②能夠動(dòng)手操作將圓割補(bǔ)拼接成學(xué)過(guò)的一種圖形（如長(zhǎng)方形、三角形、平行四邊形等）;③能夠自主設(shè)計(jì)一個(gè)環(huán)形;④借助計(jì)算器，正確計(jì)算涂色部分的面積，至少能夠選擇2個(gè)圖形并給出正確解答。

2.引入

該模塊主要是情境引入，創(chuàng)設(shè)情境以引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。點(diǎn)擊“牛”，動(dòng)畫演示“牛吃草”的范圍（如圖1），啟發(fā)學(xué)生思考：要想知道牛吃草的范圍大小，就需要求圓的面積。學(xué)生觀察動(dòng)畫，感悟圓的面積大小與繩子（半徑）的長(zhǎng)短有關(guān)。

3.探究1

該模塊的設(shè)計(jì)主要是讓學(xué)生感悟“化曲為直”的數(shù)學(xué)思想。拖動(dòng)滑塊，控制正多邊形的邊數(shù)，動(dòng)態(tài)顯示圓內(nèi)接、圓外接正多邊形，建構(gòu)“正多邊形和圓的關(guān)系”這一直觀模型。學(xué)生觀察后發(fā)現(xiàn)，在圓的內(nèi)部畫正多邊形，當(dāng)正多邊形的邊數(shù)足夠多的時(shí)候，正多邊形的面積就越接近圓的面積;在圓的外部畫正多邊形，當(dāng)正多邊形的邊數(shù)無(wú)限多時(shí)，正多邊形的面積就是圓的面積（如圖2）。當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)正多邊形的邊最終和圓周曲線吻合時(shí)，就能深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)中的極限思想，這種轉(zhuǎn)化的方法叫做“化曲為直”。

4.探究2

該模塊主要是動(dòng)手拼接圖形，感悟“轉(zhuǎn)化”方法。把圓平均分成16份，借助鼠標(biāo)操作，拖動(dòng)小扇形進(jìn)行平移，轉(zhuǎn)動(dòng)鼠標(biāo)滾輪進(jìn)行旋轉(zhuǎn)（如圖3）。課堂上，學(xué)生拼出了平行四邊形、三角形、梯形等不同的圖形，從而在推導(dǎo)圓的面積公式方面呈現(xiàn)出個(gè)性化思考。拼接圖形之后，我在課堂上讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)，所拼圖形的底和圓周長(zhǎng)的關(guān)系，所拼圖形的高與圓半徑的關(guān)系。

5.探究3

該模塊主要是讓學(xué)生感悟“化圓為方”的數(shù)學(xué)思想。如果把圓平均分成32份、64份、128份、360份，甚至更多呢？學(xué)生通過(guò)拖動(dòng)滑塊，動(dòng)態(tài)改變平均分成小扇形的份數(shù)，觀察拼成的圖形（如圖4）。通過(guò)“化圓為方”構(gòu)建“圓的面積和長(zhǎng)方形的面積關(guān)系”這一直觀模型。當(dāng)學(xué)生將一個(gè)圓平均分成幾百份，再拼接成一個(gè)長(zhǎng)方形時(shí)，無(wú)不流露出驚異的神情。這種由靜態(tài)變動(dòng)態(tài)、數(shù)形結(jié)合的動(dòng)畫設(shè)計(jì)，給了學(xué)生更多的想象空間。

6.探究4

該模塊主要是讓學(xué)生動(dòng)手操作，設(shè)計(jì)環(huán)形。學(xué)生用顏色選擇器選擇顏色，用滑塊改變圓的半徑，單擊方格區(qū)域確定圓的位置，就能設(shè)計(jì)出大小不同、顏色各異的圓形，單擊“清除圖形”按鈕可以重新設(shè)計(jì)（如圖5）。學(xué)生在動(dòng)手操作的基礎(chǔ)上討論環(huán)形面積，充分體驗(yàn)到圓是一種完美的圖形，環(huán)形也是一種完美圖形。學(xué)生的創(chuàng)造性得到了很好的發(fā)揮，他們?cè)O(shè)計(jì)出不同形狀的圓形組合圖案，加深了對(duì)圓的知識(shí)的理解。

7.例題

該模塊是在前面探究圓的面積公式的基礎(chǔ)上，解決相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。第一個(gè)例題是解決“牛吃草”的問(wèn)題，回饋引入部分。第二個(gè)是教材中的例題，問(wèn)題可由學(xué)生提出并解決。學(xué)生將解答的過(guò)程填入文本框中，如果填寫錯(cuò)誤，程序?qū)⒉挥柰ㄟ^(guò)（如圖6）。

8.練習(xí)

該模塊有幾個(gè)組合圖形，要求學(xué)生計(jì)算陰影部分的面積。學(xué)生先進(jìn)行列式計(jì)算，按“Ctrl”鍵打開計(jì)算器輔助運(yùn)算（空格鍵關(guān)閉計(jì)算器），如果答案正確，將顯示“√”（如圖7）。

反思與評(píng)價(jià)

圓的面積計(jì)算公式是小學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要模型，是直線圖形向曲線圖形轉(zhuǎn)換的質(zhì)的飛躍。基于課程標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)教學(xué)，突破難點(diǎn)的切入點(diǎn)就是“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想。運(yùn)用Flash動(dòng)畫將“數(shù)”與“形”緊密結(jié)合起來(lái)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作建立直觀模型，能夠很好地引導(dǎo)學(xué)生開展自主探究。

首先，建構(gòu)直觀模型，表達(dá)數(shù)學(xué)思想。將數(shù)學(xué)的抽象概念和推導(dǎo)過(guò)程變?yōu)閷W(xué)生容易理解和接受的直觀模型。學(xué)生通過(guò)拖動(dòng)學(xué)件中的滑塊，即時(shí)動(dòng)態(tài)地展現(xiàn)變化的結(jié)果，既激發(fā)了學(xué)生的思維及學(xué)習(xí)熱情，又使他們感悟和體驗(yàn)了“化曲為直”和“化圓為方”的轉(zhuǎn)化思想和極限思想。

其次，提供探究工具，激發(fā)創(chuàng)新思維。通過(guò)模擬數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方式，學(xué)生能夠?qū)A自主拼接成梯形、平行四邊形、三角形等多種圖形探索圓和直線圖形的面積關(guān)系，既克服了傳統(tǒng)教學(xué)中拼剪圖形的繁瑣和種種限制，更為學(xué)生的個(gè)性化學(xué)習(xí)提供了廣闊的創(chuàng)新思維空間。而自主設(shè)計(jì)環(huán)形圖案，則讓學(xué)生學(xué)會(huì)了欣賞美和創(chuàng)造美。

最后，注重練習(xí)反饋，提高學(xué)習(xí)效果。在“練習(xí)”環(huán)節(jié)，要求學(xué)生計(jì)算涂色部分的面積，學(xué)生的解答過(guò)程被記錄在文本框中，計(jì)算機(jī)會(huì)根據(jù)輸入情況即時(shí)給出反饋。

幕前幕后

2015年的南昌之行，評(píng)委老師對(duì)我的作品所建構(gòu)的直觀模型給予了高度評(píng)價(jià)并留下我的電話進(jìn)一步交流，我的心情非常激動(dòng)。兩年前第一次參加NOC活動(dòng)的情景又浮現(xiàn)在眼前：答辯的那天早上，突發(fā)靈感構(gòu)建了一個(gè)面積函數(shù)的直觀模型，答辯時(shí)獲得了評(píng)委老師的鼓勵(lì)和觀眾的掌聲，當(dāng)時(shí)興奮之情無(wú)以言表。從那時(shí)起，我開啟了用Flash動(dòng)畫進(jìn)行教學(xué)的探索之路。2014年，我的NOC作品《筆算乘法》因良好的即時(shí)反饋效果，解決了老師不能及時(shí)批閱作業(yè)的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，有幸榮獲一等獎(jiǎng)。接下來(lái)的一年時(shí)間，我滿懷激情利用業(yè)余時(shí)間編寫了70多個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)工具，把每個(gè)案例匯集起來(lái)寫成了一本書，2015年十月正式出版。夜深人靜的時(shí)候，我為在鍵盤上敲下的一行行代碼化為精彩的作品而興奮，也為苦思冥想不得結(jié)果而彷徨;課堂上，我為學(xué)生借助動(dòng)畫學(xué)得趣味盎然而欣慰，也為技術(shù)改變教學(xué)而激情滿懷。我的成長(zhǎng)也在影響著學(xué)校里一批志同道合的老師，他們一直在推動(dòng)信息技術(shù)與創(chuàng)新實(shí)踐活動(dòng)，如今已有數(shù)十名師生在NOC活動(dòng)的各賽項(xiàng)中獲獎(jiǎng)。

NOC活動(dòng)點(diǎn)燃了我的創(chuàng)造熱情，喚醒了我內(nèi)在的尊嚴(yán)和歡樂(lè)！我感覺(jué)課堂上用動(dòng)畫能夠教學(xué)生“真正的數(shù)學(xué)”，這是一條“輕負(fù)擔(dān)、高效率”的課改之路。與NOC相識(shí)、相知、相伴的日子里，我成長(zhǎng)，我幸福！

評(píng)委印象

《圓的面積》學(xué)習(xí)工具用于五四學(xué)制小學(xué)五年級(jí)翻轉(zhuǎn)課堂，淄博市的翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)實(shí)驗(yàn)開展的深度與推廣力度都非常大，從這個(gè)工具可見一斑。

王老師設(shè)定的目標(biāo)分別是：探索推導(dǎo)圓的面積公式、能使用圓的面積公式正確計(jì)算圓和環(huán)的面積及初步了解極限思想。

目標(biāo)1是重點(diǎn)。王老師設(shè)計(jì)了兩個(gè)直觀模型和兩個(gè)動(dòng)手探究（如圖1、圖2）。直觀模型分別是化曲為直、化圓為方。其操作比較簡(jiǎn)單，拖動(dòng)游標(biāo)即可觀察到隨著N的變化圖形越來(lái)越接近圓形（矩形）。

兩個(gè)動(dòng)手探究則具有很大的靈活性，理想的課堂中，教師對(duì)學(xué)生拼圖的期望是這樣的（如下頁(yè)圖3、圖4）。

我為此專門詢問(wèn)了王老師，如果出現(xiàn)這種情況如何處理。王老師認(rèn)為翻轉(zhuǎn)課堂需要鼓勵(lì)學(xué)生的發(fā)散思維并承擔(dān)其后果，在圖5中，學(xué)生能總結(jié)出圓面積公式，在圖6中，雖然也能使用環(huán)形面積公式計(jì)算面積，但需要引導(dǎo)學(xué)生溫習(xí)環(huán)形的定義。我非常同意這種觀點(diǎn)。

在翻轉(zhuǎn)課堂的練習(xí)部分，王老師設(shè)計(jì)了檢驗(yàn)學(xué)生學(xué)習(xí)情況的練習(xí)題，填對(duì)正確答案會(huì)出現(xiàn)做對(duì)的提示（如圖7）。這也是課程的亮點(diǎn)之一。

總的來(lái)說(shuō)，王老師以非常不錯(cuò)的編程技術(shù)實(shí)現(xiàn)了適用于翻轉(zhuǎn)課堂的學(xué)習(xí)工具的開發(fā)，作為教學(xué)一線的教師，我認(rèn)為這已經(jīng)達(dá)到了他編程能力的極限。但工具設(shè)計(jì)中也有明顯的不合理的地方，如練習(xí)中“+、-、×、÷”等符號(hào)的輸入，探究中以鼠標(biāo)滾輪旋轉(zhuǎn)圖片不夠方便（各圖片旋轉(zhuǎn)中心也不一致），王老師也在實(shí)際使用中覺(jué)察到這些缺陷并反思要改正，甚至想開發(fā)存儲(chǔ)功能，保存學(xué)生自我拼接的圖形，以實(shí)現(xiàn)教學(xué)的積累。然而，對(duì)于一名一線教師來(lái)說(shuō)，改進(jìn)這些缺陷所要花費(fèi)的成本很大，而教學(xué)工具帶來(lái)的提升卻很小，所以這明顯不合算。我個(gè)人的看法是專業(yè)編程人員應(yīng)該介入學(xué)習(xí)工具的開發(fā)，以他們強(qiáng)大的技術(shù)能力以低成本的方式解決一線教師的需求，這樣才能更好地尋找數(shù)字化學(xué)習(xí)工具的新的增長(zhǎng)點(diǎn)。

（田崗 ?NOC活動(dòng)評(píng)委）