對比分析 把握本質
——《雞兔同籠》教學實踐與思考

施丹桂

（浙江省杭州市勝藍實驗小學 浙江杭州 310004）

對比分析 把握本質
——《雞兔同籠》教學實踐與思考

施丹桂

（浙江省杭州市勝藍實驗小學 浙江杭州 310004）

雞兔同籠是實驗版教材六年級上冊的內容，而2013版新教材則把其改編在了四年級下冊，其與實驗教材相比有較大的差別，教學目標中更注重解題策略多樣性的教學，教學過程中更關注列表法和假設法的落實，這些改變給我們在教學中帶來了新的困惑。本文針對這一教學內容，反復比較兩版教材和教參，從理念引領、內容編排、教學方法等角度進行分析，并提出一些相應的教學策略。

雞兔同籠 假設思想 數形結合 教學策略

一、背景

對于兩版教材，筆者進行了以下比較：

對比一：

新版教材教學目標的描述更詳細：在方法上注重列表法和假設法；在能力上體現了數學思維和應用能力的雙管齊下。而實驗教材的教學目標描述較為籠統：在方法教學上更關注方程法；在能力要求上較重視數學思維能力，略忽視實際應用能力。

對比二：

新版教材在內容編排上展示了列表法和假設法這兩種解法；而實驗教材則還要求學生掌握方程法。

基于這兩版教材的比較，筆者產生了一些困惑：新版教材面對的是四年級的孩子，只需教學列表法和假設法，那么在這兩種方法的教學力度上我們如何分配？我們怎么幫助孩子直觀的理解抽象的假設法？假設法的教學起點在哪？列表法和假設法之間有聯系嗎？……帶著這些困惑，筆者開始了這一內容的研究。

二、分析

基于對新舊教材的對比研讀，針對這個內容的教學，筆者著重分析以下兩個方面的問題：

1.列表法和假設法的教學力度如何分配，是兩種孤立的方法嗎？

2013版教師用書中指出：有序的列表可使學生經歷數據逐一調整變化的過程，為后面探究假設法奠定了基礎。其實列表法是假設雞（或兔）的只數一個一個或幾個幾個的進行推理，假設法是全部假設為雞（或兔）來推理，從思維層面上講，兩者都蘊含了“假設”的數學思維，并不是兩種孤立的方法，我們可以說列表法是假設法的鋪墊，假設法是對列表法的提煉。我們可以這樣分析：如果夯實了列表法的教學，再引導學生對表格進行分析，假設法是否就水到渠成了？再者2013版教師用書中也明確指出：應明確列表的方法不只有教材呈現的一種方式。教材中所呈現的是列表法中較簡單的一種。因此，教學中，可以引導學生先經歷這樣的“逐一”列表方法，然后再引導學生通過交流探討發現列表的方法不是唯一的，列表的數據既可以逐一列出，也可以跳躍列舉，還可以取中列舉。綜上兩點，筆者覺得對于列表法我們不能輕視，應加大教學力度，讓學生在體驗多樣列表的基礎上感知列表的本質，為假設法做鋪墊。

2.怎么突破假設法教學的“抽象”難點，它的教學起點在哪？

課程標準指出“要在解決問題的過程中培養學生的邏輯推理能力”，而用假設法解題的過程其實就是培養學生邏輯推理能力的過程。“假設法”抽象的特點是學生理解的最大障礙，易造成“生搬硬套”現象：只會死記硬背的套用，而不能理解為什么假設是雞（兔），先求出的卻是兔（雞）。因此我們首先要找到假設法的起點——列表法。所以在教學中首先要夯實列表法的教學，為假設法的理解積累推理經驗；其次采用數形結合的方式，為抽象的理解呈現形象的視覺。

三、對策

基于以上的分析，筆者進行了課堂教學實踐。

【書本例題：籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有8個頭，從下面數，有26只腳。雞和兔各有幾只？】

對策一：因“材”而施教，定合理目標，行有效教學。

美國心理、教育學家布盧母說“有效教學始于知道希望達到的目標是什么。”這句話闡述了教學目標的重要地位。既然新教材在教學理念、內容編排、方法選擇……這些方面都進行了改革，那么我們也要因“材”施教，定恰當目標，行有效教學。據教材的情況，此內容應分兩課時進行教學。第一課時應著力于列表法的教學；第二課時進行假設法的教學和模型的建立與內化。因此制定的教學目標如下：

第一課時

1.了解“雞兔同籠”問題，感受古代數學問題的趣味性。

2.嘗試用列表法解決“雞兔同籠”問題。理解“逐一列表”、“取中列表”和“跳躍列表”，掌握用“列表法”解決問題的策略。

3.在學習“列表法”的過程中，經歷數據調整的過程，引導學生有序思考，為“假設法”的探究奠定基礎。

4.用“列表法”解決生活中的問題，培養學生有序思考和遷移類推能力，為模型的建立奠定基礎。

第二課時

1.嘗試用“假設法”解決“雞兔同籠”問題，了解兩種方法之間的關聯性，體驗“假設法”是“列表法”的提煉。

2.經歷數形結合的過程，讓學生在“形象圖”與“抽象式”的對應過程中，理解“假設法”的實質，能用此法解決生活中的“雞兔同籠”問題。

3.在解決問題的過程中，滲透“假設”的思想，培養學生的邏輯推理能力。

4.建立“雞兔同籠”問題的數學模型，在解決問題的過程中內化模型。

對策二：多樣列表，積累理解假設法的邏輯推理經驗。

“列表法”是“假設法”的認知起點，是學生進行有序思考的開端。因此在教學的過程中我們應引導學生探究多種列表法，體驗有序思考的過程，積累邏輯推理經驗，為 “假設法”的學習預熱。因此筆者對此進行了如下設計：

【教學片斷1】

一、教學列表法

1.逐一列表，有序思考

籠子里有雞和兔共8只，請你猜猜雞和兔可能各有幾只？

生：雞1只，兔7只。

生：雞2只，兔6只。

師：還有嗎？那誰能按順序不遺漏不重復地說一說？

生：雞1只，兔7只；雞2只，兔6只……

師：如果用列表的形式來表達你們的猜測，那就更清晰了。（課件展示表格）

師：除了這七種，我們還得考慮 “雞0只，兔8只”或 “雞8只，兔0只”這兩種情況。（在表格中添上“雞0只，兔8只”和“雞8只，兔0只”）

師：你們看，表格有序的、不重復、不遺漏地羅列了我們的想法。可是到底是幾只兔幾只雞能確定嗎？

生：不確定

師：如果再增加一個條件：“從下面數，共有22只腳”，現在你知道有幾只雞幾只兔嗎？請你像剛才那樣列表解決。

1.學生獨立列表解決

2.展示學生作品

師：仔細觀察，在列舉的過程中，腳總數的變化有什么特點？

生：從左往右看，每次減少2只腳。

師：腳總數怎么會2個2個的減少呢？

生：因為雞在增加，兔在減少。

生：因為每次雞都增加了1只，兔都減少了1只。

師：是呀，從左往右，每次都把1只兔變成1只雞，就少了2只腳。

師：如果腳要減少8只，要將幾只兔換成雞？怎樣算的？腳要增加8只呢？

2.跳躍列表，感知假設

師：如果雞和兔的數量較大，這樣試起來就麻煩了！能不能跳著列表呢？請你們嘗試一下。

生1：當雞有8只兔有0只時，腳有16只，比26只少好多只腳，我就想：假設雞5只兔3只，腳就有22只，還比26只少4只。那么還有2只兔被看成了雞，所以我再假設3只雞5只兔，腳就是26只了。

生2：我的更簡單。當雞有8只兔有0只時，腳有16只，比26只少10只腳。那1只兔看成雞要少2只腳，要少10只腳，說明有5只兔被看成雞，就從8只雞中拿出5只變成兔，這樣就有3只雞，5只兔，腳剛好26只。

師：誰聽明白了？

師：好方法！逐一列舉再依次計算確實麻煩，跳著列舉和計算，能更快地找到答案。

3.取中列表，深化理解

師：剛才還有同學是這樣列表的，誰能看懂？

生：他把雞和兔各看成4只，腳有24只，比26只少了2只腳，說明雞被多看了1只，這樣就要從4只雞中拿出1只變成兔，那兔就是5只，雞就是3只。

師：誰聽懂了？

師：同學們真能干。原來用列舉的方法解決雞兔同籠問題時，我們可以一一列舉，也可以取中列舉，還可以跳躍著列舉。

在這一教學過程中，從三種列舉法入手，讓學生深刻理解了列舉的實質，為假設法的學習奠定了基礎。

對策三：數與形呼應，搭建形象與抽象的橋梁。

新課標指出：要在解決問題的過程中培養學生的邏輯推理能力。而“假設法”的學習過程，是學生邏輯思維能力有效提升的過程。“抽象”是阻撓學生掌握假設法的最大障礙。因此在教學中，我們要設計相應的情景，讓學生理解“為什么要假設？”、“假設法是怎么來的？”、“怎么假設？”、“怎么理解推理過程？”，帶著這些目標，筆者設計了如下環節：

【教學片斷2】

二、學習假設法

師：在上節課中，我們學習了三種列舉法，其中有同學是這樣列舉的：

[當雞有8只兔有0只時，腳有16只，比26只少10只腳。因為1只兔看成雞要少2只腳，如果少10只腳，那就有5只兔看成了雞，就要從8只雞中拿出5只變成兔，這樣就有3只雞，5只兔，腳剛好26只。

現在你能用算式表示這樣的思路嗎？

（一）假設全是雞

2×8=16（只）

兔：（26－16）÷（4-2）=5（只）

雞：8－5=3（只）

生：我假設全是雞，有16只腳，比26只少10只腳，然后一只雞比一只兔少2只腳，共少了10只腳，一共少了5只兔子，那么雞的只數就是8－5=3只。

師：聽懂他的解釋了嗎？誰能再來說一說？

師：也就是說假設全是雞，出現了什么情況？

生：會少10只腳。

師：怎么就會少10只腳？

生：因為有一些兔被看成了雞。

生：因為一只兔看成雞要少2只腳。

師：是呀，每一只兔看成雞，就會少2只腳，就是少了1個2，10里面有5個2，少了5個2，所以兔子有5只。

T：我們可以結合圖來表達這個過程。

如果我們假設全是雞，就只有16只腳。

和26只腳相比，少了10只腳。因為每把一只兔看成一只雞就要少2只腳

現在我們就把少的10只腳補上去。一次補幾只腳？這樣我們一共需要補——，所以兔共有——（同一張幻燈片中依次出示5個2）。

（二）假設全是兔

4×8=32（只）

雞：（32－26）÷（4-2）=3（只）

兔：8－3=5（只）

師：能看懂嗎？

師：是這個意思嗎？

師：這樣就——

生：多了6只腳。

師：是因為——

生：有些雞被看成了兔子。

師繼續出示相應的幻燈片，讓學生在腦海中進行數形結合。

（三）比較深化，理解本質

師：同樣是假設，為什么一個先求出的是雞，另一個先求出的卻是兔呢？

生：假設全是兔，雞的腳被多看，所以先求出的是雞；假設全是雞，兔的腳被少看，那么先求出來的就是兔。

在次教學中，以列表法作為起點，再用“數形”結合的方式輔助理解，突破了假設法“抽象”的難點，讓學生深刻理解了假設法的實質。

對策四：學以致用，在應用中建立并深化模型。

數學課程標準指出：要從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義。是指我們要幫助學生建立數學模型，從“一個”推廣到“一類”，再從“一類”中提取模型，總結規律和方法，最后應用到實際。因此在掌握了方法后我們還應引導學生學以致用，深化模型。

【教學片斷3】

三、建立模型，運用深化

（一）建立模型

課件出示題：有若干只龜鶴頭共8個，腿共26只。龜鶴各多少只？

師：接下來請你們獨立解決，并想想和剛才的問題有什么共同點。

生獨立解決再反饋。

生：其實他們是一樣的，龜和兔都有4只腳，鶴和雞都有2只腳，動物不同，方法相同。

師：是啊，這里的雞不僅僅是雞，兔也不只是兔，像這類問題在數學上叫雞兔同籠問題。那么在我們的生活中，也有很多這樣的問題。

（二）鞏固提升

課件出示：一星題：1.張老師買來8盒月餅，共有42只，其中甲、乙兩種包裝，如下圖所示。你知道甲、乙兩種包裝各買了幾盒嗎？

二星題：學校舉行腦筋急轉彎競賽，決賽中每位選手應回答25道題，若答對1題得4分，若答錯或不答1題倒扣1分。明明得了70分，他答錯或不答共有幾題？

本環節先讓學生進行“龜鶴問題”與“雞兔同籠問題”一一對應，理解兩類問題的共同特點，建立模型；再拓展到生活中，辨別雞兔同籠問題的實質，深化模型。

以上是筆者在一次次磨課實踐中產生的一些粗淺的體會與感悟，如何讓學生能更好地理解雞兔同籠問題，建立雞兔同籠問題的模型并靈活運用，還需要我們不斷的研讀教材與教學實踐。

[1]中華人民共和國教育部制定.數學課程標準（修訂稿）[M].北京師范大學出版社，2011

[2]義務教育教科書.教師教學用書[M].人民教育出版社，2014

[3]楊忠.關于“雞兔同籠”問題的教學思考[J].教育實踐與研究，2013

[4]潘粉娥.“雞兔同籠問題”教學設計[J].課程教材教學研究，2013

[5]邵麗芳.用列表法解決“雞兔同籠”問題的教學實踐與反思[J].教學月刊小學版，2011.12