隨機變系數混料試驗模型的V-最優設計

張小峰，張崇岐

（廣州大學a.數學與信息科學學院；b.經濟與統計學院，廣東 廣州 510006）

隨機變系數混料試驗模型的V-最優設計

張小峰a，張崇岐b*

（廣州大學a.數學與信息科學學院；b.經濟與統計學院，廣東 廣州 510006）

將隨機變系數的混料模型轉化為混合效應模型，從而可以得到固定效應的信息矩陣及其逆矩陣，同時證明如果一個設計在固定效應部分是V-最優，則這個設計在整個模型也是V-最優.給出在V-最優準則下的一階q分量和二階2分量隨機變系數混料模型的V-最優設計.

混料試驗設計；混合效應模型；隨機系數回歸模型

0 引 言

混料試驗設計是最近幾十年發展的一門新的學科，它廣泛應用于食品制造、生物制藥及農業上.混料試驗設計不同于其他試驗設計，對于一個q分量的回歸響應值不依賴于在混料中總數的多少，而是僅僅與每個分量所占的比例有關.在一個（q-1）維單純形利益區間內必須滿足：

q階SCHEFFE線性模型為

SCHEFFE提出了多重線性模型［1-2］、單純形格子設計、單純形中心設計和其他相關的多項式模型，最優準則也陸續應用到混料試驗設計［3-4］，見圖1～3.

圖1 一階3分量D-最優設計點Fig.1 First-order 3 vaviables of D-optimal design point

圖2 二階3分量D-最優設計點Fig.2 Second-order 3 vaviables of D-optimal design point

LAAKE提出了V-最優準則［5］，積分方差必須達到最小，同時LAAKE詳細地討論SCHEFFE模型二階和三階V-最優，并得到最優配置比.LIU等用矩陣分塊法得到q階q分量的SCHEFFE模型V-最優［6］.最近幾年內，隨機變系數回歸模型在試驗設計領域內得到了廣泛的應用，但在混料試驗設計的方向還處于起步階段［7-9］，蔣瓊首次討論了混料試驗設計的隨機變系數回歸模型的V-最優［10］，但是只給出一階2分量及3分量的最優配置.對于一個一般的多元線性回歸模型：

圖3 三階3分量D-最優設計點Fig.3 Third-order 3 vaviables of D-optimal design point

其中f′（x）＝（x1，x2，…，xq，x1x2，…），β是未知參數，β＝（β1，β2，…，βq）′.

根據V-最優準則：min（W），V-最優等價定理［11］如下：

隨機系數回歸模型是為了表示未知參數在某個區域上發生變化的特征提出來的，在農業、生物醫學等科學研究中有著非常廣泛的應用.隨機變系數回歸模型為

n表示試驗次數，yi是試驗單元上的向量，Xi是ni×p設計矩陣，βi是p×1隨機系數向量，βi～N（bi，D），bi為未知帶估參數向量；εi為ni×1隨機誤差向量εi～N（0，Ri），其中bi和εi互不相關，D和Ri分別為正定的p×p和ni×ni已知矩陣，則有

1 隨機系數混料回歸模型向混合效應模型的轉換

在混料試驗中一階q變量隨機系數模型為

其中xiJ表示第i次試驗，第J個分量的值.

隨機變系數模型（2）可以表示為

其中Xb是固定效應，Xb*是隨機效應，可以得到b*的期望與協方差陣，分別是：

為了便于討論，又不失一般性，設σ2＝1，設一個一般的設計形式如下：

其中ωi是第i個設計點的測度，而且滿足由式（4）可以得到模型（3）的信息矩陣

對于混料試驗二階2變量隨機系數模型為

2 V-最優設計

該引理的證明［12］.

證明 對于隨機變系數回歸模型信息矩陣的逆可以表示為M-1＝M0-1+D，根據V-最優準則有：

定理2

是模型（1）的V-最優設計.

證明 在這里的證明分兩步，首先求出V-最優配置，再證明該配置在整個單純性利益區域內是最優的.

先求最優配置，根據引理1得到：

由Lagrange乘子法得到：

再證明該配置在整個單純性利益區域內是最優的，運用V-最優等價定理：

定理3

是模型（5）的V-最優設計.

證明 對于模型（5）的固定效應部分是中心設計，因此同一類點的測度是相同的，可以得到固定效應部分的信息矩陣的逆：

等價定理（1），因此根據定理1可得到式（7）是模型（5）的V-最優設計.

3 結束語

將隨機變系數混料模型轉換成混合效應模型，證明了只要一個設計在固定效應部分V-最優，則這個設計在整個隨機變系數混料模型也是V-最優.同時得出一階q分量和二階2分量隨機變系數混料模型的V-最優設計.在未來的研究中可以探討二階q分量，三階以及q階隨機變系數混料模型的V-最優設計，同樣的也可以研究隨機變系數混料模型的D-最優，A-最優，G-最優，E-最優.

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V-optimal designs for m ixture experiment model w ith random coefficients

ZHANG Xiao-fenga，ZHANG Chong-qib
（a.School of Mathematics and Information Sciences；b.School of Economics and Statistics，Guangzhou University，Guangzhou 510006，China）

This paper studies mixture model with random coefficients that can be transformed into a mixed effects model.We obtain the information matrix and its inverse matrix of fixed effects.We prove that mixture design is V-optimal in the whole model if it is V-optimal in the fixed effect part.The V-optimal designs for firstorder q components and second-order two components'mixture model with random variable coefficients are given.

mixture experimental design；mixed-effects models；random coefficient regression models

O 212.6

A

1671-4229（2016）01-0027-05

【責任編輯：周 全】

2015-05-18；

2015-11-10

國家自然科學基金資助項目（11271094）

張小峰（1989-），男，碩士研究生.E-mail：978584115＠qq.com

*通信作者.E-mail：cqzhang＠gzhu.edu.cn