幾何復習試卷的講評

曹經富

試卷講評課作為一種重要課型的作用，一是查缺糾錯。將試卷中表現出來的錯誤歸類與講評。二是拓展提升。通過一題多變、一題多解等幫助學生構建空間與圖形間聯系，在講評中提升解題經驗。三是激發學生的學習熱情。重視學生心理因素，充分肯定班級整體優勢，發現學生的進步或不足，對試卷中的獨到之處及時給予鼓勵，幫助考試不佳者分析失敗原因，使他們能正確認識自我，不斷進取。四是進一步反思與改進后一階段的復習。對答題中存在的問題，及時彌補改進。為此，筆者結合幾何專題復習——“空間與圖形（不含圓）”的測試卷進行講評。

講評目標：

1.通過試卷分析，了解自己知識上的漏洞，查漏補缺，通過一題多變、一題多解等，進一步增強與彌補相關知識，提高分析、審題及解題能力，拓展解題方法與思路技巧。

2.經歷自主訂正錯題過程，了解解題格式、規范答題的重要性；通過小組合作，相互講解與訂正，體驗自主與合作學習，形成互幫互助的學習氛圍，體會幫助他人的成就感和提高自己的語言分析、表達能力。

重點：在具體情境（實物圖、幾何圖形、圖形變換、動態操作）中，感受與發現相關圖形的形狀、位置及大小關系的作圖、計算、證明及探究的過程中出現錯誤的原因，提煉解題方法，通過一題多變、一題多解等激活解題思維，注重知識的整合、基本思想方法、活動經驗的滲透。

教學過程：

【第一環節】課前糾錯與反思

1.學生自查與自主糾錯（課前完成）：課前讓學生認真分析試卷，自查自糾，分析每道題的出錯原因，把做錯的題進行錯因歸類，初步訂正錯題。

2.學生完成試題反思診斷表（詳見試卷）

【設計意圖】學生由于考場氣氛、時間緊張等因素導致一些題目的失誤，可能考試后或下發試卷時就已經明白，自己可以改正，所以應留出讓學生自己領悟的時間。

【第二環節】課堂講評與變式拓展、提升

（一） 考試情況簡析

1.成績分布圖

本次考試最高分89分，最低分33分，平均分64.94分，及格人數37人。

點名表揚學習有進步、答題比較好的學生。

2.學生存在的主要問題：

（1）知識性錯誤，基礎知識掌握不牢，不會分析問題或沒有基本的解題思路。

（2）邏輯性錯誤，所進行的推理論證沒有符合邏輯規則，不能正確把握題中的關鍵詞語。計算題的解題格式不夠規范，計算能力較差。

（3）策略性錯誤，知識遷移能力較差，缺乏分析和解決問題的能力。

（4）心理性錯誤。粗心大意，審題不清。

【設計意圖】 “教學的藝術不在于傳授本領，而在于激勵、喚醒、鼓舞。”試卷講評課應保持和強化這些心理動機。因此，在講評中應不斷鼓勵學生，及時肯定、積極點燃他們智慧的火花；對于那些本身基礎不好，本次考試仍不理想的同學，可在批改的試卷上寫出鼓勵語言，尤其是試卷中的閃光點及好的方面加以肯定，激發他們內在的潛能。

（二）試卷問題歸類講評與突破

【類型一】圖形變換及相關形狀、位置、大小把握不準導致出錯

第5題 將四根長度相等的細木條首尾相接，用釘子釘成四邊形ABCD，扭動這個四邊形，使它形狀改變，當∠B=90°時，如圖1，測得AC=，當∠B=60°時，如圖2，AC=（ ）。

一題多變：

（1）圖1-2中四邊形ABCD面積是否變化？若會變化，求出變化后的面積。

（2）是否存在圖②四邊形ABCD的面積是圖①四邊形ABCD的面積的一半？若存在，求出∠B的度數；若不存在，說明理由。

【設計意圖】講評與設計時應注重某些數學元素（點、線、生活實物、三角板學具等）的擺放，注重以基本圖形（特殊三角形、四邊形等）為背景進行必要的一題多變，借助相關點、線、圖的變換操作，醞釀與生成特殊圖形的形狀、位置及大小（線段、角度、周長、面積）關系的計算。

講評與設計時還應注重以無圖或不完整圖的形式，訓練學生對題目條件的把握、分析與審題能力。此類錯誤屬于策略性錯誤，錯解或漏解的原因往往與忽視其中所涉及的分類有關。如涉及點在線上運動的位置時，要分清直線、射線還是線段及邊界點；涉及等腰三角形時，要分清是等腰直角三角形、等腰鈍角三角形還是等腰銳角三角形；涉及平行四邊形時，要分清已知線段是邊還是對角線；涉及旋轉時，應明確旋轉方向、旋轉角度及旋轉中心等。第11題可一題多變為：在x軸上是否存在點P，使△CBP為等腰三角形，如存在，求點P的坐標，如不存在，說明理由。這些都以無圖的形式探究平行四邊形、等腰三角形，即線段AB可能為平行四邊形的邊（等腰三角形的腰），也可能為平行四邊形的對角線（等腰三角形的底），進行分析與畫圖求解。

【類型二】 幾何情景圖不能正確轉化、建模與解決

第4題 過正方體上底面的對角線和下底面一頂點的平面截去一個三棱錐所得到的幾何體如圖，它的左視圖是（ ）

一題多變：（1）它的俯視圖是（ ）

（2）如圖3，若正方體的棱長為2cm，一只螞蟻由頂點A沿表面爬行到頂點B的最短路程是 cm。

（3）如圖3，畫出這個幾何體的兩種平面展開圖。

【設計意圖】講評時應注重現實生活情景中的實物（幾何體）的三視圖、表面展開圖與幾何體之間的內在聯系及轉化，如第4題及一題多變，錯解的原因：一是對俯視圖下正投影理解不準；二是對看得見的輪廓線用實線，看不見的輪廓線用虛線掌握不夠，導致錯選。同時還應注重訓練學生在具體情境中構建數學模型（三角函數），進而運用相關知識，分析與解決現實生活中的許多實際問題（計算、測量、可行性等）。

【類型三】動態幾何中未能化動為靜，在變與不變中突破

第17題 如圖，等邊三角形OAC的邊長是2，點O與原點重合，點B是x軸正半軸上的動點，以AB為邊在第一象限內作等邊三角形ABE。

（1）如圖4，當EB⊥x軸時，求點E的坐標和直線CE的解析式；

（2）連接CE，如圖5，

①判斷CE與BO是否相等，并說明理由；

②設點E的橫坐標為m，求點E的坐標（用含有m的代數式表示），并判斷點E是否一定在（1）中所求直線上，并說明理由。

第17題的變式題：如圖①，已知點B（0，6），點C為x軸上一動點，連接BC，△OBC和△EBC都是等邊三角形。

（1）求證：∠CDE=90°。

（2）如圖②，當點D恰好落在BC上時，

①求OC的長及點E的坐標；

②在x軸上求點P的坐標，使△PEC為等腰三角形；

③如圖③，點M是線段BC上的動點（點B、C除外），過點M作MG⊥BE于點G，MH⊥CE于點H，當點M運動時，MH+MG的值是否發生變化，如不會變化，寫出MH+MG的值，如會變化，簡要說明理由。

【設計意圖】講評時應注重選取有研究價值、能變化拓展的幾何圖形（三角形、四邊形、圓）、素材或數學活動，如第17題及變式題以兩個等邊三角形為背景，借助相關頂點的重合與動態操作，即通過相關點動、線動、圖動或一定的變換操作與實驗等，或以數學問題為引導；醞釀與構建相關量的變與不變，使相關數學結論與情景發生很大的變化，進而發現問題，創新問題，側重訓練與培養感性直覺和理性思考。這種試題的命題方向有：①對已有的數學知識和方法進行推廣和拓展；②對某些定理和公式進行深化和延伸；③對未知的數學領域通過探索得到新的結果。試題在注重考查相關基礎知識、基本技能、方法的同時，更注重考查對相關知識的綜合運用、探究、創新。在講評過程中，為了訓練學生的求異思維，倡導在一題多解，即思考能否用三種方法求解MH+MG的值。

【第三環節】總結與提升

1.在這節課中你學到了什么，你的收獲有哪些？

2.老師溫馨建議：

（1）審題時注重知識與思想方法的運用

同學們在考試時常常匆匆一看試題就急于下筆，尤其是對題目中條件與要求、隱含的數學信息、蘊含的數學思想方法挖掘不夠，造成解題費時，甚至出錯，如第8、13題。

（2）書寫要注意完整規范

做證明題時不能做到步步有據等，這樣就出現了“對而不全”的情況。常見的解題不規范有：①幾何證明過程不完整、跳步；②論證繁瑣，書寫馬虎。這些都要引起同學們的警戒。

解答有關幾何題，涉及添加輔助線要用作圖幾何語言說明，并用虛線，相關幾何推理、證明盡量簡明清晰，思路嚴謹、清楚。

在第17題（1）中，要寫出輔助線的作圖過程（得分點），同時注意坐標的符號、線段長度的非負性之間的相互轉化。如第17題（2）①中，要注意先回答問題，再證明或說明理由；在第17題（2）②中切不可直接寫直線解析式，應詳細寫出待定系數法求解直線解析式的過程。當確定直線所需相關點坐標未知時，應先寫出求解相關點坐標的過程。

3.注意答題順序

有的同學喜歡按照自己的喜好，有的甚至先做大題再做小題，隨意性強。合理的方法其實是按先易后難、先簡后繁的順序作答。解題過程碰到難題可先放放，避免浪費與消耗更多的時間，而應先做完會做的題目，再去攻克難題，注意前緊后松，為后續檢查留出時間。

【設計意圖】“復習不是為了修補坍塌的建筑物”，而是“添建一層新的樓房”，此環節旨在拓展學生的思維空間，培養學生的學習能力。

【第四環節】布置作業，開展自我評價與小組評價

必做：將錯題收入錯題本

【設計意圖】試卷中所反映出來的問題大部分是教學過程中的重點和難點，學生不大可能一次講評后就完全掌握。因此講評完后，還應采取必要的措施和時間使讓學生消化理解講評過的內容，以鞏固與強化課堂學習效果。

【第五環節】教學反思

一、針對學生試卷中的錯誤，優化講評試卷內容。本節幾何講評分為三類：一是圖形變換及相關形狀、位置、大小把握不準導致出錯；二是幾何情景圖不能正確轉化、建模與解決；三是動態幾何中未能化動為靜，在變與不變中突破。

二、有效的幾何復習講評活動不能單純地依賴教師的“一言堂”，針對學生“聽懂”但“不會做”的情況，教師除了對試卷內容能整體構思與分類講評，還應對重點、難點、易錯點進行一題多解、一題多變，將原題中的已知條件、結論等進行改動，然后再讓學生重新分析、求解，使學生知其然，更知其所以然。一節高質量的數學試卷講評課，需要教師精心準備、擇其要點、延伸發散、有效講評、及時反思，做到糾正一例、預防一片、評講一法、會解一類、觸類旁通，提升學生解題能力，使復習試卷的講評課真正有效、有益。

對復習試卷的講評既是一種教研態度、教學方法、教學能力的運用，更是一門復習教學的藝術，教學實踐的創新。其中教學方法、過程因人而異，講評藝術有其自身的教學規律，如果在復習教學中不敢越雷池半步，或者跳不出復習講評課的束縛，都會直接影響到自己的教學效果和教學水平的提升，哪怕是教師對教學內容爛熟于心。特別是在當今的課程改革浪潮不斷深入人心以及一標多本、一本常變的今天，如果教育者對試卷的處理方法過于簡單，或墨守成規甚至是漠視，都有可能導致自己處于一種無所適從、被人淘汰的境地。

（作者單位：江西省吉安市白鷺洲中學）

□責任編輯 陳莉紅

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