多導體傳輸線的鄰近效應和分布參數研究

逯貴禎 郭慶新 曾冬冬

(中國傳媒大學信息工程學院,北京100024)

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多導體傳輸線的鄰近效應和分布參數研究

逯貴禎 郭慶新 曾冬冬

(中國傳媒大學信息工程學院,北京100024)

隨著多導體傳輸線內各導體之間間距的減小,導體之間的近鄰效應對傳輸線的分布參數和傳輸特性的影響越來越大．為此,我們針對三種典型的傳輸線結構,分別建立了基于矢勢有限元方法分析的多導體傳輸線的模型,并分析了近鄰效應對磁通密度和分布電感的影響．利用提出的方法計算了同軸傳輸線的單位長度分布電感,并將它與采用解析方法得到的結果進行比較來證明該方法的正確性．計算雙線傳輸線在不同間距時的單位長度電感,與理論分析得到的結果相比較驗證了導線間距越小,近鄰效應對單位長度電感的影響越大．最后,計算考慮了近鄰效應的耦合微帶線的電感矩陣,并將它與其他不考慮近鄰效應的方法得到的結果相比較,說明近鄰效應對傳輸線電感矩陣的影響．

多導體傳輸線;近鄰效應;電感矩陣;矢勢有限元

DOI 10.13443/j.cjors.2015072201

引 言

高速數字電路和集成電路的發展,要求信號互聯線之間的間隔不斷減小,因此多導體傳輸線的橫向尺寸也在不斷減小,由此帶來信號線之間的干擾在不斷增大．目前研究人員也從不同的角度,例如瞬態分析[1-2]、分布參數等方面,對多導體傳輸線之間的互擾問題進行研究．實際上多導體傳輸線之間的互擾問題與傳輸線之間的電容矩陣、電感矩陣存在密切的聯系[3]．研究分析多導體傳輸線之間的電容矩陣和電感矩陣對于設計和優化高速數據信號的傳輸具有重要的工程應用意義．為了更加準確地分析和設計信號互聯線,精確的多導體傳輸線電容矩陣和電感矩陣的計算是非常重要的．

多導體傳輸線電容矩陣和電感矩陣的計算可以采用解析方法也可以采用數值方法進行計算．解析計算方法通常要求傳輸線的結構具有一定的規則形狀,比如柱形或圓柱形界面,且導體周圍的介質是均勻的．而數值計算方法沒有這個要求,可以適用各種復雜的結構,所以它的適用性很強．在眾多的數值計算方法中,有限元方法非常適用于各種橫截面的傳輸線結構和不均勻的復雜介質．研究人員已經利用有限元方法對各種傳輸線進行研究．如Musa采用有限元方法計算了多導體傳輸線的電容矩陣和電感矩陣[4]．他的方法首先采用靜電場的泊松方程計算多導體傳輸線的電容矩陣C,然后根據關系式:L=μ0ε0C-1,求出電感矩陣L．這種方法的一個不足之處是不能研究相鄰導體的近鄰效應．為了研究多導體傳輸線之間的近鄰效應,需要研究導體中電流分布對互感矩陣的影響．基于矢勢的有限元方法研究多導體傳輸線最早應用于電力傳輸系統．電力系統研究傳輸線的電流分布主要是研究趨膚效應對傳輸效率的影響以及場分布對環境的影響．如M.V.K. Chari和Z.J. Csendes[5]采用基于矢勢的有限元方法研究了多導體傳輸線中渦旋電流對導體電流密度分布的影響,特別是趨膚效應的影響．從物理原理看,導電介質中的渦旋電流會影響磁感應強度,進而影響電流密度分布．在該分析過程中,他假定矢勢A只有傳播方向的分量,而且在傳播方向的電流分量中忽略了位移電流的影響．在這個假定下,電場與磁場的相互影響被忽略,與標勢函數相聯系的電流作為驅動電流源,與矢勢A相聯系的渦旋電流是矢勢A的函數,所得到的微分方程是關于矢勢A的擴散方程．該方法針對開放空間和磁性材料邊界問題求解了導體中趨膚電流分布問題．J. Weiss[6]改進了上述求解方法,提出了把與電勢和電導率有關的電流以及渦旋電流都作為未知量,這樣可以一步求解得到導體中的電流分布,并用此方法分析了電力系統三相交流電問題．Hong-Kyu Kim[7]采用三維矢勢有限元方法研究了導線的趨膚效應．為了減少未知量數目,對每個導體與標勢函數相聯系未知變量的源電流用一個等效的比例常數代替,從而減少了未知量數目,而未知常數通過迭代的方法確定．不過該方法需要對迭代參數進行合理的選擇,才可能達到收斂的結果．S. Cristina[8]用矢量有限元方法計算了電力傳輸線的分布參數．K.J. Satsios[9]用基于矢勢有限元方法研究非均勻地球表面功率傳輸線的渦旋電流和磁場分布,分析非均勻地面介質對導線渦旋電流和磁場分布的影響．

在以下研究中,采用基于矢勢的有限元方法分析了多導體傳輸線的分布參數矩陣和磁通密度分布．為了使用基于矢勢的有限元方法,首先需要根據傳輸線的結構來確定傳輸線的分析模型和矢勢的邊界條件．我們利用矢勢有限元分別研究了封閉結構和開放結構的單位長度電感,給出了相應邊界條件的要求,并對數值計算結果與解析方法結果進行了比較,證明數值計算模型的有效性和近鄰效應的影響．為了進一步研究近鄰效應對傳輸線電感矩陣的影響,文章分析了雙微帶線結構．得到的計算結果與文獻[4]采用電容矩陣計算的電感矩陣進行了比較．和以前的方法不同的是,在計算電感矩陣時,我們提出的方法沒有利用電感、電容和光速之間的關系,而是采用靜態電場與靜態磁場的方法直接獨立提取傳輸線的電感和電容．

1 理論分析

如果多導體傳輸線內各個導體均是理想導體,則電磁波沿著導線傳播橫電磁波．對于非理想導體,導線金屬具有有限電導率,因而在傳播方向有一定大小的縱向電場分量,該縱向電場分量引起縱向電流．縱向電流可以分為三個部分,一是由電壓差引起的傳導電流,二是位移電流分量,另一個部分是渦旋電流部分．位移電流和渦旋電流與工作頻率有關,影響電流的趨膚深度,進而引起傳輸功率的損失．為了分析傳輸線的分布參數,在進行準橫電磁波近似時,如果忽略位移電流,麥克斯韋方程組可以寫成:

×B=μJ;

(1)

×E=-jωB;

(2)

·B=0;

(3)

·E=0.

(4)

引入矢勢A,電場和磁場可以分別表示為:

(5)

(6)

式中φ是標勢函數,與靜電場有關．忽略位移電流后的電流密度為:

J=Js+Je=-σφ-jωσA.

(7)

式中: σ是導體中的電導率; Je是渦旋電流; Js是導線中外加電壓引起的傳導電流．在以下研究中,分析多導體傳輸線的分布電感參數的近鄰效應時,忽略了渦旋電流．矢勢A的偏微分方程為:

××A=μJ.

(8)

公式(8)對應的有限元泛函公式為:

μ∫ΩJ·AdΩ+∫Sn×(×A)·dS.

(9)

對式(9)取變分δF=0可以得到矢勢有限元的計算公式．矢勢A的第一類邊界條件由式(10)確定．

n×A=P.

(10)

式中P是邊界上確定的矢勢值．

2 多導體傳輸線的數值計算

多導體傳輸線中,單位長度電感矩陣L的元素與穿過傳輸線第k個電路單位長度的總磁通和所有產生該磁通的傳輸線上的電流關系為:

ψ=L·I.

(11)

用矩陣形式,公式(11)可以表示為:

(12)

在采用基于矢勢的有限元方法計算自感矩陣過程中,首先利用有限元方法,求出每個導線施加外部電流后產生的磁場,然后利用電感矩陣的定義公式(12)計算多導體傳輸線的電感矩陣．為了進行有限元分析,需要給出物理量的邊界條件．矢勢是計算電磁場問題的一個輔助函數,因此要根據研究問題,將電磁場邊界條件轉化為矢勢的邊界條件．以下的分析計算分別針對封閉結構、開放結構和耦合結構的傳輸線進行研究．

2.1 同軸傳輸線

圖1 同軸線橫截面磁通密度分布

從圖1可以看到,磁通密度沿徑向是非均勻分布的,特別是在內導體的內部,磁通量是從最小值逐漸增加,在內導體邊界附近達到最大值,然后又開始降低．可以預見,隨著內導體截面積增加,對同軸線的電感數值的影響也會增加．同軸線的電感數值是通過內外導體之間連線的積分得到的．

圖2給出了外導體半徑從2.3 mm到3.2 mm變化對同軸線電感的影響．圖中分別畫出了通過解析法計算得到的電感值與通過此數值方法計算得到的電感值．從圖2曲線可以看到,隨著外導體半徑增加,同軸線的電感在增加．通過解析表達式理論計算得到的電感值與通過此數值方法計算得到的電感值的一致性很好,證明了利用該方法計算電感是有效的．

圖2 同軸線外半徑不同時的單位長度電感

2.2 平行雙線傳輸線

平行雙線傳輸線是一種典型開放結構的傳輸線,其電磁能量主要集中在平行雙線附近,但是可以延伸到無限大空間．利用有限元對其進行分析時需要對計算空間進行截斷,為此我們采用無限元方法作空間截斷．這里研究的平行雙線的線間距為3 mm,導線半徑從0.1 mm到1 mm之間變化．進行有限元分析時,對其中的一個導線施加正向均勻電流密度,另一個導線施加反向均勻電流密度．

磁通的計算是通過兩個導體外邊界之間的連線進行積分得到的．圖3是基于矢勢有限元法得到的平行雙線的磁通密度分布．

圖3 平行雙線的橫截面磁通密度分布

從圖3可以看到,平行雙線的橫截面磁通密度分布在導線中也不是均勻分布的,在兩個導線近端,磁通密度變大;同時,大部分磁通密度集中在雙導線附近．

圖4給出了傳輸線導體半徑從0.1 mm到1 mm變化對平行雙線電感的影響,同樣,圖中同時畫出了通過解析法計算得到的電感值與通過我們提出的數值方法計算得到的電感值,解析法采用的表達式為L2=μarcosh(D/2a)/π,其中D是兩根導線之間的間距,a是單根導線的半徑[10]．從圖4曲線可以看到,兩種方法得到的結果有稍微的偏差,但趨勢一致,即隨著導體半徑增加,傳輸線的電感在減少．同時解析計算的電感值與數值計算的電感值的差值也在增加．產生差值的主要原因是解析公式中假定導體的磁通是均勻分布的．由此說明,當傳輸線之間距離減少時,近鄰效應是必須考慮的一個重要因素．

2.3 耦合微帶線

由于存在互感和互電容,兩條并行排列的微帶線之間會產生串擾．圖5給出了一個耦合微帶線結構．該微帶線結構與文獻[4]中的尺寸結構一致,即每個微帶線寬度w=500μm,厚度t=17μm,微帶線的間隔s=500μm,微帶線基板厚度h=635μm,相對介電常數εr=10.8．文獻[4]采用有限元靜電場公式,首先計算耦合微帶線的電容矩陣,然后由電容矩陣和傳播速度得到電感矩陣．但是,在該方法中,沒有考慮傳輸線近鄰效應的影響．我們采用基于矢勢的有限元方法直接計算傳輸線的電感矩陣,其優點是可以考慮導線近鄰效應的影響．圖6給出了采用此方法計算得到的耦合微帶線的磁通密度分布．從圖6可以看到,兩個微帶線的近鄰效應對磁通密度分布產生影響．

圖4 平行雙線的電感(兩根導線距離3 mm,每根導線半徑從0.1 mm變化到1 mm．)

圖5 平行耦合微帶線的幾何結構

圖6 耦合微帶線的磁通密度分布

根據多導體傳輸線電感矩陣的定義,耦合微帶線的電感矩陣中的自感可以通過計算微帶線中心到接地面的磁通和導線的電流得到;而兩個微帶傳輸線之間的互感通過計算兩條微帶線之間邊緣連線的磁通得到．由于問題具有對稱性,另一條微帶線的自感和互感可以同時得到．采用這個方法計算得到的電感矩陣與文獻[4]得到的電感矩陣結果列于表1．

表1 耦合微帶線電感矩陣

從表1可以看到,按照我們提出的方法計算得到的電感矩陣要大于文獻[4]方法計算的電感矩陣,其主要原因是因為傳輸線近鄰效應使兩條微帶線之間的磁通密度增加,因此互感會大大增加．互感的增加會進一步增加耦合微帶線之間的串擾．

3 結 論

與采用基于靜電場標勢的有限元方法相比,基于矢勢有限元方法可以考慮傳輸線之間的近鄰效應．因此,我們采用基于矢勢有限元方法計算多導體傳輸線的電感參數和磁通分布,研究近鄰效應的影響．

我們分別分析計算了三種典型的傳輸線結構．第一種傳輸線結構是封閉結構的同軸傳輸線．在同軸傳輸線的有限元計算中,外導體邊界采用切向矢勢為零的邊界條件,它等效于理想導體邊界條件．計算的傳輸線單位長度電感與解析表達式得到的電感進行了比較,兩種計算結果一致性很好,證明了利用這種方法的可行性．第二種是一種典型的開放式結構——平行雙線傳輸線．由于其磁場延伸到無窮大區域,為了進行有限元計算,我們對這個開放的傳輸線結構采用無限元單元截斷．計算結果顯示在雙線距離較大的時候與解析結果比較接近．為了研究近鄰效應,我們固定雙導線之間的中心距離,然后改變傳輸線導體半徑來改變雙導線表面間的距離進行分別計算,從而得到了傳輸線電感與導線半徑的關系曲線．通過與平行雙線的解析公式得到的結果比較可以看出,隨著導線半徑的增加,有限元計算和解析公式計算結果的差值在增加,這個差值反映了近鄰效應的影響．第三種是一個耦合的微帶線結構．采用基于矢勢有限元方法計算電感矩陣并與其它文獻中沒有考慮近鄰效應所得到的結果進行比較．比較結果顯示,傳輸線的電感矩陣有較大的差別,這個差別同樣反映了傳輸線近鄰效應對電感矩陣的影響．

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[10]POZARDM. 微波工程[M]. 張肇儀, 周樂柱, 吳德明, 等, 譯. 3版. 北京: 電子工業出版社, 2010: 47.作者簡介

逯貴禎 (1957-),男,北京人，中國傳媒大學教授,博士生導師,主要研究方向電波傳播、電磁散射與逆散射、計算電磁學、天線技術、射頻與微波電路、電磁兼容等．

郭慶新 (1974-)，男,中國傳媒大學副教授,主要研究方向為天線技術、射頻與微波無源器件、射頻與微波電路等．

Proximity effect and the distribution parameters of multi-conductor transmission line

LU Guizhen GUO Qingxin ZENG Dongdong

(Information Engineering school, Communication University of China, Beijing 100024, China)

The effects of the proximity effect and the distribution parameters on the reflection and transmission parameters of a multi-conductor transmission line increase significantly when the gap between two adjacent conductors decreases. Considering the proximity effect, we calculate the distribution inductance and the magnetic flux density of three typical multi-conductor transmission lines by applying the vector potential finite element method. The first case is a coax with a closed structure. The proposed numerical results agree well with the analytical results, which verify that the proposed method is effective. The second one is a parallel line with an opened structure, of which the infinite calculation domain has been truncated by the infinite element method during calculation. The comparison implies that the proximity effect influences the per-unit-length inductance of multi-conductor lines. The last instance is a coupled microstrip. The distribution of the magnetic flux density around the coupled lines show that it is affected by the proximity effect. The inductance matrix obtained differs from that of the previous work, in which the proximity effect has not been taken into account. All 3 cases imply that the vector potential finite element method is suitable for calculating the distribution parameters of multi-conductor transmission line with the proximity effect.

multi-conductor transmission line; proximity effect; inductance matrix; the vector potential finite element method

10.13443/j.cjors.2015072201

2015-07-22

TM154

A

1005-0388(2016)03-0611-06

逯貴禎, 郭慶新, 曾冬冬. 多導體傳輸線的鄰近效應和分布參數研究[J]. 電波科學學報,2016,31(3):611-615+622.

LU G Z, GUO Q X, ZENG D D. Proximity effect and the distribution parameters of multi-conductor transmission line [J]. Chinese journal of radio science,2016,31(3):611-615+622. (in Chinese). DOI: 10.13443/j.cjors.2015072201

聯系人： 逯貴禎 E-mail： luguizhen@cuc.edu.cn