幾何證明題學習方法指導

馬春燕

摘要：在幾何證明教學中，教師對學生學習方法的指導和訓練是十分重要的，可以通過讀題、分析、看圖、總結四個方面讓學生在主動獲得知識的過程中，學會有關數學思想方法和解題技巧，形成良好的思維習慣，最終達到能獨立分析、解答問題的目的。

關鍵詞：幾何;分析方法;總結技巧

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1992-7711（2016）04-091-2

平面幾何是初中生普遍認為難學，任課教師認為難教的一個知識點。之所以難，是因為從代數到幾何發生了由數到形、由計算到推理的轉變，學生一時難以適應;其次，概念、性質、定理比較多，而學生不能正確理解并掌握其幾何語言;進而，遇到問題不會分析，予以解答。

眾所周知，幾何的證明就是要用合理的推斷來說明因果關系的正確性，從而培養學生的邏輯思維能力。在幾何證明教學中，教師對學生學習方法的指導和訓練十分重要，要讓學生在主動獲得知識的過程中，學會有關數學思想方法和解題技巧，形成良好的思維習慣，最終達到能獨立分析、解答問題的目的。通過實踐教學反饋總結，我認為對幾何證明學習方法的指導有以下四個方面：

一、學會讀題

第一，很多學生在把一個題目讀完后，還沒有弄清楚題目講的是什么意思，就開始動筆書寫，這是不可取的，往往寫下來也是不得分的。我們應該邊讀邊想，給的條件有什么用，再對照圖形來對號入座;思考所求結論從什么地方入手，也應在圖中找到相應位置。

第二，在讀題的時候每個條件要在所給的圖形中標記出來。相等的邊或角用相同的符號來表示;倍數關系的邊或角用同類型的相應倍數來表示。

第三，圖形復雜一點的題目往往有一些隱藏條件，我們讀題時也要能挖掘出來。這就需要注重平時的積累，對基本知識點的掌握，對特殊圖形的認識。有些是由已知條件所能直接得出的結論，也應標注在圖形旁邊，結合證明內容看需要用哪些。

二、學會分析

證明題的分析無非三種方法：第一，正向思維。對于一般簡單的題目，從已知條件出發，通過有關定義、定理、性質的應用，逐步推導，證出結論。第二，逆向思維。從命題的結論考慮，逆推使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結論繼續往前倒推，直到已知條件。這種方法能使學生從不同角度，不同方向思考問題，探索解題方法，拓寬解題思路。第三，正逆結合。從題目要你證明的結論出發往回推理，然后再考慮用這種方法證明還缺少哪些條件，以利于縮短條件與結論的距離，最后達到證明的目的。

三、學會看圖

所謂看圖，是指觀察，分析和認識幾何圖形。通過看圖，不僅找到圖形中的已知條件和證明內容，還要知曉幾何圖形的內在構成和聯系，從而達到解一題通一類的效果。激發了學生的解題興趣，迸發出創新思維。

初中數學幾何板塊的模型思想非常突出，如果學生把每一道幾何題目的基本構架“理”清楚，也就是幾何圖形的本質“看”透徹，那么學習將會事半功倍。復雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復雜圖形分解成基本圖形。有時還需要構造基本圖形，添加輔助線，把大問題細化成幾個小問題，逐一擊破，從而解決問題。

例如：蘇科版數學用書初二下冊學習四邊形的時候，有這樣一個問題：在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8，

（1）將矩形紙片沿BD折疊，使點A落在點E處（如圖①），設DE和BC相交于點F，試說明△BDF為等腰三角形，并求BF的長;

（2）將矩形紙片折疊，使B與D重合（如圖②）求折痕GH的長。

這道題目中，問題（1）由平行線加角平分線就能得等腰三角形。對于BF的長度的求解，借助于方程思想，設BF=x，利用“角落里的小勾”來完成，得x2=（8-x）2+62，解方程即可，在這里就不贅述了。

問題（2）中，同是翻折，但折痕不一樣，得到的翻折圖形自然不一樣，但兩張圖形在結構模型上是完全一致的，都包含了全等圖形和直角三角形，看透這一點，解題就會容易許多。和圖（1）一樣，利用“角落里的小勾”很快求出BH、CH=AG=GF。接下來思考GH的求法，想法一：放入直角三角形求GH，那么就要添輔助線GM⊥BC于點M，這樣，只要求出BM，就能得MH，放在Rt△GMH中，利用勾股定理求出GH。所以解題關鍵轉化成求BM，而BM=AG，問題迎刃而解。想法二：GH看成四邊形GBHD的對角線，因此連接GB和BD交于點O。繼續由圖（1）的積累，容易證四邊形GBHD是菱形，對角線互相垂直平分，放于Rt△BOH中，利用勾股定理求出OH，兩倍即是GH。

因此，我們認清圖形的內在構成和聯系，看清圖形的本質，將復雜圖形解析成幾個基本圖形，很多看似困難的問題都能輕松解答。

四、學會總結

當一道幾何題證出來后，同學們會感到很高興，事實上，這對今后的學習可以帶來更大的信心。此時，如果同學們花上幾分鐘的時間，回顧總結一下自己在解題中所用的定理、性質，總結解題時的思路和方法，這將是學習的更高境界，也是自我升華的一個重要環節，今后會解的就不僅僅是這道題，而是這一類題。

例如：4.1如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點，連接AE、BE，BE⊥AE，延長AE交BC的延長線于點F.

求證：（1）AD=CF;（2）AB=BC+AD.

此題的證明較為簡單，當我們邊讀題邊把條件標注在圖形上，題目讀完，解題思路也就出來了。通過證明△ADE≌△FCE，得出AD=CF;再證△ABE≌△FBE，就能得AB=BF，從而得出AB=BC+AD.

這時，我們是成功的，自然是開心的，但仍需靜下心來，總結一下圖形特點以及解題方法，我們說，圖形中由平行線加線段的中點構成全等三角形是解題的關鍵。這樣，遇到下面這道題，你就心中有數啦。

4.2如圖，AD∥BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，且E是DC的中點，AD、BC與AB之間有何關系？請說明理由.

此題是個開放式問題，需要我們有一定的圖形積累，要有基本知識儲備。正因為對4.1的總結思考，我們遇到此題時，并不慌張。從圖形看，此圖繼續有平行線加線段的中點，和4.1結構一樣，圖形本質相同，因此，為了構成全等三角形，那么延長AE交BC延長線于點F，圖形就變成4.1，問題解決了。

做完這道題，我們對于平行線加線段的中點構成全等三角形已經足夠掌握，此時不妨從換一個角度來思考本題的另一個重點。那就是對于兩條線段之和等于第三條線段的證明方法，是將兩條中的一條線段通過全等或等角對等邊替換成與另一條在一直線上的線段，從而轉化成證兩條長線段相等的模型。

幾何學習看似困難，實際上每道題都有一定的解題方法，每一類題都有相似的解題思想。掌握證明題的一般步驟、總結解題過程中的數學思想、歸納解題的基本規律是求解幾何證明題的關鍵。