蜿蜒河流的數學刻畫及其自組織*

汪富泉

（廣東石油化工學院繼續教育學院，廣東茂名525000）

蜿蜒河流的數學刻畫及其自組織*

汪富泉

（廣東石油化工學院繼續教育學院，廣東茂名525000）

為探討蜿蜒河流河床演變中的自組織，應用微分幾何方法建立了河道基本單元的數學模型，并通過求解數學模型得到了拐點坐標。根據實測資料和數學模型，繪制了下荊江在近500年間的5次河道軸線變化趨勢及拐點分布，觀察其變化趨勢發現拐點的平面坐標是慢弛豫變量，拐點間距分布具有赫斯特效應，河道平面形態具有分形特征。由此探討了河床演變中的自組織臨界性及河型轉換的內外部根源。

蜿蜒河流；下荊江；河床演變；自組織

蜿蜒河流在世界上分布廣泛，對人類的生存和發展具有重大影響，關于其演變規律的研究一直受到研究者的高度重視。筆者最近對蜿蜒河流進行了系統研究：計算了蜿蜒河流的量規維數，探討了它們與河床演變的關系［1］；應用分形方法探討了河灣之間的相互作用［2］；根據理論和實測資料分析了水動力軸線的非線性變化、流域來水來沙的隨機性和河流自身的能量耗散性對我國典型蜿蜒河流下荊江河床演變的影響［3－5］，建立了一個計算蜿蜒河道自仿射性的算法，并由此探討了下荊江河道的橫向擺動特征［6］；在總結前人和自己研究成果的基礎上，提出了河流動力系統關聯、協同、自適應等6個自組織原理［7］。如何定量描述河床演變的自組織則是一個新的研究課題。本文將運用微分幾何方法分析蜿蜒河流局部的數學模型，通過數學模型來計算河流軸線的拐點，并分析拐點坐標的變化特征，然后應用所得理論結果對下荊江500多年來河床演變的自組織進行探討。

1 蜿蜒河流的數學刻畫

蜿蜒河流的中心線（軸線）實際上是一條球面曲線，將其投影到一個固定平面（如海平面）上，得到一條平面曲線C，C的擺布方式則稱為蜿蜒河流的平面構象。一般來說，該平面構象比較復雜，通常具有彎曲折疊的幾何形狀，因此難以寫出這條平面曲線的具體方程。如果考慮到它的精細結構（分形結構），那么它的局部也難以用解析式表達。但是，分析平面曲線的局部結構可以發現其規律：它由一系列正反相間的河灣和介于其間的較為順直的過渡段組成［8］，即兩個正反向間的河灣和順直段是組成平面構象的基本單元。如果我們忽略基本單元的某些細節（如在一定比例尺的地形圖上所看到的形狀），則可用微分幾何［9］方法刻畫基本單元的結構。設C的矢量式參數方程為：

在基本單元上實測4個點，設其坐標為｛（xi，yi）∶i＝0，1，2，3｝，則可得變量為a，b，c，d的四元一次方程組，如下所示：

解上述四元一次方程組得a，b，c，d的值，代入（3）得基本單元的數學模型。由微分幾何知曲線（3）的相對曲率為：

2 應用示例

位于長江中游的下荊江，其河道中心線（軸線）蜿蜒曲折，是典型的蜿蜒河流。謝鑒衡給出了下荊江近500年的5次河道地形圖［8］，筆者用上述數學模型繪制的這5次河道軸線與拐點分布見圖1。

通過圖1可以發現，1490—1644年下荊江河道軸線上的大部分拐點（見圖中標記4～6、10～13、15～17）的平面位置均與其余4個時期的拐點相去甚遠。1975年河道軸線的部分拐點（如a，b，c，d，e，f）也有不同程度的偏離。相比之下，在1835—1959年，除河灣蠕動和裁彎增減的拐點外，各軸線的拐點基本上是成團分布的，拐點平面位置的變化很小。拐點附近的河段，即兩個旋轉方向相反的拋物型河灣間過渡段的位置變化也較小，這說明拐點的平面坐標是慢弛豫變量［10］。它有兩層含義：其一，拐點坐標隨時間變化較緩慢，如1835—1959年這段時間就是如此；其二，當系統發生突變（即拐點偏離原來位置較遠）以后，要恢復到它原來的位置則需要相當長的時間，例如1490—1644年與其它時期相比較，清楚地說明了這點。Hacken［10］在協同學中，根據狀態參量在相變（突變）過程中所起的作用，把它們分成兩類：快弛豫參量和慢弛豫參量。后者為數極少（往往是一個或幾個），但是卻主宰著系統的演化和結局，原因在于它們是集體變量，是子系統合作的產物，相變過程的邊界條件適合其發展。慢弛豫變量的漲落易得到子系統的響應，從而席卷整個系統，使系統的序或狀態發生改變，所以慢弛豫變量也就是序參量。河流系統的序結構是一種自組織結構，Rodriguez Iturbe［11］，Sapozhnikov等［12］都曾從自組織角度研究過河流和地貌的演化，筆者認為他們的論證都有值得商榷的地方。下面筆者通過理論分析和數據計算來檢驗下荊江河床演變中的自組織特征，并由此推測下荊江河型突變的誘因。

圖1 下荊江河道中心線近500年的變化及拐點分布

林一山［13］收集分析了下荊江一千多年的河道資料，認為藕池決口對下荊江蜿蜒河道的形成起決定作用。林承坤等［14］認為圍墾堵塞穴口導致河道內流量增加是決定性因素。筆者認為決定性因素是系統內、外部諸要素的非線性相互作用，而外部作用如洞庭湖頂托或人類活動則是導致下荊江河型突變的觸發力量［3］。外界的一個擾動使它附近的拐點產生一個偏離，在河流系統內外部因素作用下，這種偏離得到整個河床系統各河灣的響應，使大多數拐點產生了較大的偏離，并促進河灣不斷發育，從而導致了河型的轉變。一個局部的漲落為什么能夠得到整個河段的響應呢？從系統自組織出發可能較好地回答這一問題。河型轉變以后，由于河灣個數和形態的變化，不僅拐點的位置發生了變化，相鄰拐點的間距也發生了改變，為此，筆者引入了拐點間距進行量化分析。用〈R2i，i＋n〉表示第i和第i＋n個拐點之間距離的平方。當n＝1時，有：

給定一系列d0值，可根據河道地形圖的測量結果計算出p（di，i＋1＞d0），在雙對數坐標系下做線性回歸可得到q值，根據圖1的實測資料和式（8）得到的q值如表1所示。

另一方面，蜿蜒河道的平面形態可看成一個物理粒子在正方形點陣上作自回避隨機行走（SARW）得到的軌跡。SARW與普通隨機行走的區別是粒子有記憶性，走過的路不再重復，因此其軌跡是一條無圈的蜿蜒曲線，蜿蜒河流的軸線正是這樣的曲線。描述SARW的數理模型是分數布朗運動，其特征是赫斯特（Hurst）指數H（0＜H＜1）［15］。H＝0.5時，序列相互獨立；H＞0.5時，序列具有持續性，H越大，持續性越強；H＜0.5時，序列具有反持續性，H越小，反持續性越強。H和q的關系如下：H＝1/q，此外H與河道平面形態的分形維數df的關系如下：df＝2－H［16］。下荊江河道中心線拐點分布計算結果如表1所示。

表1 下荊江河道中心線拐點分布特征

下荊江是由許多單元組成的復雜系統。在表1中，均有H＞1/2，這說明下荊江河灣之間關系密切，具有復雜的內部非線性相互作用和長程相關性，與筆者最近的研究結果［2］一致。1975年，河道軸線拐點分布的非均勻系數最大，H指數最小，這說明河灣之間的長程關聯不如其它時期密切，但非線性相互作用更強烈，這可能與下荊江河道在70年代發生的人工和自然裁彎有關［4］。1490—1644年，河道軸線的γ值較大且H值遠大于1/2，河灣之間同時存在較強的長程關聯和較強的非線性相互作用［2］。這樣就不難理解為什么河道在該時期的變化較大，且和其它時期的平面形態相比具有明顯的界限。此外，河流與水系具有分形特征［1－2，6］，這里的Hurst效應和分形特征揭示了河道各河灣相互作用所形成的自組織。

3 結果與討論

歸納起來，本文得到如下結果：（1）拐點的位置（坐標）是慢弛豫變量，這種隨時間緩慢變化的特性實質上等價于負冪律分布，其頻譜分布則具有1/f噪聲的特征。（2）赫斯特（Hurst）指數H與分形維數有關，這說明河道平面形態具有空間分形結構。（3）以d0為尺度，相鄰拐點間距分布滿足式（8）。因此，在河灣的形成和發展中，總是大河灣數量少，小河灣數量多。由這三點和Bak等人［17］提出的自組織臨界性理論知，下荊江河床作為一個系統處于自組織臨界狀態。水流動力軸線的非線性特征對河床起著調制作用［3］，流域因素和水力輸沙條件的隨機性對系統起著擾動作用［4］。此外，系統外部對系統的干擾如洞庭湖頂托及人類活動等也不可忽略。對于自組織臨界系統而言，擾動是系統突變的觸發力量。一個局部的擾動可使整個系統得到響應，產生多米洛骨牌倒塌那樣的連鎖反應。因此，洞庭湖頂托和人類圍垸堵穴等對河床自組織臨界狀態的擾動，是下荊江河型轉變的誘因。當它們對河床產生擾動時，不同尺度的河灣都可能形成，各個部分之間的協同作用相當于一種正反饋，促使河床形態逐漸由微彎型向蜿蜒型發展。由此可見，外界的干擾是擾動河床系統的一種隨機力，是一種直接誘因（外因），而內在原因是河流系統處于自組織臨界狀態，兩者缺一不可。這樣能更好地理解為什么上、下荊江河型原來均為微彎型，水力輸沙條件、河床物質組成基本相同，而自明清以后，下荊江經過突變而轉換為蜿蜒型河道這一段疑難問題。

［1］汪富泉.蜿蜒河流的量規維數與河床演變［J］.水利水電科技進展，2014，34（3）：12－15.

［2］汪富泉.河灣相互作用的分形法研究［J］.水動力學研究與進展，2014，29（2）：205－211.

［3］汪富泉.下荊江蜿蜒河道分形彎曲的物理機制探討——Ⅰ.非線性機制［J］.廣東石油化工學院學報，2014，24（1）：67－71.

［4］汪富泉.下荊江蜿蜒河道分形彎曲的物理機制探討——Ⅱ.隨機性［J］.廣東石油化工學院學報，2014，24（4）：51－54，59.

［5］汪富泉.能量耗散對蜿蜒河流分形結構的影響［J］.廣東石油化工學院學報，2015，25（1）：63－66.

［6］汪富泉.自仿射曲線分形標度指數的算法及其應用［J］.工程數學學報，2014，31（5）：728－732.

［7］汪富泉.河流動力系統的自組織原理及機制探討［J］.水利水電科技進展，2014，34（4）：1－4.

［8］謝鑒衡，丁君松.河床演變及整治［M］.北京：水利電力出版社，1990.

［9］梅向明.微分幾何［M］.北京：高等教育出版社，1981.

［10］Hacken H.Advanced Synergetics，An Introdunction［M］.2nd ed.Berlin：Springer，1987.

［11］Rodriguez I，Marnani IM，Rigon R，et al.Self－organized River Basin Landscapes：Fractal andMultifractal Characteristics［J］.Water Recources Res，1994，30（12）：3531－3539.

［12］Sapozhnikov V B，Foufoula G E.Do the Current Landscape EvolutionModels Show Self－organized Criticality？［J］.Water Recources Res，1996，32（4）：1109－1112.

［13］林一山.荊江河道的演變規律［J］.人民長江，1978（2）：2－10.

［14］林承坤，陳欽鑒.下荊江自由河曲形成與演變的探討［J］.地理學報，1959，25（2）：156－168.

［15］劉新有，何大明.怒江流域懸移質輸沙時空分布特征及變化趨勢［J］.地理學報，2013，68（3）：365－371.

［16］汪富泉，李后強.分形——大自然的藝術結構［M］.濟南：山東教育出版社，1996.

［17］Bak P，Tang C，Wiesenfeld K.Self－organized criticality［J］.Phys.Rev.A.，1988，38（1）：364－374.

Mathematical Characterization of Winding River and Its Self－organization

WANG Fuquan
（College of Continuing Education，Guangdong University of Petrochemical Engineering，Maoming 525000，China）

To explore self－organization in bed evolution of winding rivers，differential geometrymethod is applied to establish themathematicalmodel of basic unit，solvingmathematicalmodel to get inflection point coordinates.The Lower reach of Jingjiang in nearly 500 years with five axis change trend and inflection point distribution is drawn according to themathematicalmodel and themeasured data.Observing its change trend，the author finds out that plane coordinate of the turning point is slow relaxation variables，inflection point distribution shows the Hurst effect，and channel planemorphology has fractal characteristics.Thus the author discusses the self－organized criticality of riverbed evolution and river pattern conversion of internal and external causes.

Winding river；Lower Jingjiang；Fluvial process；Self－organizations

TV147

A

2095－2562（2016）01－0065－04

（責任編輯：梁曉道）

2015－08－15；

2015－11－02

國家重點基礎研究發展計劃（973計劃）（2013cB036401）；國家自然科學基金（51179110）

汪富泉（1955—），男，四川南充人，博士，教授，主要從事水文學及河流動力學研究。