運用數學思想方法巧解函數題

張儉衣

運用數學思想方法巧解函數題

張儉衣

函數相關的問題復雜多變，計算量大，若能在解題中靈活運用一些技巧，可大大減少計算量，提高解題速度，這對培養同學們解決問題的靈活性也大有幫助.下面就一些常用的技巧舉例加以說明.

一、巧取特殊值

A.y1

C.y2

【分析】若直接利用反比例函數的性質去比較大小，由于圖像上的三點不在同一個分支，容易出現錯誤.這里可以通過取特殊值轉化為簡單的計算進行比較.

【點評】在一些函數問題中，若對函數的自變量中所有值進行全面考慮，問題比較復雜.但若能取一些有代表性的特殊值，進行簡化思考、計算，就能使解題快捷.但需要注意的是，所取的特殊值必須滿足題目的條件.

二、巧用整體思想

例2已知y+m與x+n（其中m，n是常數）成正比例關系，且當x=-1時，y=-15；當x=7時，y=1，求y與x之間的函數關系式.

【分析】根據正比例函數定義可設出函數關系式，將條件代入后把多元的方程組問題通過添加括號成為二元一次方程組，使不便求解的問題得到解答.

解：設y+m=k（x+n）（其中m，n是常數，k≠0），∴y=kx+（kn-m）.

∵x=-1時，y=-15；x=7時，y=1，

∴所求的函數關系式為y=2x-13.

【點評】當問題中出現若干個相同的部分或問題中關系式的個數少于未知數的個數時，可把一些有關系的量看作一個整體來處理.

三、巧用對稱性

A.-6B.-9C.0D.9

【分析】利用正比例函數與反比例函數圖像關于原點對稱的特性，把兩點坐標轉換成一點的坐標再解答.

解：由函數圖像的對稱性知點A與點B關于原點對稱，

∴x2=-x1，y2=-y1，

從而x1y2+x2y1=-x1y1-x1y1=-2x1y1.

故x1y2+x2y1=-6.

應選A.

【點評】利用對稱性解題是指利用正比例函數圖像、反比例函數圖像關于原點對稱的特性進行解題的一種技巧.當函數圖像關于某直線對稱時，也可用對稱性進行巧妙解答.

四、巧用數形結合

例4已知一次函數y=（m+2）x+（1-m），y隨x的增大而減小，且它的圖像與x軸的交點在原點的右側，則m的取值范圍是____________.

【分析】因為y隨x的增大而減小，直線從左向右呈下降趨勢，它的圖像又與x軸的交點在原點的右側，根據題意畫出相應一次函數圖像，由圖像列出不等式組并解之可求得m的范圍.

解：由題意畫出函數的示意圖（如圖1），

圖1

解得m<-2.

【點評】數形結合是指利用圖形來幫助解答一些代數問題的一種方法.在函數相關的問題中若涉及的內容較難或較繁可考慮利用圖像的直觀性來幫助思考；反之，一些圖像問題也可用代數的辦法加以解決.

小試身手

1.點P（x-1，x+1）不可能在（）.

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.不論數a取什么值，直線y=ax-2a+1總通過一個定點，這個定點的坐標為_______.

3.已知拋物線y=x2-x-1與x軸的一個交點為（m，0），則代數式-m2+m+2016的值為（）.

A.2014B.2015

C.2016D.2017

4.（2015·徐州）若函數y=kx-b的圖像如圖2所示，則關于x的不等式k（x-3）-b＞0的解集為（）.

A.x＜2B.x＞2

C.x＜5D.x＞5

5.如圖3，過原點的直線y=k1x和y=k2x與反比例函數的圖像分別交于兩點A，C和B，D，連接AB，BC，CD，DA.四邊形ABCD的形狀一定是_______.

圖2

圖3

7.已知x滿足0≤x≤5，y1=x+2，y2=-2x+ 5，對任意一個x，y1，y2中的較大值用m表示，則m的最小值是_______.

參考答案

1.D2.（2，1）3.B4.C5.平行四邊形6.37.3.

（作者單位：江蘇省宿遷市鐘吾國際學校）