一道課本習(xí)題的演變與拓展

康海芯

頻數(shù)分布直方圖是初中數(shù)學(xué)的重要知識點，也是各類考試命題的熱點之一，現(xiàn)以課本中一道習(xí)題的演變與拓展為例，與同學(xué)們一起走進豐富多彩的數(shù)據(jù)世界，感受它的魅力.

【蘇科版八（上）課本第82頁第7章7.4習(xí)題1】為了調(diào)查某市噪聲污染情況，該市環(huán)保局抽樣調(diào)查了40個噪聲測量點的噪聲聲級（單位：dB），結(jié)果如下：

（1） 在噪聲最高的測量點，其噪聲聲級在哪個范圍？

（2） 噪聲聲級低于65 dB的測量點有多少個？

【解析】（1） 因為頻數(shù)分布直方圖中噪聲聲級橫軸從左到右依次增高，所以噪聲最高聲級在第5小組，其范圍為75～80 dB；

（2） 觀察頻數(shù)分布直方圖可知噪聲低于65 dB的測量點有兩組，共14個.

變式一 更換問題背景，側(cè)重考查依據(jù)頻數(shù)分布直方圖提取信息的能力

例1 某次考試中，某班級的數(shù)學(xué)成績統(tǒng)計圖如下.下列說法錯誤的是（ ）.

A. 得分在70～80分之間的人數(shù)最多

B. 該班的總?cè)藬?shù)為40

C. 得分在90～100分之間的人數(shù)最少

D. 及格（≥60分）人數(shù)是26

【分析】觀察所給的條形統(tǒng)計圖，可知圖中各個豎條表示的是不同分?jǐn)?shù)段的人數(shù)，從統(tǒng)計圖中可知得分在50～60分之間的有4人，得分在60～70分之間的有12人，得分在70～80分之間的有14人，得分在80～90分之間的有8人，得分在90～100分之間的有2人.由此可知該班的總?cè)藬?shù)為4+12+14+8+2=40（人），及格（≥60分）的有40-4=36（人），故選項D不正確.

解：選項A、B、C是正確的，選項D是錯誤的，故應(yīng)選D.

【點評】從頻數(shù)分布直方圖中提取信息時，關(guān)鍵是要正確理解直方圖中橫軸與縱軸所表示的含義，以及小長方形的高與各小組頻數(shù)之間的關(guān)系.

變式二 補充問題條件，側(cè)重考查頻數(shù)分布直方圖與頻數(shù)分布表之間相互轉(zhuǎn)換的能力

例2 某區(qū)在實施居民用水額定管理前，對居民生活用水情況進行了調(diào)查.下表是通過簡單隨機抽樣獲得的50個家庭去年月平均用水量（單位：噸），并將調(diào)查數(shù)據(jù)進行如下整理：

4.7 2.1 3.1 2.3 5.2 2.8 7.3 4.3 4.8 6.7

4.5 5.1 6.5 8.9 2.2 4.5 3.2 3.2 4.5 3.5

3.5 3.5 3.6 4.9 3.7 3.8 5.6 5.5 5.9 6.2

5.7 3.9 4.0 4.0 7.0 3.7 9.5 4.2 6.4 3.5

4.5 4.5 4.6 5.4 5.6 6.6 5.8 4.5 6.2 7.5

（1） 把上面頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖補充完整；

（2） 從直方圖中你能得到什么信息？（寫出兩條即可）

（3） 為了鼓勵節(jié)約用水，要確定月均用水量的標(biāo)準(zhǔn)，超出這個標(biāo)準(zhǔn)的部分按1.5倍價格收費，若要使60%的家庭收費不受影響，你覺得這個標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)該定為多少？為什么？

【分析】（1） 根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)可知5.0

解：（1） 填表如下：

（2） 答案不唯一：如從直方圖中可以看出：①居民月均用水量大部分在2.0至6.5之間；②居民月均用水量在3.5

（3） 頻數(shù)分布直方圖補充如下：

（3） 要使60%的家庭收費不受影響，家庭月均用水量應(yīng)該定為5噸，因為月均用水量不超過5噸的有30戶，且30/50=60%.

【點評】解答統(tǒng)計表與統(tǒng)計圖相結(jié)合的統(tǒng)計問題時，要善于將統(tǒng)計表與統(tǒng)計圖中的已有信息相互對照，進行補充.

變式三 改變設(shè)問方式，側(cè)重考查依據(jù)頻數(shù)分布直方圖進行計算與推理的能力

例3 3月28日是全國中小學(xué)生安全教育日，某學(xué)校為增強學(xué)生的安全意識，組織了全校1500名學(xué)生參加安全知識競賽，從中抽取了部分學(xué)生的成績（得分取正整數(shù)，滿分為100分）進行統(tǒng)計.請根據(jù)尚未完成的頻率分布表和頻數(shù)分布直方圖，解答下列問題：

頻率分布表

（1） 這次抽取了_______名學(xué)生的競賽成績進行統(tǒng)計，其中：m=_______，n=_______；

（2） 補全頻數(shù)分布直方圖；

（3） 若成績在70分以下（含70分）的學(xué)生為安全意識不強，有待進一步加強安全教育，則該校安全意識不強的學(xué)生約有多少人？

（4）針對學(xué)生安全意識不強的現(xiàn)象，請你向?qū)W校提出一條合理化建議.

【分析】（1） 首先依據(jù)“數(shù)據(jù)總數(shù)=頻數(shù)/頻率”計算出抽取的總?cè)藬?shù)，然后依據(jù)“頻數(shù)=頻率×數(shù)據(jù)總數(shù)”計算得出m的值，依據(jù)“頻率=頻數(shù)/數(shù)據(jù)總數(shù)”計算n的值；

（2） 依據(jù)m、n的值可以補全頻數(shù)分布直方圖；

（3） 先求出樣本中70分以下（含70分）的學(xué)生的頻率，再用樣本中的頻率來估計全校安全意識不強的學(xué)生數(shù)；

（4） 提出的建議要具體有操作性，符合題意即可.

解：（1） 200，70，0.12；

（2） 補全后的頻數(shù)分布直方圖如下圖：

（3） 1500×（0.08+0.2）=420（人）；

（4） 答案不唯一，如開設(shè)安全教育課，開展安全知識講座等.

【點評】借助“全國中小學(xué)生安全教育日”的背景考查頻數(shù)分布直方圖，將社會熱點問題與數(shù)學(xué)應(yīng)用有機地結(jié)合起來，同時又體現(xiàn)了用樣本估計總體的思想.

（作者單位：江西省贛縣江口中學(xué)）