許飄勇
(福建省龍海市程溪中學 福建龍海 363112)
函數定義域的相關問題
許飄勇
(福建省龍海市程溪中學 福建龍海 363112)
變量數學反映了運動變化的思想,它是近代數學的核心思想即函數的思想,那么自變量的范圍即整個函數的定義域就顯得至關重要了,因為它是研究一切函數性質的基礎。
函數 自變量 定義域
函數作為高中數學的主要知識之一,連接整個高中數學的始終,。在平時的教學中,應注重函數的定義域的作用和影響,并且能夠培養學生嚴密的數學邏輯思維。
函數關系式包括定義域和對應法則,所以在求函數的關系式時必須要考慮所求函數關系式的定義域,否則所求函數關系式可能是錯誤。如:
例1:某一個近似等腰三角形的梯田周長為40,其中底邊長為y,腰長為x,試寫出該三角形的底邊長y與腰長x的函數關系式?
判斷函數的奇偶性,應先考慮該函數的定義域區間是否關于坐標原點成中心對稱,如果定義域區間是關于坐標原點不成中心對稱,則函數就無奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。例2:判斷函數的奇偶性.

整個的解答過程體現了嚴密的數學邏輯思維。但是如果學生不注意函數定義域,那么判斷函數的奇偶性得出如下錯誤結論:

函數單調性是指函數在給定的定義域區間上函數自變量增加時,函數值隨著增減的情況,所以討論函數單調性必須在給定的定義域區間上進行。如:
解:先求定義域:上是增函數。

函數的最值是指函數在給定的定義域區間上能否取到最大(小)值的問題。如果不注意定義域,將會導致最值的錯誤。如:

初看結論,本題似乎沒有最大值,只有最小值。產生這種錯誤的根源在于學生是按照求二次函數最值的思路,而沒有注意到已知條件發生變化。這是思維呆板性的一種表現,也說明學生思維缺乏靈活性。這個例子說明,在函數定義域受到限制時,若能注意定義域的取值范圍對函數最值的影響,并在解題過程中加以注意,便體現出學生思維的靈活性。
函數的值域是該函數全體函數值的集合,當定義域和對應法則確定,函數值也隨之而定。因此在求函數值域時,應注意函數定義域。如:

以上例子說明,變量的允許值范圍是何等的重要,若能發現變量隱含的取值范圍,精細地檢查解題思維的過程,就可以避免以上錯誤結果的產生。也就是說,學生若能在解好題目后,檢驗已經得到的結果,善于找出和改正自己的錯誤,善于精細地檢查思維過程,便體現出良好的思維批判性。
綜上所述,在求解函數函數關系式、單調性、奇偶性、最值(值域)等問題中,若能精細地檢查思維過程,思辨函數定義域有無改變(指對定義域為R來說),對解題結果有無影響,就能提高學生質疑辨析能力,有利于培養學生的思維品質,從而不斷提高學生思維能力,進而有利于培養學生思維的創造性。