基于Euler-Bernoulli梁理論的微車(chē)軸管長(zhǎng)度匹配性研究

黃豐云， 朱建國(guó)， 周子寒，石 磊

(1. 武漢理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，湖北 武漢 430070；2. 上海汽車(chē)集團(tuán)股份有限公司商用車(chē)技術(shù)中心，上海 201203)

基于Euler-Bernoulli梁理論的微車(chē)軸管長(zhǎng)度匹配性研究

黃豐云1， 朱建國(guó)1， 周子寒1，石 磊2

(1. 武漢理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，湖北 武漢 430070；2. 上海汽車(chē)集團(tuán)股份有限公司商用車(chē)技術(shù)中心，上海 201203)

以某微車(chē)傳動(dòng)軸為研究對(duì)象，采用 Euler-Bernoulli梁理論分別建立了單根軸管長(zhǎng)度系列與不同軸管長(zhǎng)度匹配系列的運(yùn)動(dòng)微分方程，并計(jì)算出其對(duì)應(yīng)的彎曲固有圓頻率及一階臨界轉(zhuǎn)速。經(jīng)計(jì)算，研究車(chē)型傳動(dòng)軸最高工作轉(zhuǎn)速均低于對(duì)應(yīng)一階臨界轉(zhuǎn)速，可避免發(fā)生共振。為了研究確定動(dòng)力學(xué)性能最優(yōu)的軸管長(zhǎng)度匹配，構(gòu)建了五組傳動(dòng)軸樣機(jī)模型，對(duì)模型進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，為軸管長(zhǎng)度匹配研究提供理論依據(jù)和仿真參考。

傳動(dòng)軸管；Euler-Bernoulli梁理論；長(zhǎng)度匹配；虛擬樣機(jī)

車(chē)輛行駛過(guò)程中，傳動(dòng)軸受到激勵(lì)會(huì)偏離平衡位置而出現(xiàn)質(zhì)量偏心產(chǎn)生離心慣性力，可導(dǎo)致傳動(dòng)軸產(chǎn)生彎曲振動(dòng)，影響汽車(chē)噪聲、振動(dòng)與聲振粗糙度(noise，vibration，harshness，NVH)性能。當(dāng)激振頻率與傳動(dòng)軸彎曲固有頻率一致便產(chǎn)生共振，共振時(shí)對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)速為臨界轉(zhuǎn)速，其中一階臨界轉(zhuǎn)速時(shí)振動(dòng)最大，必須保證最高工作轉(zhuǎn)速低于一階臨界轉(zhuǎn)速[1-2]。

傳動(dòng)軸臨界轉(zhuǎn)速常用計(jì)算方法有經(jīng)驗(yàn)公式法、傳遞矩陣法及有限元法[3-6]。等截面?zhèn)鲃?dòng)軸采用經(jīng)驗(yàn)公式法進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果準(zhǔn)確并且簡(jiǎn)單；傳遞矩陣法是將系統(tǒng)離散化，據(jù)子系統(tǒng)間關(guān)系及邊界條件得到頻率方程，進(jìn)而計(jì)算固有頻率及臨界轉(zhuǎn)速，當(dāng)考慮支撐系統(tǒng)時(shí)，分析困難且結(jié)果準(zhǔn)確性不能保證；有限元法通過(guò)分析系統(tǒng)模態(tài)，得到各階頻率及相應(yīng)臨界轉(zhuǎn)速，但模型復(fù)雜時(shí)，網(wǎng)格劃分困難，并且對(duì)計(jì)算機(jī)配置有一定要求。為此，本文把傳動(dòng)軸簡(jiǎn)化為梁，采用Euler-Bernoulli梁理論分析簡(jiǎn)化后傳動(dòng)軸的橫向振動(dòng)圓頻率，進(jìn)而計(jì)算出對(duì)應(yīng)臨界轉(zhuǎn)速。而不同長(zhǎng)度軸管組合具有不同的動(dòng)力學(xué)特性，為確定動(dòng)力學(xué)特性最優(yōu)系列，建立傳動(dòng)軸虛擬樣機(jī)模型并最終確定動(dòng)力學(xué)匹配特性最優(yōu)的軸管長(zhǎng)度組合。

1 傳動(dòng)軸梁理論模型分析

1.1 單根軸管梁理論模型建立及分析

傳動(dòng)軸的計(jì)算模型有 2種：非滑動(dòng)型和滑動(dòng)型。本文結(jié)合研究車(chē)型軸管截面積不變，采用非滑動(dòng)型模型[7]。圖1為單根軸管的模型，將軸管簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支梁，采用Euler-Bernoulli梁理論建立運(yùn)動(dòng)微分方程。

圖1 單根傳動(dòng)軸管模型

若不計(jì)阻尼，梁自由振動(dòng)微分方程為[8]：

梁自由振動(dòng)振型及特征根方程為：

其中，A1，A2，A3，A4為積分常數(shù)，β為方程特征根。據(jù)邊界條件[9]得頻率方程及特征根為：

在不考慮回轉(zhuǎn)效應(yīng)和工作環(huán)境等因素時(shí)，回轉(zhuǎn)體的臨界轉(zhuǎn)速nr與橫向振動(dòng)的圓頻率ωr具有式(5)所示關(guān)系，最大允許轉(zhuǎn)速為0.8nr[10]。

結(jié)合研究車(chē)型底盤(pán)布置，取單根軸管長(zhǎng)度0.5 m、0.6 m、0.7 m、0.8 m、0.9 m、1.0 m 6組系列，分別將其帶入式(2)、(4)和(5)，求得一階臨界轉(zhuǎn)速。對(duì)于非滑動(dòng)型傳動(dòng)軸，由于所研軸管截面積恒定，臨界轉(zhuǎn)速可采用式(6)所示的經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算[7]：

其中，nk為理論臨界轉(zhuǎn)速(r/min)；D為軸管外徑(mm)；D為軸管內(nèi)徑(mm)；L為軸管長(zhǎng)度(mm)。

研究車(chē)型其軸管尺寸為外徑D=63.5 mm，內(nèi)徑d=59.9 mm。

表1 軸管一階臨界轉(zhuǎn)速隨長(zhǎng)度變化值

由表1可知：

(1) 軸管一階臨界轉(zhuǎn)速與長(zhǎng)度呈反相關(guān)。本文研究的車(chē)型傳動(dòng)軸最高工作轉(zhuǎn)速為7 058.82 r/min，表1所示在0.5～1.0 m范圍內(nèi)，其均能夠滿足研究車(chē)型要求。

(2) 基于 Euler-Bernoulli梁理論計(jì)算所得結(jié)果偏高與文獻(xiàn)[8]中結(jié)論一致，并通過(guò)經(jīng)驗(yàn)公式驗(yàn)證了基于Euler-Bernoulli梁理論分析的準(zhǔn)確性。

1.2 軸管組合梁理論模型建立及分析

實(shí)用中為避免臨界轉(zhuǎn)速限制或?yàn)榱死@過(guò)某一布局障礙，常采用圖2所示的軸管組合[10]。本文研究車(chē)型采用兩段式傳動(dòng)軸設(shè)計(jì)，兩軸管長(zhǎng)度分別為508 mm、879 mm，建立以此為依據(jù)的5組長(zhǎng)度系列。

圖2 傳動(dòng)軸管組合

與單根軸管建模思路類(lèi)似，建立圖3所示傳動(dòng)軸管組合模型，并做傳動(dòng)軸總成質(zhì)量為連續(xù)分布，不考慮萬(wàn)向節(jié)的質(zhì)量等因素假設(shè)。

圖3 軸管組合模型

兩段軸管的振型方程為：

由邊界條件及傳動(dòng)軸管連續(xù)推出：

即：

化簡(jiǎn)得：

長(zhǎng)度匹配對(duì)傳動(dòng)軸總成動(dòng)力學(xué)特性的影響，可轉(zhuǎn)化為基于長(zhǎng)度這一變量的數(shù)學(xué)模型問(wèn)題，將長(zhǎng)度定為設(shè)計(jì)變量[11]。據(jù)研究車(chē)型傳動(dòng)軸總成長(zhǎng)度要求，并結(jié)合單根軸管分析結(jié)論建立了5組不同的軸管長(zhǎng)度系列，分別為：(458,929)、(508,879)、(558,829)、(608,779)、(693.5,693.5)。式(8)為超越方程，通過(guò)Matlab軟件求得特征根，并算得臨界轉(zhuǎn)速。

表2 不同長(zhǎng)度系列傳動(dòng)軸總成一階臨界轉(zhuǎn)速

由表2可知，在傳動(dòng)軸總成安裝長(zhǎng)度確定時(shí)，兩軸管長(zhǎng)度越接近，其傳動(dòng)軸總成一階彎曲頻率越大，并且5組系列對(duì)應(yīng)臨界轉(zhuǎn)速均滿足研究車(chē)型速度要求。為確定不同系列動(dòng)力學(xué)特性，采用機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)自動(dòng)分析(automatic dynamic analysis of mechanical systems，ADAMS)軟件進(jìn)行研究。

2 軸管長(zhǎng)度匹配與動(dòng)力學(xué)特性分析

傳動(dòng)軸由于其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，在高速旋轉(zhuǎn)時(shí)會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)，并通過(guò)中間支承、后橋等傳到車(chē)身，影響乘坐舒適性。傳動(dòng)軸傳遞給車(chē)身影響最大的振動(dòng)來(lái)自于垂直方向，可以中間支承處垂直于傳動(dòng)軸方向的位移及加速度為目標(biāo)進(jìn)行研究。本文通過(guò)ADAMS軟件分析不同長(zhǎng)度匹配系列下中間支承處位移及加速度變化情況，確定出動(dòng)力學(xué)性能最優(yōu)系列[12-13]。

2.1 傳動(dòng)軸虛擬樣機(jī)模型建立及驗(yàn)證

通過(guò)UG建立傳動(dòng)軸總成模型，去除墊片、螺栓等零件，將模型導(dǎo)入ADAMS，添加約束與載荷，創(chuàng)建出如圖4所示傳動(dòng)軸的虛擬樣機(jī)模型(系列1)，5組系列參數(shù)設(shè)置相同。

圖4 傳動(dòng)軸虛擬樣機(jī)模型

兩端簡(jiǎn)支梁(圖5)最大撓度為[14]：

圖5 兩端簡(jiǎn)支梁彎曲簡(jiǎn)圖

由式(9)可知，在相同受力情況下，長(zhǎng)度越長(zhǎng)，最大撓度越大。圖6是5組系列主傳動(dòng)軸管隨轉(zhuǎn)速變化對(duì)應(yīng)的軸管最大撓度，系列1～5，主傳動(dòng)軸管長(zhǎng)度逐漸減小，對(duì)應(yīng)最大撓度變化趨勢(shì)與理論一致，驗(yàn)證了本文建立仿真模型的準(zhǔn)確性。

2.2 不同軸管長(zhǎng)度匹配系列中間支承處振動(dòng)

中間支承安裝于車(chē)身底架上，傳動(dòng)軸的振動(dòng)會(huì)通過(guò)中間支承傳遞到車(chē)身，影響整車(chē)NVH性能。圖7～8分別是中間支承位移和振動(dòng)加速度隨轉(zhuǎn)速變化曲線圖。

圖6 5組系列主傳動(dòng)軸管最大撓度

圖7 不同軸管長(zhǎng)度系列中間支承位移

由圖7可知，5組系列中間支承位移整體變化不大，但在5000～7000 r/m in時(shí)，系列2位移波動(dòng)最小。由圖8可知，在650～2500 r/min時(shí)，5組系列中間支承振動(dòng)較小，在2500～7000 r/min時(shí)，系列1、系列5中間支承除加速度較大，系列2中間支承處振動(dòng)加速度最小，并且波動(dòng)幅度小于其余4組系列。

圖8 不同軸管長(zhǎng)度系列中間支承振動(dòng)加速度

2.3 結(jié)果分析與討論

(1) 在低速段，不同系列中間支承位移隨轉(zhuǎn)速變化不大，且不同系列中間支承處加速度較小，說(shuō)明低速段，軸管長(zhǎng)度匹配對(duì)傳動(dòng)軸動(dòng)力學(xué)特性影響不大。

(2) 在高速段，不同系列中間支承位移波動(dòng)幅度不一，且不同系列中間支承處振動(dòng)隨轉(zhuǎn)速增加呈上升趨勢(shì)，說(shuō)明高速段，不同軸管長(zhǎng)度匹配對(duì)傳動(dòng)軸動(dòng)力學(xué)特性有一定影響，且從仿真結(jié)果看，隨著兩軸管長(zhǎng)度差縮小，其振動(dòng)幅度越來(lái)越大，與兩軸管固有特性接近造成振動(dòng)疊加有關(guān)。

3 結(jié) 論

(1) 基于 Euler-Bernoulli梁理論分析得單根軸管與軸管組合臨界轉(zhuǎn)速，通過(guò)臨界轉(zhuǎn)速經(jīng)驗(yàn)公式驗(yàn)證了該理論計(jì)算的準(zhǔn)確性，可用于指導(dǎo)軸管長(zhǎng)度設(shè)計(jì)。

(2) 通過(guò)ADAMS軟件分析了不同系列傳動(dòng)軸的動(dòng)力學(xué)特性，低速段，不同長(zhǎng)度匹配對(duì)動(dòng)力學(xué)特性影響不大，在高速段，其動(dòng)力學(xué)差異性較為明顯，綜合比較得出了最優(yōu)系列，對(duì)傳動(dòng)軸軸管的長(zhǎng)度匹配研究具有一定指導(dǎo)意義。

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Research on Length Matching of Micro-Vehicle’s Shaft Pipe Based on Euler-Bernoulli Theory

Huang Fengyun1, Zhu Jianguo1, Zhou Zihan1, Shi Lei2

(1. School of Mechanical and Electronic Engineering, Wuhan University of Technology, Wuhan Hubei 430070, China; 2. SAIC Commercial Vehicle Technology Center, Shanghai 201203, China)

Take one micro-vehicle’s transm ission shaft as the research object, and based on Euler-Bernoulli beam theory, the differential equation of single shaft pipe with different lengths and shaft pipes with different length matching are built. Natural bending frequency and corresponding first critical speed is calculated, which is verified that the maximum rotational speed of researched transm ission shaft is lower than the first critical speed, as a result, it can avoid resonance. To confirm the best kinetic performance series, five prototypes of transm ission shaft are built, and analyze their kinetic performance, which w ill give a theoretical basis and simulation reference for the length matching of shaft pipe.

shaft pipe; Euler-Bernoulli beam theory; length matching; virtual prototype

U 462.2；TH 113.1

10.11996/JG.j.2095-302X.2016030405

A

2095-302X(2016)03-0405-05

2015-07-20；定稿日期：2015-11-15

廣西科技廳資助項(xiàng)目(桂科合1346011-6)

黃豐云(1971–)，男，湖北武漢人，副教授，碩士。主要研究方向?yàn)闄C(jī)電一體化、機(jī)械設(shè)計(jì)、微型汽車(chē)的NVH研究。E-mail：1076499960@qq.com