基于NSCT的自適應乘性水印局部最優非線性盲檢測算法

葉建兵， 張文彬

(南京理工大學泰州科技學院，江蘇 泰州 225300)

基于NSCT的自適應乘性水印局部最優非線性盲檢測算法

葉建兵， 張文彬

(南京理工大學泰州科技學院，江蘇 泰州 225300)

圖像水印算法研究是多媒體技術領域中的重要議題。比較并結合當前兩類主流的圖像水印算法，提出了一種基于非下采樣 Contourlet變換的自適應乘性水印算法。借鑒 Barni的“pixel-w ise masking”模型和冗余小波域掩蓋效應建模的做法，建立非下采樣Contourlet變換域掩蓋效應計算模型。用廣義高斯分布模型和Cauchy分布模型描述非下采樣Contourlet變換系數的統計特性，將水印的檢測問題表述為一個復合假設檢驗。通過理論推導分別建立了乘性水印的兩種局部最優非線性盲檢測器及檢測門限的自適應確定方法。實驗結果表明，非下采樣Contourlet變換域掩蓋效應計算模型使得水印嵌入算法具有良好的視覺不可見性，兩種檢測器在無原始圖像和自適應嵌入強度系數參與檢測的情況下均能準確地檢測到水印信息的存在。實驗結果同時顯示，基于 Cauchy分布的盲檢測器在檢測效果和檢測時間方面優于基于廣義高斯分布的盲檢測器。

非下采樣Contourlet變換；廣義高斯分布；對稱α-穩定分布；柯西分布；自適應乘性水印；局部最優非線性檢測器；盲檢測器

數字水印是多媒體技術研究領域中的重要議題，用來解決版權保護等實際問題。數字水印算法的研究主要在圖像的變換域中展開，是為了解決水印算法必須滿足的不可感知性和魯棒性的矛盾，即在圖像的變換域中可以引入人類視覺系統(human visual system，HVS)特性，通過計算變換域系數的掩蓋效應模型，在保證水印嵌入信息不可感知的前提下使得算法有更好的魯棒性。最經典的掩蓋效應計算模型是Barni等[1]在小波域中建立的“pixel-w ise masking”模型，該模型由圖像壓縮領域的研究成果改進而來。由于Barni模型的有效性，其一直以來受到研究者們的廣泛關注，并被不斷改進從而應用到 Contourlet變換(Contourlet transform，CT)以及非下采樣 Contourlet變換(nonsubsampled Contourlet transform，NSCT)的視覺掩蓋建模中。

文獻[2]在冗余 Contourlet變換域(redundant Contourlet transform，RCT)、文獻[3-4]分別在CT域中建立了變換系數的掩蓋模型，將水印信息以加性方式嵌入到子帶系數中，用相關檢測器實現水印的檢測。文獻[5]則進一步考慮了 NSCT在水印算法研究中的優勢，建立了相應的系數掩蓋模型，水印的嵌入和檢測算法與文獻[1]和[3]中的方案一致(文獻[3]給出的檢測閾值有誤)。文獻[6]提出了一種 NSCT域的圖像隱寫算法，其中掩蓋模型與文獻[5]的模型完全相同(文獻[6]給出的掩蓋模型有一處小的錯誤)。

上述算法均采用了加性方案嵌入水印。CT域的乘性水印最早由文獻[7]給出，該算法沒有考慮變換域的視覺掩蓋效應，采用廣義高斯分布(generalized Gaussian distribution，GGD)描述高頻方向子帶系數的統計分布特性，但是分析發現其檢測器實質上等同于文獻[8]給出的一致最優勢檢測器(uniform ly most powerful detector，UMP)，檢測器需要知道水印嵌入強度的準確信息，不滿足盲檢測的要求。該檢測器的優勢實質上只是相對于相關檢測器而言。GGD模型在對CT子帶系數的統計建模中得到了廣泛應用，文獻[9]的水印算法也采用了GGD模型，并在水印檢測端用最大似然(maximum likelihood，M L)決策準則構建了一個最優檢測器。文獻[10]則用單變量和雙變量的SαS作為CT子帶系數的統計模型，并用Cauchy分布簡化檢測器的設計，同時降低計算復雜度。該檢測器實質也是UMP檢測器，同樣需要嵌入強度的準確信息。

表 1給出了現有算法的比較分類。在已有的報道中，常用GGD及SαS建模具有高尖峰、長拖尾分布的變換系數。本文充分考慮 NSCT在水印算法研究中的優勢，用上述兩種分布描述系數的邊緣統計特性，將水印信息以乘性方案嵌入經選擇的變換系數，建立系數的視覺掩蓋計算模型作為控制嵌入強度的權重因子，運用統計判決理論，設計適用于自適應乘性水印的局部最優非線性盲檢測器，并給出檢測門限的確定方法。

表1 現有算法的比較分類

1 CT與NSCT

文獻[11]提出了一種有效的圖像表示方法CT，該變換由拉普拉斯塔式(Laplacian pyram id, LP)分解和方向濾波器組(directional filter banks, DFB)分解組合實現。前者執行一次將圖像分解為一個低頻子帶及一個高頻子帶，后者對高頻子帶進一步進行方向分解，整個過程在LP分解得到的低頻子帶上迭代進行，最終獲得圖像多分辨率、多方向性的表示，其方向性靈活，允許每個分辨率上有不同數量的方向數。

CT在LP分解和DFB分解的兩步構造中都存在下采樣，使其不具有平移不變性。平移不變性對圖像處理至關重要，例如文獻[5]認為由于正交小波變換沒有平移不變性，嵌入水印的小波系數重構后在圖像的邊緣出現了一些偽影。

文獻[12]指出CT的基函數在頻域上不夠局部化，方向子帶之間存在頻譜混疊，導致變換系數不夠稀疏，系數之間有一定相關性。文獻[13]則進一步分析了混疊的來源和影響，給出了解決方案。對自適應水印算法而言，頻譜混疊影響了子帶系數掩蓋效應的估計。文獻[14]提出的NSCT與CT的結構相同，利用非下采樣 LP分解和非下采樣DFB分解連接實現。兩步構造均是非下采樣，這使得 NSCT具有平移不變性，同時也不存在頻譜混疊[13]，這些優勢是以高度冗余性為代價的。文獻[5]研究了NSCT的高冗余性在水印算法中的應用。本文選擇NSCT作為水印信息的嵌入域。

2 NSCT域掩蓋效應計算模型

本文在Barni模型基礎上，借鑒冗余小波域掩蓋效應建模的做法[15]，提出 NSCT域掩蓋效應計算模型。文獻[5]中NSCT將一幅圖像分解為4個尺度(l=0，1，2，3)，從l=3到l=0精細尺度上方向子帶數目依次為4，4，4，8，水印信息嵌入在l=0尺度上沿對角線方向的4個子帶(編號為0，3，4，7)中。本文將4個尺度上的方向子帶數目都分解為8，水印信息選擇嵌入在l=0尺度上能量最大的方向子帶中。NSCT域掩蓋效應計算模型考慮了子帶系數的噪聲掩蓋、亮度掩蓋和紋理掩蓋，以下簡要描述該模型的實現方法。

HVS對不同尺度、不同方向(尤其45°方向)上高頻子帶系數中的噪聲較不敏感，NSCT的l尺度、d方向子帶系數對噪聲的掩蓋因子Θ(l,d)定義為：

HVS對圖像亮度較大或較小區域內的噪聲較不敏感，l尺度上某個方向子帶（i, j）位置系數的亮度掩蓋因子 Λ (l ,i,j)定義為：

HVS對圖像復雜紋理區域內的噪聲較不敏感，但對邊緣附近的噪聲較敏感。由于 NSCT的實現過程沒有下采樣，系數的結構與CT不同，借鑒冗余小波域掩蓋效應建模的做法[15]，l尺度上某個方向子帶（i, j）位置系數的紋理掩蓋因子Ξ（l,i,j）定義為：

綜合上述3種掩蓋效應，得到NSCT的l尺度、d方向子帶系數）的掩蓋效應計算模型為：

3 兩種統計分布模型及其參數估計

3.1 GGD及其參數估計

零均值GGD的概率密度函數定義為[16]：

對于服從零均值 GGD 的樣本X=（x1, x2,…,xL），可以證明其總體的一階絕對矩μ1(零均值 GGD的概率密度函數為偶函數，總體一階原點矩為零，這里用一階絕對矩)和二階矩μ2分別為[13]：

定義廣義高斯參數比函數：

其中，R-1為R的反函數，其解析表達式很難得到，文獻[13]和[17]給出的 R-1的解析表達式為：

由此得到參數β的估計值精度最高，也容易實現。將式(9)代入式(6)，得到參數α的估計值為：

3.2 Cauchy分布及其參數估計

大量研究表明，α-穩定分布非常適合用來建模具有高尖峰、長拖尾分布特征的隨機變量。一個隨機變量X服從α-穩定分布，X ～Sα（γ, β,δ），特征函數具備如下形式[18]：

其中符號函數：

當β=0時，Sα（γ, β,δ） 稱為對稱α-穩定分布(symmetric α-stable distribution，SαS)。δ=0時SαS的概率密度函數當α=1(Cauchy分布)，α=2(高斯分布)時才存在封閉的顯式形式，其他情況下的概率密度函數可以通過冪級數展開實現[18]。

SαS已經被用來建模 DCT的交流系數[19]、Curvelet變換系數[20]以及 CT系數[10,18]的統計特性。由于SαS的概率密度函數當0＜α＜1以及1＜α＜2時不存在封閉的顯式形式，為降低計算復雜度，同時簡化水印檢測器的設計，文獻[10] 和[19-20]均采用了SαS當α=1時的特例 Cauchy分布描述系數的統計特性。

參數γ可用極大似然估計法[21]求得，其中同樣需要用到New ton-Raphson迭代的數值方式，初值選取及迭代過程參見文獻[21]。

本文采用一種快速方法[21-22]來估計參數γ。由于服從Cauchy分布的隨機變量不存在有限的總體矩，參數γ的矩估計值不存在。作為SαS的一個特例，參數γ的一種快速估計法為：

本文在參數估計時用式(9)、(11)和(15)給出的快速參數估計法。

4 NSCT系數的統計特性

本文的統計特性是指系數的邊緣統計模型，即將子帶系數視為從總體中抽樣的結果，這些系數是服從獨立同分布(independent identically distributed，IID)的隨機變量。邊緣統計建模的任務是為總體尋找一個合適的概率分布模型，通過子帶系數做參數估計，進而獲得總體的概率分布模型，為水印檢測器的設計提供依據。

為直觀分析 NSCT系數的邊緣統計特性，給出測試圖像“Lena”在l=0尺度上 8個方向子帶系數的直方圖，如圖1所示。

圖 1表明，變換系數在零點附近呈現近似對稱分布，且近似在零點處形成一個高尖峰，即變換系數具有明顯的非高斯性。同時，分布的兩邊有長拖尾。為定量衡量一個隨機變量的非高斯性，這里采用峰度(Kurtosis)指標。一個隨機變量 x的峰度定義為：

高斯分布的峰度為3。若隨機變量x服從超高斯分布，其峰度大于3，峰度越大，分布越陡峭，形成高尖峰。若隨機變量x服從亞高斯分布，其峰度小于3，峰度越小，分布越平坦。表2給出了測試圖像“Lena”在4個尺度上的所有方向子帶系數的峰度。

圖1 “Lena”在l=0尺度上8個方向子帶系數的直方圖

表2 “Lena”在4個尺度上的所有方向子帶系數的峰度值

由圖1及表2可見，測試圖像“Lena”的NSCT高頻方向子帶系數服從超高斯分布，且具有明顯的長拖尾特性。本文分別用零均值GGD和δ=0的Cauchy分布作為NSCT高頻方向子帶系數的統計模型，以此分別設計相應的水印檢測器。圖 2給出了l=0，d=2子帶系數的擬合結果，由圖2可見Cauchy分布的擬合效果較好。

圖2 子帶系數兩種統計分布模型的擬合結果

5 水印的嵌入算法

水印的嵌入算法如下：

(1) 將原始圖像分解為4個尺度(l=0，1，2，3)，每個尺度上的方向子帶數目都分解為8，用密鑰生成[–1,1]區間上均勻分布的偽隨機序列作為水印信息。

(2) 水印信息選擇嵌入在l=0尺度上能量最大的方向子帶中，方向子帶的能量計算公式為：

(3) 按乘性規則嵌入水印：

(4) 逆變換得到含水印圖像。

圖3給出了水印嵌入算法的流程圖。

圖3 水印嵌入算法的流程圖

6 水印的檢測算法

水印的統計檢測需要作一些基本假設，這被目前較多的研究所忽視，完整的基本假設參見文獻[23]。

6.1 自適應乘性水印的檢測統計量

設 NSCT方向子帶系數總體的概率密度函數為p（x） ，考慮自適應乘性水印的統計檢測問題，在s未知的盲檢測要求下，水印的檢測問題可表述為一個復合假設檢驗[8]：

局部最大勢(locally most powerful，LMP)檢測器(也稱局部最優檢測器，locally optimal detector，LOD)有兩種實現方式[23]：①由其定義實現，LMP檢測器的勢函數(檢測概率)在 s=0處的斜率的絕對值達到最大[8]；②將對數似然比在s =0處進行泰勒級數展開，忽略平方項及更高次冪項[20]。本文與文獻[8]一樣，采用第①種方式。在2種假設下，檢測器接收到向量y的條件概率密度分別為：

則LMP檢測統計量為[23]：

其中，p是使得勢函數導數非零的最小值，取p=1，LMP檢測統計量簡化為：

6.2 兩種分布模型下的LMP檢測統計量

在GGD模型下，式(20)可寫為：

為推導方便，記：

則：

利用式(25)和(26)可得：

在Cauchy分布模型下，式(20)可寫為：

經導數計算及一系列整理，得：

此時LMP檢測統計量(Cauchy檢測器)為：

6.3 LMP檢測門限的確定

水印檢測通常使用紐曼-皮爾遜(Newman-Pearson，NP)準則。該準則在保證虛警概率不超過給定值的約束條件下，使得檢測概率最大。檢測器門限由指定的虛警概率確定。

設在H0之下，LMP檢測統計量的均值和方差分別為：

在H1之下，LMP檢測統計量的均值和方差分別為：

由中心極限定理可知，TLMP（y）在H0和H1之下均漸進服從高斯分布，將其歸一化，指定虛警概率Pfa，則Pfa與門限λ的關系為：

其中， Q-1為Q的反函數。

6.4 兩種分布模型下0μ和的確定

在GGD模型下，當H0為真時， yi=xi，此時，

將式(41)代入式(39)，得：

在Cauchy分布模型下，當H0為真時，yi=xi，此時，

式(45)中令 xi=γt anθ ，經過一系列計算可得：

此時，

6.5 水印的檢測算法

(1) 用NSCT將待檢測圖像作與嵌入算法步驟中相同的分解，獲得待檢測子帶。

(2) 在盲檢測要求下，原始圖像無法獲得，可用快速估計法估計待檢測子帶的統計模型參數，以此替代原始圖像的統計模型參數[8]。

(3) 指定虛警概率，獲得相應的檢測門限。

(4) 檢測器已知水印信息，由此計算LMP檢測統計量并與檢測門限比較，判決水印是否存在。

表 3列出了本文推導出的檢測器結構及檢測門限中的參數值。圖 4給出了水印檢測算法的流程圖。

表3 檢測器結構及檢測門限中的參數值

圖4 水印檢測算法的流程圖

7 實驗與分析

本文實驗平臺為MATLAB R2012b，實驗圖像為256×256的“Lena”和“Barbara”灰度圖像，NSCT工具包采用“dmaxflat7”和“maxflat”濾波器，該工具包可從作者主頁獲得。計算機處理器為Intel Core i3-4150，3.50 GHz，內存為4 GB。

7.1 掩蓋效應和不可見性

圖 5(b)、(d)是按式(1)～(4)計算得到的“Lena”和“Barbara”圖像NSCT系數的掩蓋效應圖(為視覺效果，圖像經過了放大)。亮度較大的位置上允許較大的嵌入失真。

圖5 測試圖像的掩蓋效應圖

對圖6(a)、(c)的含水印圖像，用SSIM[24]作為客觀指標衡量圖像的質量，其值分別為 0.9932、0.9836(由作者提供的 ssim.m代碼中 Basic Usage計算得到)，表明本文提出的NSCT域掩蓋效應計算模型較好地滿足了水印嵌入的視覺不可見性要求。

圖 6(b)、(d)為含水印圖像與原始圖像的差值圖像(為視覺效果，圖像經過了放大)，可以看出差值基本都集中在邊緣部分，這和掩蓋效應圖的結果是一致的。

7.2 兩種檢測器的檢測結果及比較

用密鑰控制生成1 000個偽隨機水印序列，其中第500個為嵌入的水印序列，圖7分別給出了“Lena” 和“Barbara”圖像的GGD檢測器和Cauchy檢測器的檢測結果(虛警概率設置為 10–8，圖中的水平虛線表示當前的檢測門限)。

圖6 含水印圖像及其與原始圖像的差值圖像

文獻[2-5]雖然考慮了變換系數的視覺掩蓋，但是沒有考慮系數的統計特性，且水印嵌入使用了簡單的加性方式，因此檢測算法相對容易實現。本文提出用GGD及Cauchy分布描述NSCT系數的統計特性，使用統計判決理論，實現了相對較復雜的乘性水印的統計檢測。

注意到文獻[7]和[10]均使用固定嵌入強度，且檢測器需要固定嵌入強度的數值，其實質是UMP檢測器。本文算法考慮了NSCT系數的視覺掩蓋，每個系數的嵌入強度均不相同，這使得盲檢測實現比較困難。即便如此，圖 7表明本文提出的兩種局部最優非線性盲檢測器在無原始圖像和自適應嵌入強度系數參與檢測的情況下均準確地檢測到水印信息的存在。

觀察圖7可以發現，GGD檢測器在第500個水印序列處的響應值雖然高于檢測門限，但是高出的幅度不大，同時其他個別水印序列的響應值比較大，接近檢測門限，可能會出現虛警錯誤；Cauchy檢測器在第500個水印序列處的響應值明顯高于檢測門限，其他水印序列的響應值均比較小，遠低于檢測門限。這表明Cauchy檢測器的性能優于GGD檢測器。

圖7 兩種檢測器的檢測結果比較

表4給出了GGD檢測器和Cauchy檢測器的檢測耗時對比(這里的檢測耗時是指從待檢測子帶的統計模型參數估計到檢測器計算出檢測門限和1 000個水印序列的檢測響應值所消耗的時間)。可以看出，Cauchy檢測器的耗時遠小于 GGD檢測器，這主要得益于Cauchy檢測器只需要估計一個參數，檢測器的結構也比較簡單，檢測門限中的參數為常數。

表4 兩種檢測器的檢測耗時比較(s)

8 結 束 語

本文提出了一種基于 NSCT的自適應乘性水印算法，該算法結合了當前兩類圖像水印算法的特點，同時考慮了 NSCT域掩蓋效應計算模型和NSCT方向子帶系數的統計特性。算法的主要特點包括：

(1) 借鑒 Barni的“pixel-w ise masking”模型和冗余小波域掩蓋效應建模的做法，建立了 NSCT域掩蓋效應計算模型。該模型使得算法具有良好的視覺不可見性。

(2) 對于具有高尖峰、長拖尾分布的NSCT變換系數，提出用GGD及對稱α-穩定分布(SαS)的特例Cauchy分布描述其統計特性，討論了兩種統計模型的參數估計問題。

(3) 本文算法考慮了系數的掩蓋效應，因此各系數的嵌入強度均不相同，但是得益于將水印檢測表述為一個復合假設檢驗，理論計算推導出的NSCT域乘性水印局部最優非線性GGD盲檢測器和Cauchy盲檢測器均不需要原始圖像和自適應嵌入強度系數參與檢測。通過理論計算，本文還進一步給出了上述檢測器檢測門限的自適應確定方法。

實驗證實本文算法具有良好的視覺不可見性，且兩種檢測器在無原始圖像和自適應嵌入強度系數參與檢測的情況下均能準確地檢測到水印信息的存在。同時，實驗也表明Cauchy盲檢測器的性能優于GGD盲檢測器。

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Locally Optimal Nonlinear Blind Detection A lgorithm for Adaptive Multip licative Watermarks in NSCT Domain

Ye Jianbing, Zhang Wenbin

(Taizhou Institute of Science & Technology, Nanjing University of Science & Technology, Taizhou Jiangsu 225300, China)

Research of image watermarking algorithms is an important issue in the field of multimedia technology. By comparing and combing the current two leading watermarking algorithms, an adaptive multiplicative watermarking algorithm is proposed. Motivated by Barni’s “pixel-w ise masking” model and redundant wavelet domain masking effect modeling approach, the nonsubsampled Contourlet transform domain masking effect model is established. With generalized Gaussian distribution model and Cauchy distribution model to describe the statistical properties of the nonsubsampled Contourlet transform coefficients, the watermark detection problem is then addressed as a composite hypothesis testing. Theoretical analysis leads to two locally optimal nonlinear blind detectors for adaptive multiplicative watermarks as well as adaptive methods for determ ining detection thresholds. The experiment results show that the nonsubsampled Contourlet transform domain masking model achieves good visual invisibility, and watermarks can be accurately detectedwithout using the original images and the adaptive embedding strength factors. In addition, Cauchy distribution based blind detector is found superior to the blind detector based on the generalized Gaussian distribution both in terms of detection performance and detection efficiency.

nonsubsampled Contourlet transform; generalized Gaussian distribution; symmetric α-stable distribution; Cauchy distribution; adaptive multiplicative watermarks; locally optimal nonlinear detector; blind detector

TP 37

10.11996/JG.j.2095-302X.2016030417

A

2095-302X(2016)03-0417-11

2015-08-03；定稿日期：2015-11-13

江蘇省高校自然科學研究面上項目(14KJD110004)

葉建兵(1981–)，男，江蘇泰興人，講師，碩士。主要研究方向為多尺度幾何分析與數字圖像處理。E-mail：jbyetz@163.com