抓住本質(zhì)，理解概率

劉佳

概率滲透到現(xiàn)代生活的方方面面.正如19世紀(jì)法國(guó)著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯所說(shuō)：“對(duì)于生活中的大部分，最重要的問(wèn)題實(shí)際上只是概率問(wèn)題.你可以說(shuō)幾乎我們所掌握的所有知識(shí)都是不確定的，只有一小部分我們能確定地了解.甚至數(shù)學(xué)科學(xué)本身，歸納法、類(lèi)推法和發(fā)現(xiàn)真理的首要手段都是建立在概率論的基礎(chǔ)之上.”

概率是對(duì)一個(gè)事件發(fā)生的可能性大小的描述.以生活實(shí)際中的概率問(wèn)題為背景，初步認(rèn)識(shí)概率，也為學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)中的概率知識(shí)內(nèi)容打下基礎(chǔ).然而，正因?yàn)椴懦醪浇佑|相關(guān)知識(shí)，在實(shí)際學(xué)習(xí)中同學(xué)們對(duì)這部分的內(nèi)容會(huì)有不少的混淆以及錯(cuò)誤，下面就這些錯(cuò)誤的成因以及解決策略進(jìn)行簡(jiǎn)單的闡述.

易錯(cuò)點(diǎn)1：對(duì)事件發(fā)生概率的理解不清晰

例1 下列事件屬于必然事件的為（ ）.

①今天下雨的可能性為99%；②太陽(yáng)從東方升起；③某種彩票平均每10張中有一張中獎(jiǎng)，小紅買(mǎi)了10張這種彩票，肯定有一張獲獎(jiǎng)；④南沙群島的某一天下了一場(chǎng)大雨.

A. ② B. ②③

C. ②③④ D. ②④

【學(xué)生錯(cuò)解】B.

【學(xué)生分析】每10張彩票有1張中獎(jiǎng)，那么每張彩票的中獎(jiǎng)概率就是1/10，所以10張彩票中必然有一張會(huì)中獎(jiǎng)，所以③是正確的.

【錯(cuò)因分析】必然事件是指一定會(huì)發(fā)生的事件，②中太陽(yáng)從東方升起是必然事件，③中彩票的中獎(jiǎng)概率是1/10，并不代表10張彩票中必然有一張彩票會(huì)中獎(jiǎng)，而正確的④選項(xiàng)同學(xué)們較易忽視，南沙群島的某一天下了一場(chǎng)雨是過(guò)去已經(jīng)發(fā)生了的事，所以是必然事件，這與①中的情況恰好相反，今天下雨是還未發(fā)生的事件，所以①是不確定事件.

【正解】D.

易錯(cuò)點(diǎn)2：幾何概型的認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤

例2 在一次晚會(huì)上玩飛鏢游戲，靶子設(shè)計(jì)如圖1所示，從里到外的三個(gè)圓的半徑之比為1∶2∶4，則打中陰影部分的概率為多少？

【學(xué)生錯(cuò)解】P（打中陰影部分）=2-1/4=1/4.

【學(xué)生分析】

P（打中陰影部分）=陰影部分圓環(huán)的寬度/大圓半徑

【錯(cuò)因分析】該題考查的內(nèi)容是幾何概率模型，根據(jù)幾何概型的意義，應(yīng)求出陰影部分的面積占總面積的比，要避免單純依靠公式機(jī)械計(jì)算.

【正解】P（打中陰影部分）=π2-π1/π4

易錯(cuò)點(diǎn)3：利用樹(shù)狀圖解決問(wèn)題缺乏靈活性

例3 我市舉辦了首屆“漢字聽(tīng)寫(xiě)大賽”，經(jīng)選拔后有50名學(xué)生參加決賽，這50名學(xué)生同時(shí)聽(tīng)寫(xiě)50個(gè)漢字，每正確聽(tīng)寫(xiě)出一個(gè)漢字得1分，根據(jù)測(cè)試成績(jī)繪制出頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖如下：

（1） 求表中a的值；

（2） 請(qǐng)把頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整；

（3） 若測(cè)試成績(jī)不低于40分為優(yōu)秀，則本次測(cè)試的優(yōu)秀率是多少？

（4） 第5組10名同學(xué)中，有4名男同學(xué)，現(xiàn)將這10名同學(xué)平均分成兩組進(jìn)行對(duì)抗練習(xí)，且4名男同學(xué)每組分兩人，求小宇與小強(qiáng)兩名男同學(xué)能分在同一組的概率.

【正解】（1） a=50-4-8-16-10=12

（2）

（3） 優(yōu)秀人數(shù)=12+10=22（人）

優(yōu)秀率=22/55×100%=44%

【學(xué)生錯(cuò)解】（4） 設(shè)四名同學(xué)分別為①②③④，其中①代表小宇，②代表小強(qiáng)，樹(shù)狀圖如下：

由樹(shù)狀圖可知，共有12種等可能情況，符合題意的情況共有2種，所以P（小宇小強(qiáng)共組）=2/12=1/6.

【錯(cuò)因分析】這與摸球問(wèn)題的區(qū)別在于，當(dāng)③號(hào)和④號(hào)出現(xiàn)在一組時(shí)，小宇和小強(qiáng)也恰好是在同一組的，所以符合題意的等可能情況共有4種.

【正解】（4） 由樹(shù)狀圖可知，共有12種等可能情況，符合題意的情況共有4種，所以P（小宇小強(qiáng)共組）=4/12=1/3.

（作者單位：江蘇省常州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）