利用函數知識巧解規律探索題

王維松

利用函數知識巧解規律探索題

王維松

規律探索問題是中考常考題型，類型比較多，此類題型解法也多種多樣，有一些規律探索問題根據數字規律，巧用函數知識可以很快解決.其關鍵是把變量和序號放在一起加以比較，就容易發現其中的奧秘.

一、巧用一次函數解題

例1有一列數：8，14，20，26，32，……，則第20個數是_______.

【解析】第一個數是8，由序號和對應的數值構成的點設為A，則A（1，8）；

第二個數是14，由序號和對應的數值構成的點設為B，則B（2，14）；

第三個數是20，由序號和對應的數值構成的點設為C，則C（3，20）.

設第n個數為y=kn+b，

把A（1，8），B（2，14）分別代入y=kn+b中得：解得：k=6，b=2，用C點檢驗，符合題意，正確.

所以規律為y=6n+2.取n=20，則y=122.

【點評】我們發現相鄰之間的數據差相等，便可運用一次函數求解規律探索問題，只要把序號作為自變量，每個變量作為函數值，用待定系數法就可以解決.

例2用邊長為1 cm的小正方形搭成如下的塔狀圖形，則第n次所搭圖形的周長是_______cm（用含n的代數式表示）.

【解析】第一個圖周長是4 cm，由序號和對應的數值構成的點設為A，則A（1，4）；

第二個圖周長是8 cm，由序號和對應的數值構成的點設為B，則B（2，8）；

第三個圖周長是12 cm，由序號和對應的數值構成的點設為C，則C（3，12）.

設第n個圖形的周長為y=kn+b，

把A（1，4），C（3，12）分別代入y=kn+b中得：解得：k=4，b=0，

用B點檢驗，符合題意，正確.

所以規律為y=4n.

即第n次所搭圖形的周長是4n cm.

【點評】對于此類型的題目，我們應該先觀察圖形排列順序的規律，然后把它們轉化為相應的數據，并根據規律用函數模型表示圖形的數量關系、變化規律加以解答.

二、巧用二次函數解題

例3有一列數1，3，6，10，15，21，……，第50個數是_______.

【解析】本題中數列的數字，不容易發現其變化的規律，我們不妨利用函數的思想去試一試.

當序號為1時，對應的值是1，由序號和對應的數值構成的點設為A，則A（1，1）；

當序號為2時，對應的值是3，由序號和對應的數值構成的點設為B，則B（2，3）；

當序號為3時，對應的值是6，由序號和對應的數值構成的點設為C，則C（3，6）.

對應的數值y是序號n的二次函數，因此，我們不妨設y=an2+bn+c.

把A（1，1），B（2，3），C（3，6）分別代入y=an2+bn+c中，得：

檢驗：當x=4時，y=10，正確.

∴第50個數是1275.

【點評】一組數據，每相鄰兩個數據作差得到的新數據等差，如果是4組以上的數據，就可以任取三個數據，用函數關系y= ax2+bx+c列出方程組，分別求出a、b、c的值，再將第四組數據代入驗證，如果不正確，說明不能用函數找規律.

例4下圖中的實心點個數分別為1，5，12，22，……被稱為五角形數，若按此規律繼續下去，則第n個五角形數m是_______.

【解析】觀察圖形的序號與點數有下列關系：

序號：1234……

點總數：151222……

設m與n的函數解析式是m=an2+bn+c

【點評】解題時，如果題中隱去了序列號，要加上序列號，以便列出方程組求解.

三、運用其他類型函數解題

例5觀察下列圖形（每幅圖中最小的三角形都是全等的），請寫出第n個圖中最小的三角形的個數有（）個.

A.4nB.3n-2

C.n4D.4n-1

【解析】觀察本圖形，會發現序號與三角形個數關系十分復雜，但根據所給選項知道結果是冪的形式，且呈現以下規律：

序號：1234……

點總數：1222426……

設三角形的個數為y=2an+b，代入上述兩組數據，得

解這個方程組得：a=2，b=-2，

檢驗：當x=3時，y=16，正確.

∴第n個圖中最小的三角形的個數為y=22n-2=4n-1，選D.

【點評】一般地運用an類型函數求解的“找規律”題，我們發現相鄰之間的數據商相等.

（作者單位：江蘇省宿遷市鐘吾國際學校）