特殊四邊形的存在性問題解法探索

趙婷婷

（銅陵市義安區第三中學 安徽銅陵 244100）

特殊四邊形的存在性問題解法探索

趙婷婷

（銅陵市義安區第三中學 安徽銅陵 244100）

在初中教學當中，幾何是一個十分重要的科目。而在幾何學習當中，特殊四邊形是一種主要的幾何圖形，存在著不同的性質和變化。在實際學習當中，關于特殊四邊形的存在性問題是一種主要的問題類型，對于這些問題應當靈活的運用所學知識進行解決。基于此，本文對特殊四邊形的存在性問題解法進行了研究，以期推動初中幾何教學的更大進步。

特殊四邊形 存在性問題 解法探索

引言

特殊四邊形是初中幾何學習當中的一個重要部分，在個各種考試當中，特殊四邊形的存在性問題是一個重點題型。因此，對于這一問題的解決方法，學生應當進行良好的學習和掌握，在遇到此類題型的時候，應當知道如何進行解決。而在實際教學當中，教師應當對特殊四邊形的存在性問題解法教學加以明確和重視，從而提升教學效果。

一、正方形的存在性問題解法

對于正方形的存在性問題，基于正方形對角線相互垂直平分且相等、兩組對邊分別平行、四條邊相等的性質，在解題中進行應用。

例如在平面直角坐標系當中，點A（－1，0），點B（0，2），點C在拋物線a x2＋a x－2上，直角△CDA和直角△AOB全等，求解拋物線的解析式，在對稱軸右側的拋物線部分，求解能夠形成正方形ABPQ的點P和點Q坐標。在解題過程中，由于兩個直角△CDA和△AOB全等，因此OD＝3，CD＝1，C點坐標為（－3，1）。由于點C在拋物線上，因此a（－3）2＋a（－3）－2＝1，得出a＝1/2。因此拋物線解析式y＝（1/2）x2＋（1/2）x－2。對于第二個問題，將AB作為正方形的邊，作正方形ABPQ，經過點P使PE與OB在E垂直，使QG與x軸在G垂直，可知△BAO、△AQC、△PBE相互全等。因此，PE、AG、BO相等，數值為2，BE、QG、AO相等，數值為1。因此點P和點Q的坐標分別為（2，1）、（1，－1）。根據之前得到的拋物線解析式，當x＝2、1的時候，y＝1、－1，因此證明了點P和點Q存在。

圖1　直角坐標系中正方形存在問題

在該問題的解決過程中，應當認識到正方形四個角都是直角的特性，并且四條邊都相等。然后根據三角形的全等對構成正方形的點進行計算，最后在拋物線表達式中進行代入驗算，得出最終結論。

二、直角梯形的存在性問題解法

直角梯形具有一個底角是直角、一組對邊相互平行，另一組對邊不平行的特性，在解題中，可以對這些特性加以利用。

例如，二次函數圖像y＝－x2＋a x＋b，在點A（－1/2，0）、點B（2，0）的位置上與x軸相交，在點C與y軸相交。對拋物線解析式進行求解，同時對△ABC的形狀進行判斷。如果直角梯形的四個定點分別是A、B、C、P，求解P點的坐標。在解題過程中，可在二次函數中將點A和點B的坐標進行代入，從而得出a＝3/2，b＝1。因此得出拋物線解析式y＝－x2＋（3/2）x＋1，當x＝0，y＝1，因此點C的坐標為（0，1）。根據計算的處在等于5/2，因此證明△ABC是直角三角形。對于第二個問題，由于AC和BC相互垂直，如果BC是底邊，BC和AP平行。BC為y＝（－1/2）x＋1，直線AP可由直線BC平移得到，因此，直線AP為y＝（－1/2）x＋b，代入點A坐標能夠得出b＝－1/4，因此直線AP為y＝（－1/2）x－1/4。因此點P同時在直線AP和拋物線上，計算得出符合要求的x1＝5/2，因此點P為（5/2，－3/2）。如果AC為底邊，根據相同的方法計算得出符合要求的點P的坐標為（－5/2，－9）。

圖2　直角坐標系中直角梯形存在性問題

在解決該題的過程中，對直角梯形的存在性問題進行解決，通常是已知三個頂點，對第四個頂點進行求解，在明確直角的兩條變的基礎上，分別將其作為題型底邊進行計算，通過作平行線的方法對另一點的坐標進行求解。

三、平行四邊形的存在性問題解法

平行四邊形具有對角線相互平分、兩組對邊分別平行的特性，因此在解題當中應當加以利用。

例如，在平面直角坐標系當中，點A（－1，3），點B（3，0），點C（0，－1）在同一條拋物線上，求解拋物線的表達式。同時在y軸上有點Q，在拋物線上有點P，為了以點Q、P、A、B為頂點形成平行四邊形，求解點P的坐標。在解題過程中，將拋物線的表達式設為y＝a x2＋b x＋c，根據題意進行求解，得出a＝1/3，b＝－2/3，c＝－1。因此，拋物線表達式為y＝（1/3）x2－（2/3）x－1。對于第二個問題，如果AB是平行四邊形的一條邊，需要滿足AB與PQ相平行，長度為4，同時由于Q在y軸上，因此P的橫坐標為4或－4，當x＝4或－4時，y＝5/3或7，因此點P坐標為（4，5/3）或（－4，7）。如果AB是對角線，需要滿足AB和PQ互相平分，由于點Q在y軸上，AB中點橫坐標為1。因此，P點橫坐標為2，經過計算得出P點坐標為（2，－1）。由此可知，符合條件要求的點P坐標為（4，5/3）或（－4，7）或（2，－1）。

圖3　直角坐標系中平行四邊形存在性問題

在該題目當中，當中，涉及到了拋物線上點構成平行四邊形的存在性問題，在解題過程中，應當結合平行四邊形的性質和特點，將拋物線上所有符合要求的點進行一一找出。在解題當中為了避免對符合要求的點的遺漏，應當根據不同的性質進行分類解決。

四、菱形的存在性問題解法

菱形具有平行四邊形的所有性質，并且四邊相等。在拋物線y＝（1/4）x2＋1中，有一點P，同時y軸有一點A（0，2）。過點P作PB垂直于x軸，如果△PAB是等邊三角形，求解點P坐標。然后在直線AP中有一點M，如果四邊形OAMN是菱形，則求解點N的坐標。根據題意能夠得出，拋物線的頂點坐標為（0，1），并且關于y軸對稱，由于△PAB是等邊三角形，所以∠ABO為30度，所以直線AB和PB的長度為4。將y＝4帶入拋物線，得到x為因此，點P的坐標為或根據菱形的性質，求接觸存在的點N為或或或

五、矩形的存在性問題解法

在拋物線y＝ax2＋bx＋c中，存在點A（－3，0），點B（1，0），點C（0，3），頂點為D，對稱軸l與x軸在點H相交。在坐標行當中，存在點Q，如果四邊形ACPQ為矩形，求點P坐標。根據點C坐標，得出拋物線表達式，利用定點A、C和動點P，將矩形存在性轉化為直角三角形存在性問題，根據不同情況，利用k1×k2＝－1，k1×k2＝－1進行求解，求出點P坐標為（－1，－2）、（－1，4）。

結語

在特殊四邊形的存在性問題研究當中，應當根據題目當中的已知條件進行分析和歸類，畫出相應的圖形，然后根據特殊四邊形的性質對已知點的坐標加以利用，從而解決相應問題。

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［2］王用華,李海東,孫延洲. 基于學科本質與整體建構的教學探索——以人教版“平行四邊形及其性質”一課為例［J］. 中小學教材教學,2015,11：59-62.

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