泰勒級數在物理學中的應用

趙華，羅家飛

（黔南民族師范學院物理與電子科學學院，貴州都勻558000）

泰勒級數在物理學中的應用

趙華，羅家飛

（黔南民族師范學院物理與電子科學學院，貴州都勻558000）

泰勒級數是一個重要的近似計算工具，在物理學相關計算中有著廣泛的應用。本文通過具體的例子，討論了泰勒級數近似計算在物理學中的應用，這對近似計算思想以及相關物理概念的理解有一定的幫助。

泰勒級數；物理學；應用

物理學中大量問題無法精確求解，通過近似可得到重要有價值的結論，泰勒級數是物理學中重要近似方法。本文首先介紹泰勒公式與泰勒級數，然后給出了泰勒級數在力學、電磁學、量子力學等方面簡單應用，這有助于了解泰勒級數在物理學中的應用，加深相關物理概念和結論的理解。

1　泰勒公式及泰勒級數

2　泰勒級數在物理學中的應用

2.1單擺周期公式推導

單擺是能夠產生往復擺動的一種裝置，將質量可以忽略的細桿或不可伸長的細柔繩一端懸于重力場內一定點，另一端固結一個重小球，就構成單擺。單擺是物理學中的一種理想化的模型，實際的擺如果滿足懸線的伸縮可以忽略不計，并且懸線的長度遠遠大于擺球的直徑，都可以按照單擺模型處理。

圖1　單擺示意圖Fig.1 Schematic diagram of pendulum

如圖1所示，當擺球靜止時所處的位置稱為平衡位置，即O點位置。在平衡位置處，擺球受到其重力G以及擺線對球的拉力T，這兩個力使擺球保持平衡。擺球偏離O點時，擺球將失去平衡，在重力和懸線拉力的作用下，擺球將在平衡位置附近做往復運動。當擺球離開平衡位置O點時，擺球的運動軌跡為一圓弧。擺球重力G沿著圓弧切線方向的分力，該力使擺球圍繞O點往復運動，擺球的具體運動規律用數學公式表達的話比較復雜，很難直觀地看出其中的規律。但通常懸線長度很長，因此單擺的擺角通常比較小。可以將根據泰勒級數公式在處展開，即。當擺角較小時，高階項可以忽略不計。當時，可近似認為，所以單擺受到的力，其中的l為擺長，x是擺球偏離平衡位置的位移,負號表示回復力F與位移x的方向相反，令，上式可寫成。這是典型的簡諧振動物體的受力公式，擺球的運動完全可以用簡諧振動規律來描述。根據簡諧運動物體的周期公式，很容易得到單擺的周期公式是。

2.2求電偶極子產生電位

電偶極子是相距很小的兩個等值異號的點電荷組成的電荷系統。如圖2所示，兩個點電荷電量為q相距為d，為了描述方便，建立球坐標系，使電偶極子的中心與坐標系的原點O重合，并使電偶極子與z軸重合［2］。求該電偶極子產生的電位。

圖2　電偶極子示意圖Fig.2Schematic diagram of electric dipole

2.3量子力學中的應用

再例如，在推導算符的對易關系中也有應用。

例如給定算符A,B，求證：

這樣利用泰勒級數就可以證明這個公式了，此類公式也是量子力學中常用到的代數式。

2.4推導一維晶格第n個原子的運動方程

晶格具有周期性，單原子鏈可以看作最簡單的晶格結構，每個原子的質量為m，如圖3所示［3］。在平衡位置時，相鄰原子的間距為a，也稱為晶格常數；偏離格點的位移用Un表示，n表示原子鏈中標號為n的原子。

圖3　一維晶格示意圖Fig.3Schematic diagram of one-dimensional lattice

若原子鏈有N個原子，則有N個方程。根據上式方程我們可以得到一維復式的格波解。

3　結論

物理學中大多數問題都是無法嚴格求解的，近似處理是物理學中一個十分重要的問題。泰勒級數展開則是物理學中重要和常見的一種數學近似計算方法。根據相關物理問題的具體條件，可以對很多物理問題的近似處理，這不僅使問題大大簡化，并且可以得到有效結論。本文通過幾個具體的例子，展示了泰勒級數近似方法在物理學中的應用，這對于物理學相關課程的學習具有一定參考價值。

［1］王金金.高等數學［M］.北京：北京郵電大學出版社，2010.

［2］梁燦彬.電磁學［M］.北京：高等教育出版社，2012.

［3］王矜奉.固體物理教程［M］.濟南：山東大學出版社，2013.

Application of Taylor series in physics

ZHAO Hua,LUO Jia-fei
(Department of Physics and Electronics,Qiannna Normal College for Nationalities,Duyun 558000,China)

Taylor series is an important tool for approximate calculations,which is widely used to handle physical problems. Through concrete examples,we discussed the application of Taylor series for approximate calculations in physics.It is helpful to understand approximate calculation schemes and related physical concepts.

Taylor series;Physics;Application

TG801

A

1674-8646（2016）19-0043-03

2016-08-07

貴州省普通高等學校創新人才團隊項目（黔教合人才團隊字［2013］29）；貴州省科學技術基金項目（黔科合J字［2012］2311）；貴州省高校優秀科技創新人才支持計劃項目（黔教合KY字［2013］154）；黔南民族師范學院院級科研項目（qnsy2011qn11）

趙華（1982-），男，碩士，副教授。