面積巧分割，二元一次方程組來幫忙

馬雁

摘 要：主要闡述了“實際問題與二元一次方程組”中的種植計劃問題的探究過程，通過學生自主探究、合作交流、舉一反三、觸類旁通、自編習題這幾個環節，提升學生主動探索、獨立思考、自主創新的能力，使他們更深刻地體驗到二元一次方程組在現實生活中的強大作用，凸顯出數學來源于生活，又服務于生活。

關鍵詞：二元一次方程組；種植計劃問題；面積分割；等量關系

二元一次方程組是刻畫現實世界的有效數學模型，用它解決實際問題的一般方法是根據具體問題中的數量關系列出二元一次方程組，求解并檢驗所得問題的結果是否符合實際意義。其中，關鍵是尋找實際問題中的等量關系。這就對學生分析問題和解決問題的能力有較高要求。

例題：（種植計劃問題）據以往的統計資料，甲、乙兩種作物的單位面積產量的比是1∶2，現要在一塊長200 m，寬100 m的長方形土地上種植這兩種作物，怎樣把這塊地分為兩個長方形，使甲、乙兩種作物的總產量的比是3∶4？

方案一：豎分

方法1：如圖1，甲、乙兩種作物的種植區域分別為長方形AEFD和BCFE.設AE=xm，BE=ym，根據總產量比列方程組：

x+y=200100x∶200y=3∶4 解得x=120y=80

答：過長方形土地的長邊上離一端約120m處，把這塊地分為兩個長方形.較大一塊地種甲作物，較小一塊地種乙作物.

方法2：設甲面積為x m2，乙面積為y m2，列方程組

x+y=20000x∶y=3∶4 解得x=12000y=8000

答：過長方形土地的長邊上離一端約120m處，把這塊地分為兩個長方形.較大一塊地種甲作物，較小一塊地種乙作物.

（2）方案二：橫分

方法1：如圖2，一種種植方案為：甲、乙兩種作物的種植區域分別為長方形ABEF和DCFE.設AE=xm，DE=ym，根據總產量比列方程組.

x+y=100200x∶400y=3∶4 解得x=60y=4

答：過長方形土地的短邊上離一端約60 m處，把這塊地分為兩個長方形.較大一塊地種甲作物，較小一塊地種乙作物.

方法2：設甲面積為x m2，乙面積為y m2，列方程組

x+y=20000x∶2y=3∶4 解得x=12000y=8000。

答：過長方形土地的短邊上離一端約60 m處，把這塊地分為兩個長方形.較大一塊地種甲作物，較小一塊地種乙作物.

實際上，按面積分割長方形的問題可轉化為分割邊長的問題，分別分割長和寬，進而找到等量關系：甲、乙兩種作物的總產量的比是3∶4。列二元一次方程組求解得到結果。

為了讓學生對二元一次方程組深度的思考，增加解決實際問題的實踐，發揮學生主動性，自主探究的積極性，把實際問題模型化的思想提到了新的高度。下面是學生自己搜集編制的變式題或類型題。

【變式1】長方形土地，分成一個三角形，一個梯形；

據以往的統計資料，甲、乙兩種作物的單位面積產量的比是1∶2，現要在一塊長200 m，寬100 m的長方形土地上種植這兩種作物，怎樣把這塊地分為兩部分，其中一部分為三角形，使甲、乙兩種作物總產量的比是3∶10，請你設計一種分割方案，并通過計算說明。

【變式2】長方形土地，分成兩個梯形；

有甲、乙兩種作物，它們的單位面積產量的比是1∶2，現有一塊長200m，寬100m的長方形土地，從某邊的中點引一條線段，怎樣把這塊地分為兩個梯形，使甲、乙兩種作物的總產量的比是3∶4？

【變式3】三角形土地，分成兩個三角形；

一塊三角形土地ABC，底BC長160 m，高AD長50 m，將三角形ABC分成2個小三角形，以A為頂點，已知種兩種花甲、乙，要使甲、乙單位面積費用的比是2∶3，總費用比為2∶5，該如何劃分？

三個變式題由學生講解解答過程和思考方式。在此基礎上歸納總結：與例題的相同與不同，解法上的異同。本題注重解法多樣性展示，引導學生合作討論，并養成多題一解。一題多解的思維習慣。

通過利用二元一次方程組解決實際問題，使學生積極參加數學活動，激發學生的學習興趣，體驗到數學活動充滿探索與創造。初步接觸并感知一定的數學思想，能用數學思想來指導，形成良好的數學思維策略，從而提高學生的學習能力與效率。

參考文獻：

[1]張守麗.二元一次方程組與生活實際問題[J].數學學習與研究（七年級學生適用），2008（3）.

[2]印登清.關于《實際問題與二元一次方程組》的教學設計[J].數理化解題研究（初中版），2014（5）.