次大體積增長的流形的曲率與拓撲研究

薛 瓊，陳歡歡，陳愛云，肖小峰

(1.武漢理工大學 理學院，武漢 430070； 2.武漢紡織大學 機械工程與自動化學院，武漢 430073)

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次大體積增長的流形的曲率與拓撲研究

薛 瓊1*，陳歡歡1，陳愛云1，肖小峰2

(1.武漢理工大學 理學院，武漢 430070； 2.武漢紡織大學 機械工程與自動化學院，武漢 430073)

該文研究了一類具有非負Ricci曲率和α(α∈[0，2])次衰減截曲率下界的完備非緊黎曼流形.利用Toponogov型比較定理和臨界點理論，證明了該流形在一定次大體積增長條件下具有有限拓撲型，從而推廣了J.Sha、Z.Shen和C.Xia的關于這類流形的一系列結果.

Ricci曲率； 次大體積增長； Excess函數； Busemann函數

由著名的Cheeger-Gromoll核心定理[1]知，具有非負截曲率完備非緊的黎曼流形具有有限拓撲型.但是，如果沒有其他限制條件，光有非負Ricci曲率的條件是不能得到這一個結論的.對此，Sha和Yang在[2]中構造出了相應的反例.熟知，非負Ricci曲率完備非緊的n維黎曼流形具有如下的體積增長估計：

c(n)vol[B(p，1)]r≤vol[B(p，r)]≤ωnrn，

其中，c(n)是一常數，ωn是Rn中單位球的體積.于是可以

定義1[3]設M是具非負Ricci曲率完備非緊的黎曼流形，若

則稱M具有大體積增長.

定義2 設M是具非負Ricci曲率完備非緊的黎曼流形，若

則稱M具有小體積增長．

Bishop-Gromov體積比較定理[4]的一個重要應用是研究具有非負Ricci曲率和二次衰減截曲率下界的非緊Riemann流形在一定體積增長條件下的有限拓撲型問題．

當α=2時，稱M在基點p處具有系數為C的二次衰減截曲率下界．

1 預備知識及引理

在引出結論之前，先給出一些記號．

(1)

(2)

其中

(3)

令In(r)rn-1=Jn(r)，那么當r>π，In(r)是關于r單調遞減函數．

本文研究一類完備非緊n維Riemann流形滿足RicM≥0，

(4)

(5)

其中，R是一給定的大的常數．

注 這里M滿足(4)、(5)是既非大體積增長又非小體積增長，稱M具有次大體積增長．

記∑為p點處切空間TpM上單位球SpM的一個閉子集.令

∑p(r)={v∈SpM|γ(t)=expp(tv)∶[0，r)→M是一條極小測地線}．

注意

引理1[10]設(M，g)是具有非負Ricci曲率的完備非緊n維Riemann流形，且滿足(4)-(5)，則對任意的x∈?B(p，r)和足夠大的r，有

h∶=d(x，B∑p(2r)(p，2r))≤

(6)

為了證明定理，還需如下定義和引理.首先給出截曲率的Toponogov型比較定理，這是臨界點理論的基礎．

定義5 對任意p，q∈M，p，q的Excess函數定義為

epq(x)=d(x，p)+d(x，q)-d(p，q)，

其中d(p，q)表示從p到q的距離．

結合以上定義及關于邊的Ricci曲率的Toponogov型比較定理[12]，Z.Shen在[13]中得到了推廣的Excess估計，給出了一個上界．

若對任意的(k+1)維子空間V?TpM中的一組標準正交基{ei，…，ek+1}，曲率張量R(x，y)z滿足

(7)

這里h=d(x，γ)，s=min(d(p，x)，d(q，x))．

定義6 對任意r>0，記S(p，r)為以p為中心以r為半徑的測地球面.定義Bp∶M→M為

Bp(x)∶=d(x，S(p，2r(x)))-r(x)，

其中，r(x)∶=d(p，x).這是典型的Busemann函數．

J.Sha和Z.Shen在[7]中證明了

那么M具有有限拓撲型．

2 主要結果及其證明

利用Busemann函數與Excess函數的關系，可以證明如下結論，

(8)

那么M具有有限拓撲型．

證明 對任意的x∈M，記r(x)=d(p，x).設γ:[0，2r(x)]→M是從點p到點q=γ(2r(x))的一條極小測地線，使得

h∶=d(x，γ)=d(x，B∑p(2r(x))(p，2r(x))).

根據引理1中的(6)，可知當r(x)>R時，

(9)

注意min(d(p，x)，d(q，x))≥r(x)．

再通過引理3中的(7)和(9)及Bp(x)的定義，可得

那么

應用Toponogov型比較定理和距離函數的臨界點理論又可證明：

(10)

那么M具有有限拓撲型．

(11)

對任意的x∈M，記r=d(p，x)>R.只需證明x點不是p點的臨界點即可.設γ:[0，2r]→M是從點p到點q=γ(2r)的一條極小測地線，使得

h∶=d(x，γ)=d(x，B∑p(2r)(p，2r)).

由引理1中的(6)，條件(10)及ε的選取，可知當r>R時，

(12)

作一條從x到q的極小測地線σ.對任意的從x到p的極小測地線σ1，取

(13)

這里θ=∠(σ′(0)，σ′1(0))．

另一方面，取m∈γ使得d(x，m)=d(x，γ)，那么由三角不等式及(12)可得

[d(p，m)-d(p，x)]+[d(q，m)-d(q，x)]≥

(14)

把(14)帶入(13)，并結合(11)，得到

因此，x點不是p點的臨界點，故M具有有限拓撲型．

注 定理2中條件(10)包含了定理1中條件(8)，從而推廣了定理1.以上所得結果均推廣了J.Sha、Z.Shen和C.Xia的關于這類流形的一系列結果．

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Research on the curvature and the topology of manifolds with sub-large volwume growth

XUE Qiong1，CHEN Huanhuan1，CHEN Aiyun1，XIAO Xiaofeng2

(1.School of Science，Wuhan University of Technology，Wuhan 430070;2.School of Mechanical Engineering and Automation，Wuhan Textile University，Wuhan 430073)

In this paper，complete noncompact Riemannian manifolds are studied with nonnegative Ricci curvature and lower bound of α(α∈[0，2])-sectional curvature decay. By Toponogov’s comparison theorems and critical point theory，the above manifold is demonstrated to have finite topological type with certain sub-large volume growth，which extend these results presented by J.Sha，Z.Shen and C.Xia．

Ricci curvature； sub-large volume growth； excess function； Busemann function

2016-05-10.

國家自然科學基金項目(61573012); 中央高校基本科研業務費專項資金項目(2015IA010)．

1000-1190(2016)05-0652-04

53C20

A

*E-mail: rabbit_801005@163.com.