內(nèi)交換p群的非正規(guī)子群的共軛類數(shù)

張慧玲，白 頡

(太原學院 數(shù)學系， 太原 030001)

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內(nèi)交換p群的非正規(guī)子群的共軛類數(shù)

張慧玲*，白 頡

(太原學院 數(shù)學系， 太原 030001)

研究有限群的非正規(guī)子群的共軛類數(shù)是群論學中的一個重要課題.下面借助于內(nèi)交換p群的分類，對內(nèi)交換p群的非正規(guī)子群的共軛類數(shù)進行討論，給出了ν(G)=p、ν(G)=p+1和ν(G)=p+2時內(nèi)交換p群的分類．

內(nèi)交換p群； 非正規(guī)子群； 共軛類數(shù)

正規(guī)子群在研究群的結(jié)構(gòu)中起著重要作用，具有“較多”正規(guī)子群的有限群的研究一直是群論學中的一個重要研究內(nèi)容，換句話說，研究具有“較少”非正規(guī)子群的有限群的結(jié)構(gòu)成為群論學中的一個重要研究方向.ν(G)這個符號是由R.Brandl于1995年在文[3]中首次引入，它表示有限群G的非正規(guī)子群的共軛類數(shù).顯然，Dedekind群恰為ν(G)=0的有限群.文[3]決定了ν(G)=1的有限群，文[4]給出了ν(G)=1的有限p群的分類，文[5]給出了ν(G)=2的有限冪零群的分類，文[6]決定了ν(G)=2的有限群，文[7]又分類了ν(G)=3的有限p群.由于ν(G)=1、ν(G)=2和ν(G)=3的有限p群均已分類，很自然地，分類ν(G)較小的有限p群成為人們關(guān)心的一個問題.下面借助于文[1]內(nèi)交換p群的分類，對內(nèi)交換p群的非正規(guī)子群的共軛類數(shù)進行討論，給出ν(G)=p、ν(G)=p+1和ν(G)=p+2時內(nèi)交換p群的分類.

引理1 ([1]，第70頁，定理2.3.7)設(shè)G是內(nèi)交換p群，則G是下列互不同構(gòu)的群之一：(1)Q8；

(2)Mp(n，m)=〈a，b|apn=bpm=1，ab=a1+pn-1〉，n≥2，m≥1，(亞循環(huán)情形)；

引理2([1]，第53頁，命題2.1.2)設(shè)G是冪零類為2的群，x，y，z∈G，則

[x，yz]=[x，y][x，z];

(2)[xn，y]=[x，y]n=[x，yn];

引理3([2]，第1098頁，定理1)設(shè)G是有限p群，則ν(G)=2當且僅當G同構(gòu)于下列群之一：(1)M2(n，2)，其中n≥2；(2)D8；(3)Q16．

引理4 ([4]，定理59.1)設(shè)G是有限p群，若G的所有非正規(guī)子群都共軛，則G? Mp(n，1)，若p=2，則n≥3．

為了討論內(nèi)交換p群的非正規(guī)子群的共軛類數(shù)，首先給出3個命題：

證明結(jié)論是顯然的．

命題2設(shè)G是亞循環(huán)的內(nèi)交換p群，若H

命題3設(shè)G是非亞循環(huán)的內(nèi)交換p群，若H

定理1設(shè)G是亞循環(huán)的內(nèi)交換p群，G?Mp(n，m)， n≥2，m≥1，

(2)若2≤n

證明(1)首先可證G中除pm階子群外，其他子群均正規(guī)：

ii.所有pm階非正規(guī)子群只有形式〈balpn-m〉且0≤l≤pm-1:

下面分兩種情形對pm階元bkal′pn-m中的k討論.

再證ν(G)=pn-1+(m-n)(pn-1-pn-2)：

下證上述所得的非正規(guī)子群隨著參數(shù)的不同而不同.

i. 〈bai〉隨著i的不同而不同，其中1≤i≤pn：

若否，存在1≤i1，i2≤pn，i1≠i2，使得〈bai1〉=〈bai2〉成立，于是不妨設(shè)bai1=bai2，于是ai1-i2=1，進而i1=i2，矛盾．

ii. 〈bpm-kai〉隨著i，k的不同而不同，其中1≤i≤pn且(i，p)=1：

若否，存在1≤i1，i2≤pn，i1≠i2n≤k1，k2

因此對于(2)，群G共有pn+(m-n)(pn-pn-1)個非正規(guī)子群，再由命題1知，每個非正規(guī)子群的共軛類長度為p，故ν(G)= pn-1+(m-n)(pn-1-pn-2)．

定理2設(shè)G是非亞循環(huán)的內(nèi)交換p群，G?Mp(n，m，1)，n≥m，當p=2時，m+n≥3，

(1)若n=1，則ν(G)=p+1；

(2)若n≥2，則ν(G)≥2p+1>p+2．

證明(1)由Mp(1，1，1)為p3階非交換群，知其非正規(guī)子群只能為p階子群.又G是極小非正規(guī)子群，于是只有1個p階正規(guī)子群，即為G′，其余的p階子群均不正規(guī).又由于Mp(1，1，1)共有p2+p+1個p階子群，于是有p2+p個非正規(guī)子群，于是由命題1知ν(G)=p+1．

(2)只需證G中至少存在2p+1個互不共軛的非正規(guī)子群即可．

下證子群〈baipn-m〉，〈bjpa〉和〈apsct〉×〈b〉為G的互不共軛的非正規(guī)子群，其中i=1，2，…，pm；j=1，2，…，pm-1；s=1，2，…，n-1；t=0，1，…，p-1．

首先易知子群〈baipn-m〉、〈bjpa〉和〈apsct〉×〈b〉之間不共軛且均不正規(guī)，下證〈baipn-m〉和〈bjpa〉之間互不共軛：若否，只能有m=n，于是存在bj′ai′ck′∈G使得 (bai)bj′ai′ck′=baic-i′cij′∈〈bjpa〉，于是存在s′滿足(s′，p)=1使得baic-i′cij′=(bjpa)s′=bjs′pas′成立，即b1-js′p=as′-ici′-ij′，由(1-js′p，p)=1且〈a〉×〈c〉∩〈b〉=1知矛盾．

下證子群〈baipn-m〉隨著參數(shù)的不同所對應(yīng)的群也互不共軛，即證〈bai1pn-m〉和〈bai2pn-m〉不共軛，其中i1≠i2.

同法可證子群〈bjpa〉和〈apsct〉×〈b〉隨著參數(shù)的不同所對應(yīng)的群也互不共軛，因此得ν(G)≥pm+pm-1+(n-1)p≥p+1+p=2p+1>p+2．

由于ν(Q8)=0，自此內(nèi)交換p群的非正規(guī)子群的共軛類數(shù)已討論完畢，作為上述定理的應(yīng)用，結(jié)合引理3和引理4，下面的定理3分別給出了ν(G)=p、ν(G)=p+1和ν(G)=p+2時內(nèi)交換p群的分類：

定理3設(shè)G為內(nèi)交換p群，

(1)若ν(G)=p，則G為下列群之一：D8，Mp(n，2)，其中n≥2；

(2)若ν(G)=p+1，則G為下列群之一：M2(2，3)，Mp(1，1，1)，其中p≠2；

(3)若ν(G)=p+2，則

當p=2時，G為下列群之一：M2(2，4)，M2(n，3)，其中n≥3；

當p=3時，G?M3(2，3)；

當p≥5時，這樣的群G不存在．

由以上3個定理及引理4，還可推得下面的結(jié)論：

推論設(shè)G為內(nèi)交換p群，則ν(G)=1，或者ν(G)≥p．

[1] 徐明耀， 曲海鵬. 有限p-群[M].北京：北京大學出版社，2010．

[2] 陳貴云， 陳順民. 非正規(guī)子群的共軛類數(shù)為2的有限群的一個注記[J].吉林大學學報，2008， 46(6)：1097-1100．

[3] BRANDL R. Groups with few non-normal subgroups[J].Comm.Alg，1995， 23 (6)：2091-2098．

[4] SCHMIDIT O Y.Groups having only one class of non-normal subgroups(Russian)[J] .Mat Sb， 1926， 33:161-172．[5] SCHMIDIT O Y.Groups with two classes of non-normal subgroups(Russian) [J].Proc Seminar on Group Theory， 1938， 33:7-26．

[6] MOUSAVI H.On finite groups with few non-normal subgroups[J].Comm.Alg， 1999， 27 (7)：2091-2098．

[7] MOUSAVI H.Finite nilpotent groups with three conjugacy classes of non-normal subgroups[J]. Bulletin of the Iranian Mathematical Society, 2014, 40(5):1291-1300.

[8] ZHANG Q H， GUO X Q， QU H P， et al.Finite group which have many normal subgroups[J].J Korean Math Soc， 2009， 46 (6)：1165-1178．

The conjugacy classes of non-normal subgroups of internal exchangep-group

ZHANG Huiling, BAI Jie

(Department of Mathematics, Education Institute of Taiyuan University, Taiyuan 030001)

Study on the conjugacy classes of non-normal subgroups of finite groups is an important project in group theory. With the classification of internal exchangep-group, the conjugacy classes of non-normal subgroups are discussed, and the classification of internal exchangep-group whenv(G)=p,v(G)=p+1 andv(G)=p+2 are given.

internal exchangep-group; non-normal subgroups; conjugacy class

2016-03-09.

國家自然科學基金項目(71561008).

1000-1190(2016)04-0486-03

O152.1

A

*E-mail: huiling.103020@163.com.