數學高考中的化歸與轉化思想*

●詹爽姿

(杭州第二中學 浙江杭州 310000)

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數學高考中的化歸與轉化思想*

●詹爽姿

(杭州第二中學 浙江杭州 310000)

化歸與轉化是高中數學重要思想方法之一，掌握好化歸與轉化的思想方法的特點，對我們學習數學是非常有幫助的.從熟悉化原則、簡單化原則、直觀化原則、特殊化原則、和諧化原則出發，筆者例談化歸與轉化思想在高中數學應用中所涉及的基本類型的解題策略.

高中數學;化歸與轉化;解題

1 知識內容

化歸與轉化是高中數學的重要思想方法之一，它是學生學習了基礎知識之后解決綜合問題的重要途徑，是處理復雜問題方法的精髓，是知識轉化為能力的橋梁.所謂化歸與轉化的思想，是指在研究和解決數學問題時，把研究對象通過觀察、分析、類比、聯想等思維過程，選擇運用恰當的數學方法進行變換，將原問題轉化為一個或者幾個相對較容易的問題加以解決.轉化和化歸的特點是通過不斷轉化實現問題的熟悉化、簡單化、直觀化、特殊化等，以便應用已知的知識和方法達到問題的有效解決.其一般模式如圖1所示：

圖1

中學數學問題解決的過程中到處體現著化歸與轉化的思想，它是問題解決過程中最活躍、最重要的一個環節.化歸與轉化既可以從陌生向熟悉轉化、抽象向具體轉化、正與反相互轉化，也可以從函數與方程的轉化、數與形的轉化中去尋求有利于問題解決的途徑和方法，促進問題的有效解決.

2 命題分析

目前的數學高考命題重視對學生能力的考查，作為高中重要數學思想方法之一的化歸與轉化，在近幾年的高考試卷中得到了較好的體現.學生對于陌生問題的恐懼源于在解決具體問題中不能夠靈活應用轉化思想，不能從紛繁復雜的外表中發現其數學本質.化歸與轉化的思想及方法已滲透到每一個數學內容和解題過程中,其方法多種多樣，但目標是一致的：將復雜問題變得簡單、熟悉，達到解決問題的有利境地，通向問題解決之路.下面筆者結合近幾年的部分高考題和各地市模擬題為例，談談化歸與轉化的思想方法應遵循的原則.

3 典題剖析

3.1 熟悉化原則

許多數學問題的解決過程就是將陌生的問題轉化為熟悉的問題，以利于我們運用已有知識、經驗來解決.在具體的解題過程中，通常是借鑒熟悉的背景知識和模型，在已知和未知之間尋找轉化的橋梁.

例1 如圖2，在三棱錐A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2,點M,N分別是AD,BC的中點，則異面直線AN，CM所成角的余弦值是______．

(2015年浙江省數學高考理科試題第13題)

圖2 圖3

圖4

轉化3 (幾何圖形模型化)注意到此三棱錐的3組對邊兩兩相等，就可以將此三棱錐放入長方體內，構造長方體模型(如圖4所示)，則該問題便成為學生所熟知的問題.

點評 立體幾何空間角的基本處理方法是通過轉化為平面角實現的，源于空間向量的自由移動，因此幾何問題向量化也成為解決立體幾何空間角問題的主要處理途徑.當然對于立體幾何問題，常通過研究幾個熟悉的基本模型，如長方體、正四面體等來理清空間線面的位置關系.

3.2 簡單化原則

通過一定形式的變形轉換，將復雜的問題化歸為我們所熟悉的簡單問題，通過對簡單問題的解答，達到解決復雜問題的目的，或者獲得某種解決問題的啟示.這里的簡單，既指問題的處理過程方法比較簡單，也指解決問題的方案通過轉化變得比較簡單.

由此可知2個函數圖像的對稱軸也存在相應的數量關系.

3.3 直觀化原則

把抽象的問題轉化為具體的問題.數學的特點之一便是它具有抽象性.有些抽象的問題，直接分析解決難度較大，需要把它轉化為具體的問題，或者借助圖形等直觀手段來表達，使得復雜的問題變得比較容易解決.

(2015年浙江省數學高考理科試題第15題)

轉化1 從代數角度看最值，應用函數的觀點，通過配方解決問題.

令t=xe1+ye2,則

t2=(xe1+ye2)2=x2+xy+y2,

從而 |b-(xe1+ye2)|2=

|b-t|2=b2-2b·t+t2=

b2-4x-5y+x2+xy+y2=

b2-7=1,

即

此時

此處代數式的配方對學生代數式的轉化提出了很高的要求，學生不一定能夠順利突破.而解決問題的關鍵是對向量表達式

|b-(xe1+ye2)|≥ |b-(x0e1+y0e2)|=

1(其中x0,y0∈R)

的認識和轉化，該式意味著向量b所對應的點B與由e1,e2所構成的平面內的點之間的最短距離為1.如何處理這個距離，可以有幾何、向量等不同的轉化方式.

圖5 圖6

點評 看似復雜的問題，若能挖掘出代數式的幾何背景，理解數量積的幾何意義，把數量關系轉化為圖形位置關系，則可使問題由抽象變為直觀，使隱含的關系顯露出來，起到事半功倍的效果.正所謂看得越透徹，解法越快捷，聯想越豐富，思路越奇妙！

3.4 特殊化原則

通過考察問題的極端元素，靈活地借助特殊問題解題，避開抽象及復雜運算，優化解題過程，降低解題難度.

分析 此題從條件“ak-(ak+1+ak+2)仍是該數列中的某一項”看，可以建立一般關系1-q-q2=qm，顯然從此方程中要解出2個未知數，學生往往束手無策，因此可以轉換角度，嘗試特殊化處理，從m=1,2,3中去思考取舍，并嘗試著解決當m≥4的情況，最后從等式2邊的取值范圍上尋找突破．

取m=3，則

1-(q+q2)=q3.

點評 帶有一般性的數學問題，往往可以通過由“一般”狀態轉化為“特殊(極限)”情形來處理，可使抽象問題具體化、復雜問題簡單化.特殊化原則的本質既是有限與無限的轉化，也是特殊與一般的轉化，還體現了用靜止的觀點處理運動中問題的一種轉化思想.

3.5 和諧化原則

其實很多復雜問題的化歸與轉化都是對以上各種轉化原則的綜合應用，對同一個問題基于不同角度的認識可以有各種不同的轉化，使其表現形式更符合數與形內部所表示的和諧的形式，以及問題所需要的各種外部形態，使其推演更加符合我們的思維規律.

(2015年浙江省數學高考理科試題第20題)

轉化3an+1=an(1-an)=an-1(1-an-1)(1-an)…=a1(1-a1)(1-a2)…(1-an-1)(1-an)，利用迭代可以判斷an的符號.

轉化5 由an+1=an(1-an)，得

從而

由第1)小題的結論可知

從而

于是實現目標的證明.

點評 以上所有轉化都構成解決問題的關鍵，這些轉化是基于對同一個代數式結構的不同看法所引起的.在平時的教學中，教師要重視這些基本轉化的訓練，強調一道題目的多種解法，教會學生學會觀察，對同一個代數式嘗試從不同角度形成不同的認識，以拓寬學生的視野，同時加強思維深刻性的培養.

數學中的轉化比比皆是，其實質都是揭示內在聯系實現轉化.除極其簡單的數學問題外，幾乎每個數學問題的解決都是通過轉化為已知問題的解決實現的.從這個意義上講，解決數學問題就是從未知向已知轉化的過程，當然在實施轉化的過程中還應注意轉化中的等價性，這是正確解決問題的必要保證.

4 精題集萃

( )

A.6 B.7 C.8 D.9

2．設a，b∈R,a2+2b2=6,則a+b的最小值是

( )

參 考 答 案

u2+au+(b-2)=0,

(1)

從而a2+b2=a2+[(2-u2)-au]2=

(1+u2)a2-2u(2-u2)a+(2-u2)2=

令t=u2+1≥5，則

此時u=±2,從而

?2015-12-15；

2016-01-17.

詹爽姿(1979-)，女，浙江杭州人，中學一級教師，研究方向：數學教育.

O12

A

1003-6407(2016)03-41-05