半線性脈沖泛函微分方程解的存在性

潘 欣，吳 正，王良龍

脈沖現象在現代科技領域的實際問題中經常遇到,其數學模型可以歸結為脈沖微分方程.國內外學者對于這類方程進行了大量的研究,已經得到許多重要結論。然而,脈沖現象中包含時滯現象會給研究帶來極大的困難,但是近期關于這方面的研究也獲得了不少結果,建立了脈沖泛函微分系統基本理論[1]。

客觀世界里更多的是偏微分方程,其中許多含時間的偏微分方程均可以轉化為抽象空間上的半線性發展方程,這是一類應用更加廣泛的抽象微分方程.近些年來國內外學者對于抽象空間中半線性發展方程展開了研究,見文[2-5]。在上述研究的基礎上,筆者對半線性脈沖發展方程也獲得了一些結果[6-8]。

受文獻[1-2，6]的啟發,本文利用Schauder不動點定理,在合適的條件下獲得了抽象空間中的半線性脈沖泛函微分方程(1)解的存在性.

1 預備知識

下面列出的是我們證明過程中需要用到的一些定義和引理:

本文中我們說(1)的解均是指定義2意義下的溫和解,它是一種廣義解.

2 主要結果

我們先給出證明過程中所需要的假設:

在給出本文的主要結果之前,我們先證明兩個重要的引理:

且

3 應用舉例

[1]傅希林,閆寶強,劉衍勝.脈沖微分系統引論[M].北京:科學出版社,2005.

[2]王良龍.抽象半線性泛函微分方程正解的存在性[J].數學理論與應用,2001,21(1):94-99.

[3]Wang Lianglong,Wang Zhicheng.Monotone Iterative Techniques for Parameterized BVPs of Abstract Semilinear Evolution Equations[J].Computers and Mathematics with Applications,2003,46(8/9): 1229-1243.

[4]王良龍,王志成.Mixed Monotone Iterative Techniques for Semilinear Evolution Equatons in Banach Spaces[J].微分方程年刊(英文版),2004,3(3):283-301.

[5]Wu Jianhong.Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations[M].Springer:New York,1996.

[6]潘欣,王良龍.半線性發展脈沖微分方程解的存在性[J].合肥學院學報(自然科學版),2009,19(1):5-8.

[7]潘欣,吳正.具有脈沖作用的半線性發展微分方程的正解[J].生物數學學報,2014,29(3):481-486.

[8]潘欣,王良龍.半線性發展脈沖微分方程解的單調迭代方法[J].安慶師范學院學報(自然科學版),2014,20(1):15-19.

[9]Pazy A.Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations[M].Springer-Verlag:New York,1983.