抓住本質，理解概率

劉佳

概率滲透到現代生活的方方面面.正如19世紀法國著名數學家拉普拉斯所說：“對于生活中的大部分，最重要的問題實際上只是概率問題.你可以說幾乎我們所掌握的所有知識都是不確定的，只有一小部分我們能確定地了解.甚至數學科學本身，歸納法、類推法和發現真理的首要手段都是建立在概率論的基礎之上.”

概率是對一個事件發生的可能性大小的描述.以生活實際中的概率問題為背景，初步認識概率，也為學習高中數學中的概率知識內容打下基礎.然而，正因為才初步接觸相關知識，在實際學習中同學們對這部分的內容會有不少的混淆以及錯誤，下面就這些錯誤的成因以及解決策略進行簡單的闡述.

易錯點1：對事件發生概率的理解不清晰

例1 下列事件屬于必然事件的為（ ）.

①今天下雨的可能性為99%；②太陽從東方升起；③某種彩票平均每10張中有一張中獎，小紅買了10張這種彩票，肯定有一張獲獎；④南沙群島的某一天下了一場大雨.

A. ② B. ②③

C. ②③④ D. ②④

【學生錯解】B.

【學生分析】每10張彩票有1張中獎，那么每張彩票的中獎概率就是1/10，所以10張彩票中必然有一張會中獎，所以③是正確的.

【錯因分析】必然事件是指一定會發生的事件，②中太陽從東方升起是必然事件，③中彩票的中獎概率是1/10，并不代表10張彩票中必然有一張彩票會中獎，而正確的④選項同學們較易忽視，南沙群島的某一天下了一場雨是過去已經發生了的事，所以是必然事件，這與①中的情況恰好相反，今天下雨是還未發生的事件，所以①是不確定事件.

【正解】D.

易錯點2：幾何概型的認識錯誤

例2 在一次晚會上玩飛鏢游戲，靶子設計如圖1所示，從里到外的三個圓的半徑之比為1∶2∶4，則打中陰影部分的概率為多少？

【學生錯解】P（打中陰影部分）=2-1/4=1/4.

【學生分析】

P（打中陰影部分）=陰影部分圓環的寬度/大圓半徑

【錯因分析】該題考查的內容是幾何概率模型，根據幾何概型的意義，應求出陰影部分的面積占總面積的比，要避免單純依靠公式機械計算.

【正解】P（打中陰影部分）=π2-π1/π4

易錯點3：利用樹狀圖解決問題缺乏靈活性

例3 我市舉辦了首屆“漢字聽寫大賽”，經選拔后有50名學生參加決賽，這50名學生同時聽寫50個漢字，每正確聽寫出一個漢字得1分，根據測試成績繪制出頻數分布表和頻數分布直方圖如下：

（1） 求表中a的值；

（2） 請把頻數分布直方圖補充完整；

（3） 若測試成績不低于40分為優秀，則本次測試的優秀率是多少？

（4） 第5組10名同學中，有4名男同學，現將這10名同學平均分成兩組進行對抗練習，且4名男同學每組分兩人，求小宇與小強兩名男同學能分在同一組的概率.

【正解】（1） a=50-4-8-16-10=12

（2）

（3） 優秀人數=12+10=22（人）

優秀率=22/55×100%=44%

【學生錯解】（4） 設四名同學分別為①②③④，其中①代表小宇，②代表小強，樹狀圖如下：

由樹狀圖可知，共有12種等可能情況，符合題意的情況共有2種，所以P（小宇小強共組）=2/12=1/6.

【錯因分析】這與摸球問題的區別在于，當③號和④號出現在一組時，小宇和小強也恰好是在同一組的，所以符合題意的等可能情況共有4種.

【正解】（4） 由樹狀圖可知，共有12種等可能情況，符合題意的情況共有4種，所以P（小宇小強共組）=4/12=1/3.

（作者單位：江蘇省常州外國語學校）