基于頻譜邊緣檢測和Radon變換估計運動模糊圖像的方向

加春燕， 崔 麗

(1. 北京工業職業技術學院基礎教育學院，北京 100042；2. 北京師范大學數學科學學院，北京 100875)

基于頻譜邊緣檢測和Radon變換估計運動模糊圖像的方向

加春燕1， 崔 麗2

(1. 北京工業職業技術學院基礎教育學院，北京 100042；2. 北京師范大學數學科學學院，北京 100875)

為了準確估計運動模糊圖像的方向，在理論推導部分，以定積分、Fourier變換和Sinc函數的性質為依據，得出了運動模糊方向、圖像尺寸和頻譜圖像平行條紋方向三者的關系。在算法優化部分，系統分析了Radon變換法、Gabor變換法和頻譜分塊法的原理和不足，并提出了基于頻譜邊緣檢測和Radon變換的改進算法。在數值實驗部分，編寫Matlab程序對幾種方法進行了測試和比較，結果表明，該方法的估計精度最高，更適用于估計運動模糊圖像的方向。

運動模糊圖像的方向估計；頻譜邊緣檢測；Radon變換；Gabor變換；頻譜分塊法

實際成像過程中，因相機與被攝物體之間的相對運動而造成的模糊通常被稱為運動模糊，運動模糊圖像的恢復在天文、軍事、道路交通及醫學圖像等各個領域中都有廣泛的應用。由于運動模糊效應取決于運動方向和運動長度，且運動長度的估計又依賴于運動方向的估計[1]，故本文研究了運動方向的估計方法。目前估計運動方向最常用的是Radon變換法[2]，根據頻譜圖像中的平行條紋特征來估計運動方向，容易操作且準確度較高，但當運動長度較小或圖像受到噪聲干擾時，由于頻譜圖像中的條紋特征不顯著且受到頻譜中心亮十字的干擾，導致估計誤差較大，對其改進較好的方法包括 Gabor變換法[3]和樂翔等[4]提出的頻譜分塊法，但這兩種算法的運算量較大不易操作，且未考慮圖像尺寸問題。為此，本文先進行理論分析，推導圖像尺寸、運動模糊方向角和頻譜圖像中的平行條紋方向角三者的關系，再尋找一種改進算法，既能突出頻譜圖像的條紋特征，又能保證運算量較小容易操作，且估計精度要高于現有的方法。此外，對于實拍的運動模糊圖像，利用本文算法估計方向角后再進行圖像恢復，要保證恢復效果較好，才能體現本文算法的應用價值。

1 理論推導

將圖像視為點集，每點對應一個像素值，可記為 f( x,y)，其中x和y代表該點的行、列位置。運動模糊過程可以理解為：一幅本來清晰的圖像f，受到運動模糊(其核函數記為kL,α)及其他細微噪聲r(如光照等，理想狀態下可視為0)的“污染”，退化為實際觀測到的圖像g，這一現象可用如下卷積方程來刻畫：

其中，kL,α通常被稱為運動模糊核函數，L代表運動模糊長度，α代表運動模糊方向角。由于變速非直線的運動可分解為分段勻速直線運動，因此本文提到的運動模糊均指勻速直線運動模糊，即L 和α均為常數。圖像恢復的目的就是從 g入手，結合kL,α和r的相關信息來重構圖像，重構結果越清晰越好。顯然，準確估計運動模糊參數L和α是前提，事實上，一旦估計出α，便可將二維圖像在該方向上降解為一維數據，從中容易算出L[1]，估計運動模糊方向角α的推導過程如下：

(1) 為方便推導，暫不考慮其他噪聲(r=0)，設x0(t)和y0(t)分別為t時間內像素點在x和y方向上的變化分量，T為相機曝光時間，于是有：

(2) 對式(2)進行Fourier變換，記G、F和K分別為g、f和kL,α的Fourier 變換函數，則：

因此 kL,α(x,y)的Fourier變換函數 K( u, v)為：

(3) 設a、b是在曝光時間T內像素點在x、y方向上移動的距離，則：

代入式(4)，計算定積分可得：

(4) 設圖像尺寸為M×N，對式(6)進行離散化得：

顯然，當圖像為方圖即M=N時，模糊方向與暗條紋方向垂直，這也是大多數文獻所使用的結論[1-4]，但當M和N不等時二者并不垂直。圖1通過兩個測試圖像展示了式(8)中的角度關系，其中圖 1(a)和(c)中的運動模糊方向角α的真實值均為45°，用本文 2.3節的方法檢測出圖 1(b)中平行條紋方向角β為135°，代入式(8)得α估計值為45°，同理圖1(d)中β為153°，代入式(8)得α約為44.8°，與45°十分接近。

圖1 運動模糊圖像及其頻譜圖像

2 運動模糊圖像方向的估計方法

2.1 Radon變換方法及其不足

為估計運動模糊方向角α，由式(8)需要先檢測頻譜圖像中的平行暗條紋方向角β，目前應用較多的是Radon變換方法，對于頻譜圖像G，其Radon變換為[2]：

可見，G的Radon變換是沿著距原點(圖像中心)ρ且與Y軸方向夾角為θ的線積分，由于運動模糊頻譜圖中有一組平行條紋(圖1(b)和(d))，則沿該方向的積分值必然最大，故而通過 Radon變換求最大值便可確定平行條紋的方向。但 Radon變換存在不足：①當模糊長度 L較小時頻譜圖中的平行條紋較少，此時用 Radon變換檢測不準；②頻譜圖像中心處的亮十字(圖 1(b)和(d))對 Radon變換的干擾較大，會誤檢為0°或90°。例如，對圖1(b)和(d)做Radon變換(圖2)，結果為90°和63°，真實值應是45°和63°(傾斜角β為153°，與Y軸夾角θ為63°)，在此，對圖1(b)誤檢為90°了。亮十字出現的原因，是因為當kL,α與f做完全卷積時，所得圖像 g的寬和高應比 f分別增加L cosα和L sinα ，然而，實際中相機成像空間固定，所得圖像在四周邊緣處會被截斷，陡峭的邊緣截斷導致中心化后的頻譜圖像中心出現了亮十字。大多數文獻未考慮此問題，因為測試圖像可以先進行邊界處理，但實拍圖像必然會有邊緣截斷，因此如何有效地消除亮十字是值得處理的問題。

圖2 圖1(b)和(d)分別做Randon變換檢測條紋方向

2.2 兩種改進方法及其不足

基于上述分析，改進 Radon變換應致力于兩個目標：①設法突出頻譜圖像中的平行條紋特征；②設法消除頻譜圖像中的亮十字。Gabor變換方法[3]是用Gabor變換將“窗口”聚焦圖像中心，從而減少了亮十字的干擾，但窗口函數(Gassian函數)中的參數需人為設定，實用性不強。樂翔等[4]提出了頻譜分塊的方法，具體作法是先檢測出亮十字位置，然后截取去除十字后的 1/4塊來做 Radon變換，對圖1(b)和(d)，可取十字的左上或右下塊，缺點是檢測亮十字位置的運算量較大容易出錯，且對于小尺度運動模糊情形誤差較大。此外，這兩種改進算法處理的均為方圖，默認了模糊方向與頻譜平行暗條紋方向垂直，未考慮圖像長寬不等的情形。

2.3 基于頻譜邊緣檢測和Radon變換的改進方法

邊緣檢測旨在提取目標與背景之間在灰度或者紋理特征上的突變邊界線，頻譜圖像中有明顯的亮暗相間的條紋，對其做邊緣檢測所得邊界線應與條紋方向平行，且能夠弱化亮十字的高灰度值，從而降低亮十字干擾。常用的邊緣檢測算子有Sobel算子、Laplacian of Gaussian(LoG)算子和Canny算子等，本文選用檢測性能較好的 Canny算子，采用先平滑后求導數的方法，邊緣點位于圖像被高斯平滑后的梯度值的極大值點[5]。對圖 1(b) 和(d)做Canny邊緣檢測(圖3(a)和(b))，突出了平行暗條紋的輪廓，雖然亮十字仍隱約可見，但相比強化后的平行邊界線，其干擾已經變得很微弱。

圖3 對圖1(b)和(d)先做Canny邊緣檢測再做Radon變換

根據前面的理論分析，改進的運動模糊方向角的估計算法如下：

(1) 通過二維 Fourier變換，求運動模糊圖像的頻譜G，且通常利用取對數來壓縮頻譜的灰度值范圍，增強暗條紋特征，一般取ln (1+|G|)；

(2) 使用 Canny算子對(1)中的結果進行邊緣檢測；

(3) 對(2)得到的二值化頻譜做 0°～180°的Radon變換，找出變換最大值對應的角度θ，該角度為頻譜暗條紋方向與 Y軸的夾角，因此暗條紋的傾斜角為；

(4) 結合圖像尺寸M和N代入式(8)，算出運動模糊方向角α。

借助Matlab軟件編寫程序，對圖3(a)和(b)做Radon變換，結果見圖3(c)和(d)，θ分別為45°和63°，于是β為135°和153°，代入式(8)計算，得到α分別為45°和44.8°，兩者的真實值均為45°，可見估計結果較為準確。

3 數值實驗及結果分析

為進一步驗證算法的準確性，選擇圖 1中的512×512大小的轎車圖和截取的 256×512車牌圖進行實驗，實驗中先用 Matlab工具箱中的“fspecial”命令人為設置運動模糊，模糊角度α取5°、45°、80°和150°，模糊長度L取8、20和40，分別按照Gabor變換方法[3]、頻譜分塊方法[4]和本文算法對α進行估計，實驗結果給出了估計值及相應的誤差絕對值(表1～2)，其中角度的小數位按四舍五入取整。

表1 512×512轎車圖像實驗結果

表2 256×512車牌圖像實驗結果

表2數據顯示，當圖像長寬不相等時，由于文獻[3]和[4]錯誤地默認了頻譜暗條紋方向與模糊方向垂直，因此估算結果出錯，而本文算法考慮到圖像尺寸、頻譜暗條紋方向和模糊方向三者之間的關系，按照式(8)進行計算，最終估計結果比較準確，僅在小尺度模糊時出現了1或2像素的誤差。

圖 4展示了實拍的運動模糊車牌圖像及其恢復結果，對于第一行的車牌圖像，α角的估計結果：本文算法為150°，Gabor變換法為145°，頻譜分塊法為143°，長度L用文獻[6]的方法計算分別為13像素、10像素和8像素，按文獻[7]的方法對圖像進行恢復，從圖 4可以看出，本文算法恢復效果最好。第二行是車輛過收費站時的模糊圖像，從中截取了車牌部分進行參數估計，本文算法估計出α為0°，L為6像素，Gabor變換法的結果為5°和10像素，頻譜分塊法的結果為12°和20像素，對應的恢復效果見圖4，仍然是本文算法恢復結果最好，能辨認車牌數字為 4142，但其余信息無法確定，因為此圖像除了運動模糊之外，可能還存在光照、大霧等其他因素影響，導致參數估計不準確，且過多的噪聲也給圖像恢復帶來了困難。

圖4 運動模糊圖像及本文算法、Gabor變換法和頻譜分塊法的恢復結果

4 結 束 語

準確估計運動模糊方向是恢復運動模糊圖像的關鍵步驟，本文經理論推導，得出了運動模糊方向、圖像尺寸和頻譜圖像中平行條紋方向之間的關系，并提出了基于頻譜邊緣檢測和 Radon變換的估計方法，該方法一方面突出了頻譜圖像中的暗條紋特征，另一方面減少了頻譜圖像中的亮十字干擾，使得 Radon變換檢測角度更加精確，數值實驗部分表明本文的方法不僅適用于任意尺寸的運動模糊圖像，而且在其他噪聲干擾較小的情況下，對運動模糊圖像方向的估計精度更高，但當噪聲較大時，頻譜圖像中的平行暗條紋特征減弱甚至消失，導致 Radon變換無法正確檢測角度，因此，有必要進一步分析噪聲干擾的情形，繼續改進算法使其具有更廣泛的應用價值。

[1] Zhao Z H, Zhang L N, Liu X P, et al. A lgorithm for the removing uniformed motion blur [J]. Computer Aided Drafting, Design and Manufacturing, 2014, 24(4): 20-25.

[2] 龐 濤, 程小平. 基于 Radon變換的運動模糊圖像參數估計[J]. 科學技術與工程, 2010, 10(22): 5551-5554.

[3] 加春燕, 崔 麗, 黃海洋. Gabor 變換估計模糊角度[J]. 北京師范大學學報, 2009, 44(6): 563-567.

[4] 樂 翔, 程 建, 李 民. 一種改進的基于 Radon 變換的運動模糊圖像參數估計方法[J]. 紅外與激光工程, 2011, 40(5): 963-969.

[5] 孫兆林. Matlab 6. x 圖像處理[M]. 北京: 清華大學出版社, 2002: 132-134.

[6] 加春燕. 運動模糊圖像運動長度的頻譜估計法[J]. 北京工業職業技術學報, 2015, 14(1): 51-54.

[7] Huang H Y, Jia C Y, Huan Z D. On weak solution for an image denoising-deblurring model [J]. Applied Mathematics, 2009, 24(3): 81-86.

Direction Estimation of Motion Blurred Images Based on Edge Detection of Spectrum and Radon Transform

Jia Chunyan1, Cui Li2

(1. Fundamental Courses Department, Beijing Polytechnic College, Beijing 100042, China; 2. School of Mathematical Sciences, Beijing Normal University, Beijing 100875, China)

To accurately estimate direction of motion blurred images, in the part of theoretical derivation, the relationships among motion blur direction, image size and direction of parallel dark stripes in the spectrum images are derived based on know ledge of definite integral, Fourier transform and the Sinc function. In the part of algorithm optim ization, the principle and deficiency of Radon transform, Gabor transform and spectrum sub–blocks method are analyzed. And then the improved algorithm based on edge detection of spectrum and Radon transform is presented. In the part of numerical experiments, by use of Matlab programs, comparison results of the three methods proved the accuracy of our improved method is the highest, which shows our method is more suitable for estimating direction of motion blurred images.

direction estimation of motion blurred images; edge detection of spectrum images; Radon transform; Gabor transform; spectrum sub-blocks method

O 29

10.11996/JG.j.2095-302X.2016030434

A

2095-302X(2016)03-0434-05

2016-02-26；定稿日期：2016-03-28

國家自然科學基金項目(11001017)

加春燕(1983–)，女，山西臨汾人，講師，碩士。主要研究方向為數學建模、應用數學。E-mail：jiachunyan0@163.com