這樣一定最省錢嗎？

劉韓

近日，聽了一節《解決問題》公開課。這是2013年人教版《數學》四年級下冊第一單元的最后一節課。課堂上，教師按照解決問題的三個步驟：閱讀與理解、分析與解答、回顧與反思有序開展，通過教師的不斷提問，層層剖析，最后通過這道例題的解答，總結出了一個解決這類問題的方法。

【片斷回放】

出示例題，理解題意，然后教師提問：那么怎樣租船可以最省錢呢？小組交流一下。

生1：我們先計算了，發現大船每個座位只要5元，而小船每個座位要6元，所以多選大船比較便宜。于是我用32除以6結果等于5余2，所以租5條大船和1條小船可以坐下。

師：這樣租船需要多少錢呢？

生1：5×30+1×24=174（元）

師：可是這樣租船好像有空位，如果沒有空位會更省錢嗎？有沒有小組的方案是沒有空位的？

生2：我把1條大船上的6個人和余下的2個人安排了2條小船，恰好坐下，沒有空位。而且我列式計算了4×30+2×24=168（元），比之前那種有空位的更便宜，所以這種方案最省錢。

師：原來沒有空位真的會更省錢。你們發現以后我們解決這類問題可以怎么做？

生3：先比較單價，多選單價便宜的船。

師：還有要補充的嗎？

生4：還要看有沒有空位，如果有空位的話，調整一下，找到一個沒有空位的方案就是最省錢的方案。

師：看來今后解決這類租船問題時，我們不光要盡可能選擇單價便宜的船，還要選擇盡可能少空位或者沒有空位的方案，這樣就能最省錢。

于是課堂進入下一個環節，開始練習，學生按照這個方法每次都能一下找到最省錢的方案。

【反思】

數學是最嚴密的學科，嚴密性也是數學的根本特點之一，那么一定要空位少或者沒有空位最省錢嗎？想要證明這個命題是錯誤的，只需要舉出一個反例即可，于是筆者想改變本題的數據試一試。“有32人去租船，大船可坐10人，每條船租金30元，小船可坐4人，每條船租金20元，怎樣租船最省錢？”按照本節課總結的經驗，最省錢的方案應該是2條大船和3條小船，計算一下：2×30+3×20=120（元）。可是如果只租3條大船，1條小船，也可以坐下，此時的總錢數是：3×30+1×20=110（元），比沒有空位更省錢。

深究其原因，其實是因為例題中只是將一條大船替換為了小船，船的總數量沒有發生變化，由于大船的總價高于小船的總價，所以相對于5條大船和1條小船來說，4條大船加2條小船的方案更省錢。而一旦數據發生變化，如果替換的數量不對等，那就要考慮替換前大船的總價和替換后小船的總價哪個更低。例如反例中，相對3條大船和1條小船的方案來說，2條大船和3條小船雖然沒有空位，但是卻使用了2條小船去替換1條大船，而2條小船的總價是高于1條大船的，因此，反而3條大船和1條小船的方案更省錢。當然，對于四年級的學生來說，他們才第一次學習怎樣租船最省錢這類問題，筆者認為本節課中沒有必要研究得這么深。

就課論課，那么本節課到底應該給學生滲透一種怎樣的方法才是最合適的呢？

首先，筆者認為要從“怎樣租船最省錢？”這個問題開始出發探討。這個問題學生在小學數學里第一次接觸到，需要解釋清楚：什么叫最省錢。按照數學的理解，應該是所有可能的方案中，所需錢數最少的一個，是一個比較完所有方案之后才能得到的結果，這也是解決此類問題最根本的思路。筆者在自己的班上親身實踐過，在審題的環節中，加深對“怎樣租船最省錢？”的理解，學生很容易形成一種認識，就是這里要“最省錢”一定是一個比較了所有方案之后得到的結果。學生有了這個認識后，思維也就開始變得嚴密，也為后面解決問題的第二個環節埋下伏筆，就是不管想出什么方案，都要思考，為什么是最省錢的，是不是和所有的方案都比較過了。

其次，三年級時，學生已經學過用列表法解決問題，本節課從教材的安排上來看，是一個在此基礎上的延伸和優化。因此，根據學生的已有經驗，可以將所有可能的方案都列舉出來，再一一計算出總錢數，然后進行比較，得出最省錢的方案。那么本節課我們重點引導學生思考的問題應該是：在那么多可能的方案中，哪些又可能是最省錢的？為什么認為這個方案會最省錢？在筆者的課堂實踐上發現，學生經過前面的鋪墊，很容易又形成一個初步思路，就是只需要把所有方案的單價都計算出來就可以得出最省錢的方案。至此，學生其實都是根據已有經驗在探討如何解決問題，而且發現已有的經驗是可以解決這個問題的。但與此同時矛盾也慢慢展開，有那么多方案，都一一算出來，再比較，太麻煩了，這樣激發了尋找新方法的需求。就是要先計算單價，多選單價低的大船，可以達到省錢的目的。

最后，有那么多方案，為什么只比較兩種就得到了最省錢的方案？這是體現本節課精髓的一個問題。要想快速得出最省錢的方案，應該先考慮單價，由于總人數是固定的，因此盡可能多選單價低的船，可以達到省錢的目的，這樣就有了例題中的第一個方案。經過筆者的課堂實踐也發現，這點學生很容易想到。但是通過計算，學生會發現矛盾又出現了。如果多選了單價低的最后卻有空位，而空位也是要付錢的，這樣就會形成一定的浪費，第二步的思考就又產生了：減少空位或者沒有空位的方案會不會最省錢？在這樣的誘導下，學生躍躍欲試的心理也變得越來越強，這樣就自然產生了方案二，經過計算，發現沒有空位花的錢更少。那只比較了這兩種方案就能得到最省錢的方案嗎？這個時候教師的作用凸顯出來，此時我們只需要用PPT列表展示出所有的方案，讓學生對比后思考這幾個問題：空位數大于等于2的方案中，方案一是不是最省錢的？為什么？在減少空位數的方案中，方案二是不是最省錢的？又為什么？學生通過小組討論，就可以回答上面幾個問題。在空位數等于2的方案中，由于方案一盡可能多選擇了單價低的大船，因此方案一的價格最低。至于空位大于2的情況，直接排除，因為余下的人選擇小船就夠了，沒有必要選大船。在沒有空位或者少空位的方案中，方案二由于是這些方案里面盡可能多的選擇了單價低的大船的方案，而且沒有空位，所以必然最省錢。也就是說我們今天雖然只列舉了兩種方案，其實是比較了所有的方案而得出的結果。

筆者認為，這樣一種思路整理下來，學生會發現，一種高級的解決問題方法的產生其實也是源于對數學基本方法的改進，而且這個基本方法是一種根本思路，即“最省錢”一定是比較過所有方案的結果，舊知遵循這個原則，新方法也是如此。采用這樣的方式教學，可以使學生在數學的學習上不至于形成知識斷層，進一步體會數學的學習是一種螺旋式的上升和波浪式的前進，每一層的學習其實都是源于前一個階段的理論，知識與知識之間緊密連接，不是跳躍而上的。而且基于這種方式研究得出的方法嚴密性也得到了有效的傳承，不至于因為知識的跳躍而產生思維的漏洞。

（作者單位：武漢經濟技術開發區實驗小學）

責任編輯 劉玉琴