認知與思辨在離散數學教學中的研究

余 瀚 楊李婷

（南京郵電大學計算機學院、軟件學院，江蘇 南京 210023）

認知與思辨在離散數學教學中的研究

余 瀚 楊李婷

（南京郵電大學計算機學院、軟件學院，江蘇 南京 210023）

認知與思辨是大學教育有兩個比較重要的思維活動。本文以離散數學的教學為例，較詳細地闡述正確認知和與此相關的批判性思辨對于教學和人才培養方面的作用。反復地認知與思辨不僅為學生牢固掌握知識提供了有效手段，更為培養良好思維習慣的人打下堅實基礎。

認知；思辨；大學教育；離散數學

0 引言

目前，我國教學科研處在“十三五”開局的關鍵時期，國家最近出臺的相關科研指導方案對高校的科研和教學都有十分重要的指導作用。這一指導方案詳細地列舉了理、工、農、醫等各個學科比較重要和前沿的若干研究課題，其中的大多數課題都需要科研人員有很強的思辨能力，從中才能去偽存真、去粗取精，進而不斷地認知真理的本來面目。這個現象啟示我們：很有必要在高等教育中貫徹對學生認知思辨能力的培養。這樣可以使我國大學在教學中不僅堅持對學生扎實功底的訓練，同時充分融入開放思考型的內容，如此不僅可以對全面促進科研起到打地基的作用，更對高等教育培養全面的人起到十分積極的作用。本文將以離散數學[1-2]為例，探討這一典型課程對認知和批判性思辨進行訓練過程中的影響和意義。

1 認知與模型

認知是人類了解自身以及外部世界的首要途徑，簡單地說就是汲取知識的過程。離散數學并不是一門單純的課程，而是很多不同方向課程的一個集合。由于它結構比較復雜，知識點比較多，因此認知概念是一個較為基礎和重要的環節。其中，由于概念化的符號眾多并且描述對象比較抽象，需要給學生較為清晰地講述每個符號傳遞的基本事實和對象。以圖和樹為例，我們可以用網絡節點、網絡爬蟲、旅游問題等為實例對象，給學生講述清楚用這些工具抽象化具體應用的原因；同時，還可以在交待完基本理論之后，再用較為復雜的應用，如數據結構遍歷問題、Huffman編碼問題等進一步擴展提升學生對數和圖的認知，從而完成由實際到理論再到實際的認知過程。在這一過程中，往往可能所謂的“答案”并不唯一，每個學生認識世界的角度不一樣，所以就造成了建模的多樣性，教學過程中應該鼓勵這種差異化，培養學生解決問題的靈活性，也對后續課程如密碼學[3]等起到比較積極的推動作用。

在認知與建模過程中，還有一類是擴展性地認知世界，典型的例子就是命題邏輯與一階邏輯。命題邏輯反映的是對客觀世界的簡單認識，而一階邏輯則是對事物之間關系更復雜的表示。以蘇格拉底三段論為例，在命題邏輯不能反映這一論斷正確性的情況下，引入一階邏輯這一工具可能更好地方便我們對世界的判斷。這樣認知粒度不斷加深的例子比比皆是，引入謂詞和量詞這種擴展性認知也更加客觀靈活地反映出世界的復雜性。

在模型產生的過程中，從實際到理論的轉化問題的思路也是一類比較重要的抽象認知活動，這一類活動恰恰較能反映遷移和應用學習能力。例如門電路的設計使用基本對應著合式公式的正則化范式，群的基本理論和代數方程解之間的關系，工程進度和有向圖之間的對應關系等等都是知識的轉化應用。這一點往往是我國教學的弱項，并不是教學中理論不夠扎實，而是實際例子的講述較少，眼界不夠開拓，需要廣大進一步在教材編寫上結合國情實際引進國外先進教科書，不斷強化應用性知識的教學。

2 推理與批判性

在正確認知的基礎上，推理和批判性思維就顯得尤為重要。在邏輯論、集合論、函數、圖和樹等章節中，不僅推理一般都是建立在承認一些事實的基礎之上，很多定義都是遞歸地建立在某個既成事實的基礎之上。在推理證明的教學過程中，我們認為不必要對某些技巧性比較強的細節過分地強調，尤其是很多推理的所謂“公式”更不必要死記硬背，反而是需要清晰地闡述推理的基本原則、規則、證明的思路、最終的目的等等，這些宏觀上具有指導性的策略其實也恰是微觀上技巧性得以體現的重要依據。邏輯學的建模基本上是以一定的事實為依據，但是正確的模型并不一定是惟一的，所以推理的方法和思路也不一定是惟一的，這就是一種批判性的建模推理思路；有時，推理結束后學生也常能發現更好的建模推理手段，這就使得批判性思維在教學過程中得到了強化。這一類需要思辨能力的情形可能在問題結果相對確定的數據結構、線性代數等課程的內容中體現得不是很明顯，但是在離散數學課程中會經常出現。盡管如此，需要特別指出的是，這也是在承認一些基本共識規則的情況下才能得以拓展，只不過這類規則定義得比較寬松，避免了死板的生搬硬套，加上沒有很多牽涉到數字的計算，故而使得本課程相對比較靈活。在計算機相關學科的科研過程中，諸如基于本體的建模大多是以這些基本理論為基石，掌握正確的思辨方法很有利于學生后續的學習和工作。

特別需要提及一點是有關因果性和相關性的認知。推理是建立在比較強的因果性之上的，舉個例子來說，在數據挖掘中如果有金融數據需要挖掘一些不良記錄進行風險規避甚至犯罪檢測，不僅僅需要我們找出相關的數據，并且更重要的是需要得到強有力的原因使得結論被無可爭辯地支撐。在本課程的教學過程中，尤其需要學生分辨因果性和相關性，與概率和統計不同，本課程中所說的因果性往往以規則為基礎，所以定義推理規則的時候需要特別仔細認真，也同時需要很強的批判性思維。一般地，我們在教學過程中發現，組成前件的各個命題之間相關性比較強，前件與后件的因果性比較強，但是這也不是絕對的。在授課中，強調因果性和相關性的分辨，可以讓學生更好地掌握規則、明辨是非，從結果中批判地分辨事情的主要原因，排除非重點的干擾因素，建立起正確看待問題的方法和觀念。

3 結語

工科的教學需要強化對問題的正確認知，同時也需要一種批判性的思辨和推理方法，兩者相輔相成，不僅可以促進學生學好離散數學這門課，更為我們在后續的教學科研打下良好且比較扎實思維基礎。

［1］耿素云，等.離散數學[M].北京：清華大學出版社，2013.

［2］方世昌.離散數學[M].西安：西安電子科技大學出版社，2000.

［3］谷利澤，鄭世慧，楊義先，編.現代密碼學教程[M].北京：北京郵電大學出版社，2009.

［責任編輯：李書培］

Study on Recognition and Critical Thinking in The Course of Discrete Mathematics

Recognition and critical thinking are two important activities in college education.Based on the lectures in the course of discrete mathematics,this paper describes the effects of correct recognition and the associated critical thinking in teaching and college education.Iterative recognition and critical thinking not only provide an effective methodology for students’acquiring knowledge,but also set up a solid ground for developing good thought patterns.

Recognition;Critical Thinking;College Education;Discrete Mathematics

南京郵電大學科研啟動基金（NY214170），南京郵電大學教改項目基金（JG00415JX76）。

余瀚（1984—），博士，南京郵電大學計算機學院、軟件學院，副教授，研究方向為反問題計算、圖像處理等。

楊李婷，碩士，南京郵電大學計算機學院、軟件學院，講師。