讓數(shù)學(xué)課堂成為師生向往的樂(lè)園
——從一堂習(xí)題課教學(xué)中找策略

●陳曉明

(寧國(guó)中學(xué) 安徽寧國(guó) 242300)

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讓數(shù)學(xué)課堂成為師生向往的樂(lè)園
——從一堂習(xí)題課教學(xué)中找策略

●陳曉明

(寧國(guó)中學(xué) 安徽寧國(guó) 242300)

高中數(shù)學(xué)課堂普遍存在著一種現(xiàn)象：教師講的多，學(xué)生聽(tīng)的多；教師展示的多，學(xué)生看的多；教師自問(wèn)自答的多，學(xué)生隨聲附和的多；關(guān)鍵點(diǎn)、難點(diǎn)被教師直接點(diǎn)破的多，導(dǎo)致學(xué)生似懂非懂的多.這種現(xiàn)象產(chǎn)生的直接結(jié)果是：課堂上學(xué)生仿佛都能聽(tīng)懂，課后自己真正會(huì)做的少[1]．于是，“教師教得辛苦，學(xué)生學(xué)得痛苦”!

如何讓數(shù)學(xué)課堂成為師生向往的樂(lè)園，筆者以一堂習(xí)題課教學(xué)為例,以期拋磚引玉，尋找解決問(wèn)題的策略．

在本學(xué)期高三一輪復(fù)習(xí)中遇到了下面一個(gè)題目，筆者首先在黑板上出示該題：

題目 設(shè)集合A={x|x2+2x-3>0}，集合B={x|x2-2ax-1≤0,其中a>0}．若A∩B中恰含有1個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．

(讓學(xué)生充分思考，教師在班里巡視．)

許多學(xué)生易得到：

A={x|x2+2x-3>0}={x|x<-3或x>1},

B= {x|x2-2ax-1≤0,其中a>0}=

(這時(shí)在班上筆者通報(bào)了這種情況．請(qǐng)問(wèn)誰(shuí)來(lái)分析一下對(duì)這個(gè)題目你是怎么想的？不一會(huì)兒有學(xué)生舉手了.)

生1：要求a的范圍，肯定要根據(jù)條件“A∩B中恰含有1個(gè)整數(shù)”，先要求出A∩B，但我求不出A∩B，因?yàn)锽中含有字母．我想可能要分類(lèi)討論.

師：要求A∩B，關(guān)鍵在哪里？

師：你會(huì)比較嗎？

這時(shí)筆者在班上大聲問(wèn)到：誰(shuí)能幫個(gè)忙，判斷出它們2個(gè)的大小關(guān)系？

(不一會(huì)兒，有學(xué)生舉手了．)

顯然

因此

這時(shí)，有學(xué)生插嘴說(shuō)：因?yàn)?/p>

所以

圖1

從而

解得

師：那你說(shuō)說(shuō)看．

生3：

師：你太有才了！竟然想到了分子有理化！

(給學(xué)生充分的思考時(shí)間，學(xué)生們的智慧是不可限量的！這時(shí)，也許是表?yè)P(yáng)生3后激發(fā)了大家的斗志，又有學(xué)生舉手了．)

生4：我的解法與眾不同，我根本就沒(méi)有解集合B中的不等式．

令f(x)=x2-2ax-1(其中a>0),設(shè)2個(gè)零點(diǎn)分別為x1，x2，且x1<0

由A={x|x<-3或x>1}知，若“A∩B中恰含有1個(gè)整數(shù)”，則該整數(shù)只能為-4或2．

1)若該整數(shù)為-4，則由題意知

即

解得

這與a>0矛盾．故該整數(shù)不可能為-4．

2)若該整數(shù)為2，則由題意知

即

解得

由1)，2)可知，該整數(shù)只能為2．

師：真沒(méi)想到，不解集合B中的不等式，也能求出a的范圍.本題實(shí)質(zhì)上是用了零點(diǎn)存在性定理，一個(gè)完全不同的視角！請(qǐng)大家比較一下這2種方法的優(yōu)劣．

(學(xué)生們眾說(shuō)紛紜．這時(shí)班上有名的“數(shù)學(xué)王子”站起來(lái)了，他的想法一直都很獨(dú)特．)

師：很好的變式拓展，學(xué)數(shù)學(xué)就要這樣！

(講到這兒，筆者發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)課代表早已舉起了手．)

生6：我覺(jué)得生4的解法可簡(jiǎn)化．

由前面分析可知，這個(gè)整數(shù)只能為-4或2．

1)若該整數(shù)為-4，令

f(x)=x2-2ax-1(其中a>0)，

因?yàn)閒(x)=x2-2ax-1(其中a>0)的對(duì)稱(chēng)軸x=a>0且左零點(diǎn)x1應(yīng)滿(mǎn)足x1∈(-5,-4]，所以右零點(diǎn)應(yīng)滿(mǎn)足x2>4．

這樣A∩B中就不僅有1個(gè)整數(shù)了，至少有3個(gè)整數(shù)：2，3，4．故這種情況不成立．

2)若該整數(shù)為2，則由x1x2=-1<0，知正根x2必在[2,3)內(nèi)，因此

即

解得

由1)，2)可知，該整數(shù)只能為2．

(看到別人在改進(jìn)方法，一向比較內(nèi)斂的生7突然舉起了手，看來(lái)他也想展示一下自己的數(shù)學(xué)天賦.)

解得

師：還是你的方法最簡(jiǎn)單！我們就要像生7這樣學(xué)數(shù)學(xué)：敢于挑戰(zhàn)自己，不迷信權(quán)威,這樣就能創(chuàng)造奇跡！

(生7聽(tīng)后露出了以前我們從來(lái)沒(méi)看過(guò)的笑容.)

筆者想起葉瀾教授曾說(shuō)：“課堂是向未知方向挺進(jìn)的旅程，隨時(shí)都有可能發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的因素，而不是一切都必須遵循固定路線而沒(méi)有激情行程．”[2]美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家波利亞也曾說(shuō)：“一個(gè)專(zhuān)心的認(rèn)真?zhèn)湔n的老師能夠拿出一個(gè)有意義的但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問(wèn)題的各個(gè)方面，使得通過(guò)這道題，就像通過(guò)一道門(mén)戶(hù)，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域”．[3]當(dāng)然，要做到這點(diǎn)，首先教師對(duì)試題本身要有深入的研究；其次，對(duì)學(xué)生的課堂參與要給予足夠的激勵(lì)和引導(dǎo)．把課堂還給學(xué)生，注意傾聽(tīng)他們的聲音，點(diǎn)燃他們的思維之火，讓數(shù)學(xué)課堂成為師生向往的樂(lè)園！

[1] 陳曉明．?dāng)?shù)學(xué)課堂有效教學(xué)的關(guān)鍵：把課堂還給學(xué)生[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)研究，2015(7)：15．

[2] 陳曉明．?dāng)?shù)學(xué)課堂有效教學(xué)的關(guān)鍵：把課堂還給學(xué)生[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)研究，2015(7)：18．

[3] 于世章．挖掘課本習(xí)題價(jià)值上好復(fù)習(xí)課[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2014(12)：36．