雙極能量輸運穩態模型弱解的存在性

董建偉，朱軍輝，王艷萍

(鄭州航空工業管理學院 理學院，鄭州 450015)

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雙極能量輸運穩態模型弱解的存在性

董建偉*，朱軍輝，王艷萍

(鄭州航空工業管理學院 理學院，鄭州 450015)

考慮一個半導體雙極能量輸運穩態模型，在Dirichlet-Neumann混合邊界條件下，利用截斷方法和Leray-Schauder不動點定理得到了其模型弱解的存在性. 研究結果表明，如果電子密度、空穴密度和粒子溫度在Dirichlet邊界處有正的上、下界，則它們在區域內部也有正的上、下界．

能量輸運模型； 穩態解； 存在性

1 引言和主要結果

描述亞微半導體器件中載流子運動規律的宏觀模型常見的有漂移-擴散模型、能量輸運模型和流體動力學模型. 由于漂移-擴散模型未考慮熱電子效應，在半導體器件的模擬中會給出不準確的結果，而完整的流體動力學模型形式過于復雜，不便于進行數值模擬，于是人們開始轉向研究能量輸運模型[1-7]. 最近，Jungel等人[8]從流體動力學方程組中推導出了一個簡化的能量輸運模型：

nt-div((nθ)+nV)=0，

(1)

div(nθ)=n(θ-θL(x))，

(2)

-ΔV=n-C(x)，x∈Ω，t>0，

(3)

其中電子密度n、電子溫度θ和電位勢V為未知函數；晶格溫度θL(x)和雜質密度C(x)為已知函數，Ω?Rd(d=1，2，3)為半導體器件所占據的有界區域.

文獻[8]在Dirichlet-Neumann混合邊界條件下得到了模型(1)～(3)的初邊值問題有界弱解的整體存在性，文獻[9-10]在Dirichlet邊界條件下分別證明了(1)～(3)的一維穩態模型古典解的存在性和唯一性，文獻[11]在Dirichlet-Neumann混合邊界條件下證明了(1)～(3)的多維穩態模型弱解的存在性. 與(1)～(3)相關的帶量子項的模型研究結果見文獻[12-15]．

本文研究對應于(1)～(3)的雙極穩態模型：

-div(θn)=div(n(θ+V))，

(4)

-div(θp)=div(p(θ-V))，

(5)

div((n+p)θ)=(n+p)(θ-θL(x))，

(6)

-ΔV=n-p-C(x)，x∈Ω，

(7)

其中電子密度n、空穴密度p、粒子溫度θ和電位勢V為未知函數；晶格溫度θL(x)和雜質密度C(x)為已知函數.

假設區域Ω的邊界?Ω∈C0，1，?Ω=ΓD∪ΓN，ΓD∩ΓN=?，ΓN是閉集，ΓD的d-1維Lebesgue測度是正的，即measd-1ΓD>0. ΓD表示半導體器件的歐姆聯結部分，ΓN表示絕緣邊界部分. 于是，對于模型(4)～(7)，提出如下邊界條件：

n=nD，p=pD，θ=θD，V=VD，x∈ΓD，

(8)

n·ν=p·ν=θ·ν=V·ν=0，x∈ΓN，

(9)

其中ν表示?Ω上的單位外法向量．

主要結果敘述如下：

注1 與文獻[11]相比較，本文考慮的是雙極模型，其耦合性要比文獻[11]中的單極模型復雜，對解的先驗估計比文獻[11]更精細，在利用Leray-Schauder不動點定理證明解的存在性時需要構造不同的不動點算子．

2 結果的證明

由于(4)、(5)、(6)三個方程都是退化的，所以考慮如下截斷問題：

-div(θm，Mn)=div(nα1，α2(θ+V))，

(10)

-div(θm，Mp)=div(pβ1，β2(θ-V))，

(11)

div((nα1，α2+pβ1，β2)θ)=

(nα2+pβ2)(θ-θL(x))，

(12)

-ΔV=nα2-pβ2-C(x)，x∈Ω，

(13)

其中

nα2=max{0，min{α2，n}}，

pβ2=max{0，min{β2，p}}，

nα1，α2=max{α1，min{α2，n}}，

pβ1，β2=max{β1，min{β2，p}}，

θm，M=max{m，min{M，θ}}，

α1，α2，β1，β2，m，M的定義見定理1．

定理1的證明需要如下引理.

引理1 設定理1中的條件成立，且(n，p，θ，V)∈(H1(Ω))4是問題(10)～(13)，(8)，(9)的解，則

且0<α1≤n≤α2，0<β1≤p≤β2，00僅可以與nD，pD，θD，VD，θL(x)，C(x)及Ω，d有關．

-∫Ω(nα2+pβ2)(θ-θL(x))(θ-M)+dx≤0，

∫Ω(nα1，α2+pβ1，，β2)θ·θDdx-

∫Ω(nα2+pβ2)(θ-θL(x))(θ-θD)dx≤

(14)

由帶ε的Young不等式和Poincare不等式知

(15)

∫Ωθm，Mn·nDdx-

∫Ωnα1，α2(θ+V)·(n-nD)dx≤

-∫Ωnα1，α2(θ+V)·(n-α2)+dx=0，

同理可證β1≤p≤β2，x∈Ω. 引理1證畢．

V=σVD，x∈ΓD，V·ν=0，x∈ΓN

的唯一解，這里及后面的σ都滿足σ∈[0，1]，并設θ∈H1(Ω)是問題

θ=σ θD，x∈ΓD，θ·ν=0，x∈ΓN

-div(θm，M(θ+V))，

x∈Ω，n=σ nD，x∈ΓD，n·ν=0，x∈ΓN

和

-div(θm，M(θ-V))，

x∈Ω，p=σ pD，x∈ΓD，p·ν=0，x∈ΓN

的唯一解. 則算子

T:L2(Ω)×L2(Ω)×[0，1]→

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Existence of weak solutions to a stationary bipolar energy-transport mode

DONG Jianwei, ZHU Junhui, WANG Yanping

(School of Mathematics and Physics, Zhengzhou Institute of Aeronautical Industry Management, Zhengzhou 450015)

A stationary bipolar energy-transport model for semiconductors is considered. Under the mixed Dirichlet-Neumann boundary conditions, the existence of weak solutions to the above model is obtained by using the truncation method and the Leray-Schauder fixed-point theorem. It is shown that the electron density, the hole density and the particle temperature possess positive upper and lower bound within the domain if they are bounded positively from below and above by the Dirichlet boundary of the domain.

energy-transport model; stationary solution; existence

2016-03-10.

河南省科技廳基礎與前沿技術研究計劃項目 (162300410077)；航空科學基金項目(2013ZD55006)；河南省高等學校青年骨干教師資助計劃項目(2013GGJS-142)；河南省教育廳科學技術研究重點項目(12A110024)；鄭州航空工業管理學院青年科研基金(2013111001，2014113002，2015113001).

1000-1190(2016)05-0641-04

O 175.2

A

*通訊聯系人. E-mail: dongjianweiccm@163.com.