剪切集的上盒維數的一種等價刻畫

殷峰麗，王 聰

(1.周口師范學院 數學與統計學院，河南 周口 466001; 2.華中師范大學 數學與統計學學院，武漢 430079)

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剪切集的上盒維數的一種等價刻畫

殷峰麗1，王 聰2*

(1.周口師范學院 數學與統計學院，河南 周口 466001; 2.華中師范大學 數學與統計學學院，武漢 430079)

剪切集； 上盒維數； 間隔序列

上盒維數是分形幾何中非常重要的概念，也有著十分廣泛的應用.本文著重考慮剪切集這一類分形集的上盒維數. Falconer在文[1]給出一維剪切集E的上盒維數和間隔序列的關系，即

其中{αi}i≥1是集合E的間隔序列.饒輝等人在文[2]給出滿足一定條件，上述結果可以推廣到高維.本文在此基礎上給出了剪切集上盒維數的另一種刻畫：

應用此刻畫，證明了文獻[3-5]中的關于齊次Cantor集上盒維數的一個主要結論.該結論對齊次Cantor集填充維數的計算起著關鍵性的作用．

1 預備知識

2 主要結論及證明

證明 首先，證明

成立．

(記n0=1)．

其次，證明

成立．

證明 由于

和定理1.3可得

定理3.1[2]設E是d的緊集.如果存在一個常數C和一個趨向于0的序列k≥1且滿足=1，以及E(δk)的每一個連通分支的勒貝格測度都小于，則

由定理2.2可得

[1] FALCONER K. Techniques in Fractal Geometry[M].Chichester，1997．

[2] RAO H，RUAN H J，YANG Y M. Gap sequence，Lipschitz equivalence and box dimension of fractal sets[J].Nonlinearity，2008，21(6):1339-1347．

[3] TRICOT C.Douze definitions de la densite logarithmique[J].C R Acad Sc Paris，1981，293:549-552．

[4] 文志英. 分形幾何的數學基礎[M].上海：上海科學技術教育出版社，1999．

[5] 豐德軍，文志英，吳 軍. 齊次Moran集的維數[J].中國科學(A)，1997，27(1):1-7.

[6] G B，ICD. On Kronecker’s lemma[J]. Gaz Mat，1980(2):57-59．

[7] BESICOVITCH A S ，TAYLOR S J. On the complementary intervals of a linear closed set of zero Lebesgue measure[J].Lond Math Soc，1945，29:49-59．

[8] FALCONER K.Fractal Geometry[M].Mathematical Foundation and Applications. Chichester: John Wiley & Sons，1990．

An equivalent definition of the upper box dimension of cut-out sets

YIN Fengli1，WANG Cong2

(1.School of Mathematics and Statistics，Zhoukou Normal University，Zhoukou，Henan 466001;2.School of Mathematics and Statistics，Central China Normal University，Wuhan 430079)

cut-out set; upper box dimension; gap sequence

2016-07-06.

國家自然科學基金面上項目(11271148).

1000-1190(2016)05-0649-03

O192

A

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